曲线在极坐标系中的旋转

在高中数学的极坐标部分 ,有些问题所给出的极坐标方程比较复杂 ,如果把曲线绕极点作适当旋转 ,方程会变得比较简单 ,这样将便于研究曲线的有关性质 .本文将研究曲线在极坐标系中的旋转问题 .首先以Ｏ为极点 ,Ｏｘ为极轴建立极坐标系 .设曲线Ｃ的方程为 ｆ(ρ ,θ) =0 ,现在把曲线Ｃ绕极点Ｏ按逆时针方向旋转角θ0 ,得曲线Ｃ′ ,下面我们求曲线Ｃ′的极坐标方程 .设Ｍ′(ρ′ ,θ′)为曲线Ｃ′上任意一点 ,若它是由曲线Ｃ上的Ｍ (ρ ,θ)旋转而得到的 ,则 ρ′ =ρ ,θ′ =θ θ0 ,　 ρ =ρ′ ,θ =θ′ -θ0 .代入ｆ(ρ ,θ) =0 ,得 ｆ(…     

椭圆、双曲线焦点与切线的一个关联结论

定理椭圆(或双曲线)两焦点到其任意一条切线的距离的乘积为定值.图1证明不妨设椭圆方程为x2a2 y2b2=1(a>b>0),如图1,左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),点P(acosθ,bsinθ)(其中0≤θ<2π)为椭圆上任意一点,则过点P的切线l的方程为cosθax sinθby=1,即bcosθ.x asinθ.y-ab=0     

极坐标系下圆的方程

我们知道 ,在直角坐标系中 ,圆有标准方程和一般方程 ,那么在极坐标系中 ,圆的标准方程和一般方程又是怎样的呢 ?1　极坐标系下的圆求圆心是Ｃ( ρ0 ,θ0 ) ,半径是ｒ的圆的极坐标方程 .设Ｍ ( ρ ,θ)是圆上任意一点 ,根据余弦定理得ｒ2 =ρ2 ρ20 - 2 ρ0 ρｃｏｓ(θ -θ0 ) ,即 ρ2 - 2 ρ0 ρｃｏｓ(θ -θ0 ) ρ20 -ｒ2 =0 ( 1)方程 ( 1)就是圆心是Ｃ( ρ0 ,θ0 ) ,半径是ｒ的圆的极坐标方程 .我们把它叫做极坐标系下圆的标准方程 .把圆的标准方程展开得 ρ2 - 2 ρ0 ｃｏｓθ0 ·ρｃｏｓθ -2 ρ0 ｓｉｎθ0 ·ρｓｉｎθ ρ20 …     

关于椭圆性质的另一种推导

如图1所示,αl β为平面角等于θ的二面角(规定0°<θ<90°) .已知α平面内有一半径为R的圆O ,则圆O在β平面内的正射影为椭圆.研究过程如下:图1　研究用图在α内,以O为原点建立直角坐标系xoy ,其中ox轴∥l,则其在β内的正射影记为直角坐标系x′o′y′.设α上圆O :x2 + y2=R2 上一点为M (x ,y) ,它对应(这里的对应指由α到β的正射影,下同)于β上一点M′(x′,y′) ,则x′=x ,y′=y·cosθ,即x =x′,y =y′/cosθ,将其代入圆O的方程x2 + y2 =R2 中,得x′2R2 + y′2(Rcosθ) 2 =1 ( 1 )记a =R ,b =R·cosθ,则由( 1 )有x′2a2 + y′2b2 …     

基于向前方程的平稳分布参数估计

该文研究利用随机微分方程的平稳分布满足的微分方程给出平均场随机微分方程的参数估计方法dX(t)=b(μ~N,θ)dt+σ(X(t))dB(t),其θ是待估计的参数.μ~N是N个个体的经验分布.b(μ,θ)关于μ在μ=p处附近(τ-拓扑)连续.其中p是该过程的唯一平稳分布.特别地,该文研究以下模型的参数估计问题dX(t)=(aθ(X(t))+b〈F,μ(t)〉)dt+σ(X(t))dB(t),其中a,b是有待估计的模型的参数.该文研究存在平稳分布时的参数估计问题.而数据则是若干(少量)时刻上数据点的经验分布,这些经验分布由很多个个体的数据构成.     

一道三角题的几种解法

题目若 且求tanθ的值.三角模型解1 由已知可得cosθ≠0,因此将等式两边同除以cosθ得3tanθ 4=5secθ. 两边平方整理得(4tanθ-3)2=0,三角模型解2 由3sinθ 4cosθ=5,可得则 ,即.     

一道竞赛题的推广

问题(第十四届“希望杯”高一第二试)若sin3θ-cos3θ=-1,则sinθ-cosθ的值为.将该问题推广,可以得以下结论.结论1若sinnθ-cosnθ=-1,且m,n都为正奇数,则sinmθ-cosmθ=-1.证当n=1时,由条件得sinθ-cosθ=-1.平方得sinθcosθ=0.当n≥3时,若sinθcosθ≠0,则0<|sinθ|<1,0<|c     

构造具有多项式方差函数的自然指数族

一、PVF-REF 的重要性本文内容属于规范指数族的结构理论。定义在样本空间(Y,B_y)上的分布族 P_θ(y),若对某σ-有限测度μ有密度函数dP_θ(y)=exp[(?)(θ)T(y)—(?)(θ)]dμ(y),则称 P_θ(y)为指数族分布,这是统计学中最重要的一类分布。我们对各指数族实行规范化:首先取(?)(θ)=(θ_1,…,θ_r)∈R_r;其次考虑 X=T(y)的分布 F_θ(x),它仍是指数族,对某σ-有限测度 v 具有密度形为 exp[θ'x-(?)(θ)];不失一般性可取 v 为 r 维分布函数 F(x),且使自然参数空间(?)R_r,具有非空内点集,这就成为具有最小维数的自然指数族。记 M={m:m=E_θx,E_θx 存在且有限,θ∈(?)}。众所周知,这种 m(θ)的定义域包含了(?)。最后,我们取 m 作为新参数代替θ,则上述自然指数族成为规范指数族(REF):     

平方损失下的可容许估计

设(x)为样本空间,P_θ为其上的分布族,θ∈Θ为参数.欲估计g(θ),损失函数为L(g(θ),d).称R(g(θ),d(X))=EL(g(θ),d(X))为估计d(X)的风险函数.称d_0(X)是g(θ)的可容许估计,如果不存在其它估计d_1(X),使得R(g(θ),d_1(X))≤R(g(θ),d_0(X)),对一切θ∈Θ,且不等号至少对某θ_0∈Θ成立.设在参数空间Θ上建立了σ~-域θ,ξ为(Θ,θ)上σ~-有限测度.称g(θ)的估计δ_0(X)关于ξ是几乎可容     

方向数据的统计分析(Ⅲ)

3 数字特征 上节介绍了方向数据的园上分布模型,同直线上的情形一样,我们需要研究园上分布的数字特征,如平均值、方差等.这些数字特征将有助于我们抓住分布本质,进行统计分布的比较. 自然地,我们希望能沿用直线上的方法来描述园上分布的数字特征.然而直接引用实际上是行不通的,例如我们对1°和359°这两个样本求算术平均,按直线上办法,得均。值为l80°.这个结果显然是荒谬的,因为直观可见,平均方向应该为0°.如果改选y轴为零方向,原数据变为269°和271°,则用算术平衡值270°作为均值,又变得似乎合理了.可见直线上用来描述数字特征的方法如…