环R=F_4+vF_4上线性码的Macwilliams恒等式

本文研究了环R=F4+v F4上线性码及重量分布.利用环R=F4+v F4到F2的一种Gray映射?,证明了环上R线性码C的Gray像?(C)的对偶码为?(C⊥).然后,利用域F2上线性码与对偶码的重量分布的关系及Gray映射性质,给出了该环上线性码与对偶码之间的各种重量分布的Macwilliams恒等式.     

环F_2+uF_2上线性码的二元像

在有限环R=F2+uF2与F2之间定义了一个新的Gray映射,给出了环F2+uF2上线性码C的二元像φ(C)的生成矩阵,证明了环F2+uF2上线性码C及其对偶码的二元像仍是对偶码.     

环F_2+uF_2+u~2F_2上线性码的广义Gray像

摘要:引入了环F_2+uF_2+u~2F_2与F_2之间的广义Gray映射,利用环F_2+uF_2+u~2F_2上线性码的生成矩阵得出了广义Gray像φ(C)的生成矩阵,证明了F_2+uF2+u2F2上线性码自正交码的广义Gray像仍为自正交码和F_2+uF_2+u~2F_2上循环码的广义Gray像是F_2上的准循环码.     

环F2m+uF2m+u2F2m+u3F2m上线性码及其对偶码的Gray像

本文研究了环F2m+uF2m+u2 Fm+u3F2m上线性码.利用环是Frobenius环,证明了环上线性码C及其自对偶码的Gray像为F2m上的线性码和自对偶码.同时,给出了上循环码C的Gray像ψ(C)为F2m上的拟循环码.     

环F_2+vF_2上码的覆盖半径

通过研究环F2+vF2上线性码的结构特征,根据Gray映射,定义了两个二元码,从而证明了环F2+vF2上线性码关于李距离的覆盖半径等于两个二元码的覆盖半径之和,并得到环F2+vF2上对偶码的覆盖半径的一些结论,给出了覆盖半径的几个上下界.     

环F_p+uF_p+vF_p+uvF_p上线性码的Gray像

定义了有限非链环R=F_p+uF_p+vF_p+uvF_p到F_p⁴的一个Gray映射.在证明了该映射是R4的一个Gray映射.在证明了该映射是Rⁿ到F_pn到F_p⁽⁴ⁿ⁾的等重等距映射的基础上进一步证明了环R上的线性码C的Gray像是距离不变码.特别地如果C是环F_2+uF_2+vF_2+uvF_2上的Lee恒距线性码,则Φ(C)为F_2上的Hamming恒距线性码.最后通过映射Ψ把F_p+uF_p上的线性码和R上的一类线性码对应起来.     

环Z_4+vZ_4上的线性码:重量计数器及其Macwilliams恒等式

首先给出了环R=Z_4+vZ_4(v~2=v)上线性码的Gray映射及其投影映射的性质,得到了环R上线性码与通过投影映射得到的线性码的极小Lee重量的关系,然后定义了环R上线性码的Gray重量计数器和对称重量计数器,进一步地确定了环R上线性码与其对偶码之间关于Gray重量计数器,对称重量计数器和Lee重量计数器的MacWilliams恒等式.     

环F_2+uF_2+u~2F_2上循环码的Gray距离

定义了环R=F2+uF2+u2 F2(u3=0)到F32的一个新的Gray映射.首先介绍环R上奇长度的循环码的挠码,给出了各阶挠码的生成多项式.利用一阶挠码与二阶挠码确立了R上奇长度的循环码的Gray距离.     

环F2+uF2+vF2上自对偶码的两种构造方法

本文研究环R=F2+uF2+vF2上的自对偶码问题.利用Rn到F3n2的Gray映射及R上的自对偶码C的Gray像为F2上自对偶码,获得了R上任何偶长度的自对偶码存在性的结论.最后,给出了R上两种构造自对偶码的方法.     

