例谈高考中的“隐性”轨迹题

根据已知条件求轨迹方程是平面解析几何研究的主要问题 ,也是高考命题的热点问题 .纵观历年的高考题 ,可以发现高考对轨迹方程的考查 ,分为两类 :一类是“显性”的 ,即题中明确告诉你要求轨迹方程 (或求某种特殊的曲线方程 ) ,这类问题 ,解题目标明确 ,解题方向容易把握 .另一类是“隐性”的轨迹题 ,表面上题目与求轨迹方程无关 ,但需要把问题转化为求轨迹方程才能解决 .这类问题具有一定的隐蔽性 ,解题方向不易把握 ,有时解题会隐入困境 .在高考复习中 ,我们要重视后一类问题的复习 ,熟悉它们的解题特点 .请看下面几例 .例 1　 ( 1 988年全…     

走好解题第一步——读题

笔者参加了今年的江苏南通市中考数学阅卷,在阅卷中,发现有许多学生因为不认真读题和不会读题而失分.一、学生读题时存在的不足1.读不准题中的所有条件一道严谨的数学题,每个条件都是解题必须的,因此读题时要读准题目中所有的条件,不能遗漏或读错任何一个地方,可是不少学生读题时出现读错或读漏题目条件的情况.例如,第24题:四张扑克牌的点数分别是2,3,4,8,将它们洗     

数学开放性问题解法例谈

数学开放性问题指那些条件不完备,结论不确定的数学问题.此类习题重在开发思维,促进创新,提高数学素养.主要有条件开放题,结论开放题,组合开放题和策略开放题等,本文就这类问题的一些常用的解题方法举例介绍.1 条件开放性问题条件开放题是指命题的条件是不确定的,但结论唯一,要证得结论,题设所给的条件不够,这就需要根据给出的结论,分析探索使结论成立应具备的条件,不过满足结论的条件有,但往往不唯一.     

离心率为2的双曲线的性质

1.问题的提出在2007年高三复习中笔者选用了温州市高三适应性测试数学试卷,其中解答题17题是这样的:如图(图略),设A(-2,0),B(2,0),直线l:x=1,点C在直线l上,动点P在直线BC上,且满足AP·AC=0.(Ⅰ)若点C的纵坐标为1,求P的坐标;(Ⅱ)求点P的轨迹方程.没花多少时间笔者就顺利地求得结果:(Ⅰ)P的坐标为(-4,6);(Ⅱ)点P的轨迹方程为x42-1y22=1.在解题后的反思中笔者发现了一个“问题”:题中条件A(-2,0),B(2,0)恰是P的轨迹的左、右顶点,而直线l:x=1是P的轨迹的右准线,并且P的轨迹的离心率为2,这是巧合还是必然?于是笔者经过研究得到了离心率为…     

数学解题过程中的反馈调节

控制论研究系统的控制,而所谓控制则是通过反馈实现有目的的活动。笔者认为数学解题过程也是一个控制过程,它是通过由初始状态(题的条件),到目标状态(题的结论)逐步转化来实现现的.要实现数学解题过程中的有效控制,反馈调节是十分重要的一环。数学解题过程本身无固定模式可循,具有不确定性,因而具备可控的条件.从控制论的观点     

2012年北京大学保送生考试数学试题第5题的探究

2012年北京大学保送生考试数学试题第5题:射线l1,l2同时过点O,直线l与l1,l2分别交于P,Q,且线段PQ的中点为M.若△POQ的面积定值c,证明:(1)M的轨迹关于l1,l2的夹角的平分线m对称;(2)M的轨迹为双曲线.此题是难得一见的"靓题",它在考查几何法解析法在解析几何中的灵活运用的同时,还揭示一些蕴涵深刻的几何性质.笔者在欣赏此题的命精彩之余,对该试题揭示的结论的逆命题做了一性探究,得出如下结论.     

例谈开放题的类型与解题思路

数学开放题是指那些答案和解题方向不确定的问题.它是打破模式化的非常规性问题,无法依靠简单模仿来解决.要解答好开放题,要引导学生多方向、多角度、多层次思考,探寻答案.本文结合2001年中考试题,浅谈开放题类型及解题思路. 数学开放题按命题要求的发散倾向分类:条件开放型、结论开放型、策略开放型、综合开放型四类. 一、条件开放型 条件开放型是指问题的结论确定以后,尽可能变化己知条件,需要从不同的角度,用不同的知识来解决问题.     

用对立统一观点解解析几何题

因为数学自身的变化、发展,数学问题无不蕴含着各种辩证统一的关系.反之,用辩证统一的唯物主义观点,来指导解数学题,不但会有意想不到的效果,而且能强化辩证统一观,提高学生的数学素质.本文就对立统一观指导下,以解解析几何题举例以飧读者.1　利用动与静的辩证关系,巧解解析几何题动与静是一对对立统一的矛盾题,解题中通过动与静的相互转化,或以动求静,或以静求动,是解决数学问题的很好策略.例1　椭圆长轴为8,短轴为6,中心在第一象限,并始终与x轴及y轴相切,求椭圆中心C的轨迹.分析　若静止地从固定坐标轴的角度分析,解题有困难.如图1,若视椭圆为不动,而将两坐标轴看成椭圆的两垂直图1动切线移动,易求得与中心C为原点,对称轴为坐标轴的椭圆相切且互相垂直两切线的交点O的轨迹为圆:x2+y2=a2+b2=25,即交点O与中心C的距离始终为5.由此推知原问题的椭圆中心轨迹为圆弧:x2+y2=25(3≤x≤4,3≤y≤4)(解略).2　利用生与熟的辩证关系,化解解析几何题生与熟的对立统一,启发我们解题时要善于去留心、注意陌生条件的熟悉一面,从而找到解决问题的最佳途径.例2　已知椭圆x28+y24=1和点P(4,1),过P点作直线交椭圆...     

圆都去哪儿了——巧找隐圆,解决线段范围问题

纵观近几年的高考,对轨迹问题的考查基本分两类：一类是“显性”的,即常见的求动点的轨迹方程问题,其实质就是用“坐标化”将条件转化为变量间的数量关系,如2010年江苏卷第18题.这类问题除了考察学生对常见曲线的定义、     

圆都去哪儿了——巧找隐圆,解决线段范围问题

纵观近几年的高考,对轨迹问题的考查基本分两类：一类是“显性”的,即常见的求动点的轨迹方程问题,其实质就是用“坐标化”将条件转化为变量间的数量关系,如2010年江苏卷第18题.这类问题除了考察学生对常见曲线的定义、