(α,d,β)超过程Tanaka公式的注记

在最优的初始条件及最优的维数条件下, 证明了(α,d,β)超过程关于局部时的Tanaka公式成立.     

有理函数的给定周期的排斥周期点的存在性

设R为一次数d≥2的有理函数, k≥2为一正整数, 则R至少有一个周期为k的排斥周期点, 除非k=4且d=2, 或k=3且d≤3, 或k=2且d≤8. 例子表明所有的例外情形都会出现.     

固定介质中超Brown运动的有限时间灭绝性

考虑具有分支机制k(x)z^α(1< α ≤2)的超Brown运动X , 其中k(x) >0是R^d上有界Hölder连续函数且 inf_x∈R^d k(x) =0. 首先研究了X何时具有紧支撑性, 得到如下结果: 如果存在常数l≥0,使得对充分大的x有 k(x) ≥||x||^-l, 则X具有紧支撑紧性; 如果d=1且存在l≥0,使得对充分大的x有k(x) ≥exp(-l||x||),则X同样具有紧支撑性. 其次, 研究了X的有限时间灭绝性, 发现要使X有限时间灭绝,k(x)在无穷远处趋于0的速度不能太快, k趋于0的最大阶数与维数有关: d=1时最大阶数为O(||x||^-(α+1)); d=2时最大阶数为O(||x||^-2log(||x||)^-(α+1)); 而维数d≥3时最大阶数为O(||x||^-2). 要使得1/2 Δu=k(x)u ^α在整个空间没有正解, k(x)在无穷远处趋于0的阶数不能太大, 这个最大阶数与使过程在有限时间灭绝的最大阶数完全一样.     

一类含Siegel盘的多项式的Julia集的Hausdorff维数

设f(z)=e^{2π i θ} z(1+z/d)^d (dÎN)为一多项式. 若θ是有界型的无理数, 由Siegel的经典定理知f(z)有一个以点0为中心的Siegel盘. 本文证明这类多项式的Julia集的Hausdorff维数严格小于2.     

算子值Fourier乘子

利用一维情形已知结果和数学归纳法给出了L_p([0, 2π]^d; X)上算子值Fourier乘子结果的简单证明.     

超Brown运动的S-极集与非线性微分方程的解

给出R^d (d≥3)中规则集D上偏微分方程-1/2Δv(x)+γ(x)v(x)^α=0的最大、最小正解的概率表达式,其中D满足其补集D^c为紧集, γ(x)为D中正的有界可积函数, 且1<α≤2.作为其应用, 给出紧集是S-极集的充分必要条件.     

二或三维空间上椭圆型随机偏微分方程的间断有限元方法

本文研究由空间白噪声驱动带有齐次Dirichlet边界条件的一类二或三维椭圆型随机偏微分方程的间断有限元数值方法. 建立了这种方法的L²范数误差估计. 特别地, 给出了一个维数d=2的数值例子.     

Rd上的具有间断梯度的势函数的模拟退火

证明了具有间断梯度的势函数的模拟退火过程 dX_t=-β(tÑU(X_t)+√2dW_t 依概率收敛到势函数的全局最小点附近.     

分形测度的比较

讨论s维测度与g-测度之间的关系, 其中g是一个等价于幂函数t^s的纲函数(0≤s≤d). 当s=d时, 证明了关系式 和在R^d上成立, 其中的常数c₁, c₂和c₃由下式确定: H^g, C^g和P^g分别为R^d上的g-Hausdorff, 中心g-Hausdorff和g-填充测度. 当0<s<d时, 通过例子表明上述结论不成立. 然而存在s-集FÌR^d, 使得 其中常数c₁, c₂和c₃不仅依赖于g和s, 而且还依赖于F. 并且给出了判断一个s-集具有上述性质的条件.     

齐型空间上的一些新的Triebel-Lizorkin空间及其标架

设(X, ρ, μ)_d,θ是齐型空间, ε∈(0,θ), |s|<ε且 max{d/(d+ε), d/(d+s+ε)}<q≤∞. 引进了一类新的Triebel-Lizorkin空间F^s_∞q(X),并通过先建立与空间F^s_∞q(X)的范数相关的Plancherel-Pólya型不等式的方法建立了这些空间的标架特征; 给出了当|s|<ε, max{d/(d+ε), d/(d+s+ε)}<p≤∞且0<q≤∞时, Besov 空间B^s_pq(X),以及当|s|<ε, max{d/(d+ε), d/(d+s+ε)}<p<∞且max{d/(d+ε), d/(d+s+ε)}<q≤∞时, Triebel-Lizorkin空间F^s_∞q(X)的标架特征; 此外, 还引进了与给定仿增函数b相关的新的Triebel-Lizorkin空间bF^s_∞q(X)和HF^s_∞q(X), 并且建立了空间bF^s_∞q(X)和空间HF^s_∞q(X)的相互关系; 进一步证明了如果s=0且q=2, 则HF^s_∞q(X)=F^s_∞q(X). 因为F^s_∞q(X), 所以事实上这也给出了空间BMO(X)一个新的特征刻画.