二部图平衡二部划分的上界

设G(V,E)是一个图,V_1,V_2是V的一个二部划分,当||V_1|-|V_2||≤1时,称V_1,V_2是V的一个平衡二部划分,用e(V_1,V_2)表示一条边的两个端点在不同划分里边的总数目.最小平衡二部划分是指寻找G(V,E)的一个平衡二部划分使得e(V_1,V_2)最小.研究了二部图和哈密尔顿二部图,得到它们的最小平衡二部划分的上界分别为[m/2]和(n+2)/2.     

一个涉及单形体积棱长及侧面面积的不等式

设∑_n为 n 维欧氏空间 E~n 中的一个单形,其体积为 V,侧面面积为V_i(i=1,2,…,n 1),则有不等式V (1)且当该单形为正则时等号成立.本文在这里给出一个比(1)更强的不等式,它涉及到单形的体积、棱长与侧面面积.定理 设∑_n 为 E~n(n>2)中的一个单形,若∑_n 的体积为 V,侧面面积为 V_(?),棱长为     

柯西不等式的两个推论及应用

在中学数学中常遇到如下一个不等式:(n∑i=1xiyi)2≤(n∑i=1xi2)·(n∑i=1yi2),其中xi,yi为任意实数,且等号成立当且仅当xi=kyi(i=1,2,…,n),这就是著名的柯西不等式.推论1已知ai(i=1,2,…,n)是正数,xi∈R(i=1,2,…n)且n∑i=1ai=1,则n∑i=1aixi2≥(n∑i=1aixi)2.证∵ai∈R (i=1     

实(四元)Stiefel流形V_(n,2)(X_(n,2))的KO-群和J-群

<正> 命V_(n,2),X_(n,2)为实、四元Stiefel流形(实、四元n维欧氏空间中的所有二维正交标架)。本文在§1中计算了KO~(-i)(V_(n,2)以及J(V_(n,2)):在§2中计算了KO~(-i)(X_(n,2)以及J(X_(n,2)).映射c,r分别表示为复化和实化,定义可见[1,610页].     

一道数学竞赛题的推广

设 a1,a2 ,… ,an和 b1,b2 ,… ,bn都是非负实数 ,则　 [( a1+ b1) ( a2 + b2 )… ( an + bn) ]1n ≥　 ( a1a2 … an) 1n + ( b1b2 … bn) 1n.这是第 6 4届普特兰数学竞赛中的一道题目 .本文给出该不等式的一个推广 .推广　设 aij >0 ( i =1 ,2 ,… ,m;j=1 ,2 ,… ,n) ,则( ∑mi=1ai1∑mi=1ai2 …∑mi=1ain) 1n ≥ ∑mi=1( ai1ai2 … ain) 1n,等号当且仅当 as1at1=as2at2=… =asnatn( s,t=1 ,2 ,… ,m;s≠ t)时成立 .证明　由平均不等式知 :1na11∑mi=1ai1+ a12∑mi=1ai2+… + a1n∑mi=1ain≥　a11a12 … a1n∑mi=1ai1∑mi=1ai2 …∑mi=1ai…     

不等式〔∑from i=1 to n (a_i~3)〕〔∑from i=1 to n (b_i~3)〕〔∑from i=1 to n (c_i~3)〕≥〔∑ from i=1 to n (a_ib_ic_i)〕~3的恒等式构造

文[1]为证明2001年第42届IMO第2题而通过独特的思路给出了一个恒等式:设实数ai,bi∈R,A3=n∑i=1ai3,B3=n∑i=1bi3,且AB≠0,则有恒等式n∑i=1ai3 2/3n∑i=1bi3 1/3=n∑i=1ai2bi 13A2Bn∑i=12aiA biBaiA-biB2(1)根据恒等式(1),我们自然会考虑更一般形式的3×N维形式的不等式n∑i=1ai3n∑i=1bi3n∑i=1ci3≥n∑i=1aibici3(2)通过对(2)的研究,本文通过构造方法给出了式(2)的一个新的恒等式.定理设实数ai,bi∈R,A=3∑ni=1ai3,B=3∑ni=1bi3,C=3∑ni=1ci3,且ABC≠0,则有恒等式3(n∑i=1ai3)(n∑i=1bi3)n∑i=1ci3=n∑i=1aibici ABC6Ω(3)其…     

平面图最小平衡二部划分的上界

关于平面图的平衡二部子图的研究有一个猜想:任意一n个顶点的平面图G(V,E),必含有一个平衡二部子图G(V_1,V_2)使得e(V_1,V_2)≤n.证明了若n个顶点的哈密尔顿平面图G(V,E)中含有一个近似等边三角形,n≥18,那么G(V,E)必含有一个平衡二部子图G(V_1,V_2)使得e(V_1,V_2)≤n.     

二部平衡公平划分的一个下界

设V_1,V_2是图G的一个二部划分.如果一1≤|V_1|-|V_2|≤1,则称V_1,V_2是G的一个二部平衡划分.对于n个顶点m条边的简单图G,本文证明了:(1)若G是k-正则图(k≥3),则G存在一个最小二部平衡划分V_1,V_2,使得max{e(V_1),e(V_2)}≥((k-1)m)/4k;(2)如果r是大于4的实数,且当n是偶数时△(G)≤((3r-4))/(r+4)δ(G)-(2r)/(r+4),当n是奇数时△(G)≤(3r-4)/(r+4)δ(G)-(8r)/(r+4),那么G存在一个二部平衡划分,使得min{e(V_1),e(V_2)}≥m/r,这里e(V_i)表示G中两个顶点都在V_i中的边的数目.     

前n个正整数的k次方的和的组合表示

一般来讲 ,我们可以用若干个形如 (n+ 1 ) k+ 1的展开形式来求 ∑ni=1ik.例如 ,由(n+ 1 ) 3 =n3 + 3n2 + 3n + 1 ;　n3 =(n- 1 ) 3 + 3(n- 1 ) 2 + 3(n- 1 ) + 1 ;……　 33 =2 3 + 3× 2 2 + 3× 2 + 1 ;　 2 3 =1 3 + 3× 1 2 + 3× 1 + 1各式相加得(n+ 1 ) 3 =1 + 3∑ni=1i2 + 3∑ni =1i+n .从而可以算出∑ni=1i2 =n(n+ 1 ) ( 2n+ 1 )6 .由上面的例子不难看出 ,用这个办法求前n个正整数的k次方的和 ,必须先求出他们的 1 ,2 ,… ,k- 1次方的和 ,因此求 ∑ni=1i10 将是一件很麻烦的事 .我们现在来研究一种较为方便的求法 .引理 1　对于任何…     

关于星和条的Ramsey数

令和．该文研究了广义Ramsey数n(K1,n1,…,K1,nt, m1K2,…,msK2)．当1≤■≤∑时,得到了它们的精确值;当∑>■时,得到了它们的上 界．