环F_2+uF_2+…+u~kF_2上的Type Ⅱ码

给出一种构造环F2+uF2+…+ukF2上任意偶数长度的自正交和自对偶码的方法.定义了环F2+uF2+…+ukF2的每个元素的Euclidean重量并且证明了环F2+uF2+…+ukF2上的自对偶码是Euclidean重量为2k+2倍数的TypeⅡ码.     

环F_(p~k)+uF_(p~k)+u~2F_(p~k)上的常循环码和循环码

记环R=F_(p~k)+uF_(p~k)+u~2F_(p~k),定义了一个从R~n到F_(p~k)~(2np~k)的Gray映射.利用Gray映射的性质,研究了环R上(1-u~2)-循环码和循环码.证明了环R上码是(1-u~2)-循环码当且仅当它的Gray象是F_(p~k)上的准循环码.当(n,p)=1时,证明了环R上的长为n的线性循环码的Gray象置换等价于域F_(p~k)上的线性准循环码.     

Codes with the Same Weight Distributions as the Goethals Codes and the Delsarte-Goethals Codes

The Goethals code is a binary nonlinear code of length 2^m+1 which has codewords and minimum Hamming distance 8 for any odd . Recently, Hammons et. al. showed that codes with the same weight distribution can be obtained via the Gray map from a linear code over Z ₄of length 2^m and Lee distance 8. The Gray map of the dual of the corresponding Z ₄ code is a Delsarte-Goethals code. We construct codes over Z ₄ such that their Gray maps lead to codes with the same weight distribution as the Goethals codes and the Delsarte-Goethals codes.     

环Fq+uFq+vFq上的循环码和量子码

本文研究了环R=F_q+uF_q+vF_q(u²=u,v²=v,uv=vu=0)上的循环码构造量子码的方法.利用环R上循环码的分解与生成多项式,给出了R上一个循环码可以构造量子码的一个充要条件.作为这类循环码的应用,得到了新的非二元量子码.     

环GR(4,2)上一类负循环码的Gray象

研究了GR(4,2)上长为2~s的负循环码的Gray象,证明了GR(4,2)上长为2~s的负循环码的Gray象是F_4上长为2~(s+2)指数为2的准循环码.通过计算GR(2~a,m)上长为2~s的负循环码的齐次距离,确定了GR(4,2)上长为2~s的负循环码的Gray象的汉明距离.     

环F_2+uF_2上长度为2n(n为奇数)的循环码

研究了环F2+uF2上长度为2n(n为奇数)的循环码,给出了循环码及其对偶码的生成多项式,以及循环码为自对偶码的充要条件,最后进一步给出了循环码极小Lee重量的一些相关结论     

环F2+uF2+vF2上线性码广义Gray像

本文定义了环F2+uF2+vF2到域F2的广义Gray映射φ像,研究了环F2+uF2+vF2上线性码的广义Gray像.利用广义Gray映射φ的线性性,证明了环F2+uF2+vF2上线性码C的广义Gray像φ(C)满足dH(C)=dH(φ(C))且φ(C⊥)φ(C)⊥.同时,给出了F2+uF2+vF2上循环码C的广义Gray像φ(C)为F2上的4-拟循环码.     

$$\mathbb {Z}_{4}$$-codes and their Gray map images as orthogonal arrays

A classic result of Delsarte connects the strength (as orthogonal array) of a linear code with the minimum weight of its dual: the former is one less than the latter. Since the paper of Hammons et al., there is a lot of interest in codes over rings, especially in codes over \(\mathbb {Z}_{4}\) and their (usually non-linear) binary Gray map images. We show that Delsarte’s observation extends to codes over arbitrary finite commutative rings with identity. Also, we show that the strength of the Gray map image of a \(\mathbb {Z}_{4}\) code is one less than the minimum Lee weight of its Gray map image.     

环Z_p[u]/(u~(k+1))上循环码的Gray象

记R=Z_p[u]/(u~(k+1)),定义了从R~n到Z_p~(np~k)的Gray映射.利用Gray映射的性质,研究了环R上任意长循环码.证明了环R上任意长码是循环码当且仅当它的Gray象是域Z_p上的准循环码.特别的,环R上的线性循环码的Gray象是Z_p上的线性准循环码.