关于"圆锥曲线的一类定值问题"的再探讨

文 [1 ]证明了如下三个结论 :结论 1　已知抛物线ｘ2 =-2ｐ(ｙ-ｂ)上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与抛物线交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值ｘ0Ｐ.结论 2　已知椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与椭圆交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值ｂ2 ｘ0ａ2 ｙ0.结论 3　已知双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与双曲线交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值 -ｂ2 …     

圆锥曲线动弦的“保值性”

圆锥曲线的许多性质不仅优美而且和谐.文[1]得到了圆锥曲线中关于动弦的性质1.性质1过圆锥曲线上一定点P任作两条动弦PA、PB,当这两弦的斜率之积、斜率之和或者倾斜角之和三者中有一个为定值时,动弦AB所在直线过定点或有定向.     

设点(x,kx)解题举隅

若直线OP的斜率为k,借助k设P点坐标(x,kx)对解一类解析几何题能起到化繁为简,化难为易,另辟解题新路的作用. 例1 已知A、B、C、D是抛物线y~2=2px上四点,求证当ABCD四点共圆时,这四点的纵坐标之和为0.     

圆锥曲线有关切点问题探究

<正>一、2017年全国Ⅰ卷文科数学圆锥曲线题探源原题设A,B为曲线C:y=x²/4上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB     

两相交直线所成角的平分线方程

首先 ,我们看例 1.例 1　现有两直线 :ｘ + 2ｙ + 2 =0 ,2ｘ +ｙ + 2 =0 ,求这两直线交角的平分线的方程 .通过一般解法得出角平分线方程为 3ｘ + 3ｙ + 4=0或ｘ -ｙ =0 .但如果将这两方程相加或相减 :ｘ+ 2ｙ + 2 + 2ｘ +ｙ + 2 =0 3ｘ + 3ｙ + 4 =0 ;ｘ + 2ｙ +2 - 2ｘ -ｙ - 2 =0 ｘ -ｙ =0 ,也和上解相同 .那么是不是存在这么一个规律 :相交两直线的角平分线方程即为两直线方程和或差 ?对例 1加以研究分析发现ｋ1·ｋ2 =1,那么是不是所有两直线方程斜率之积为 1时都成立呢 ?答案是肯定的 ,下面是简要论证过程 :若两直线斜率的乘积为 1…     

过定点且与线段相交的直线斜率问题

求过定点且与定段相交的直线斜率问题 ,是高中数学教学的一个难点 ,本文将就这类问题归纳总结 ,以达到化难为易的目的 .实例 :已知直线l过定点P(x0 ,y0 ) ,且与定线段AB相交 ,其中A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,求直线l的斜率k的取值范围 ?先考虑直线PA、PB斜率均存在的情况 .设PA、PB的斜率分别为k1 ,k2 不妨设k1 相似文献   

平移、齐次化在圆锥曲线高考题中的应用

圆锥曲线是历年高考命题中的重点也是难点,经常涉及到斜率之和、斜率之积等问题,对学生分析问题及运算能力有较高要求.很多学生在知道思路的情况下,往往因为计算复杂而无果而终.2021年高考乙卷第21大题及近三年高考题中多次出现可以转化为斜率之积或之和的问题,以及涉及直线过定点的问题,等等.有没有一种方法能避开复杂计算来解决有关斜率之和、斜率之积的问题呢?本文中从2021年全国高考乙卷第21大题说起.     

拓展视角 优化解题——对一道新高考数学试题的探究

圆锥曲线作为高考数学必考的一种题型,在数学考试中占有很大的比重,文章结合一道具体的高考数学真题,对圆锥曲线中涉及两条直线的斜率之和为零的问题进行了探析,并进行推广得出了一般性结论.     

一类解几问题的简捷求解

有关圆锥曲线弦的二端点与原点连线的斜率问题，涉及高中解析几何中许多重要的知识点，具有一定的深度和难度．若用常规方法解决，运算量大，过程冗繁．本文拟通过实例介绍这类问题的简捷求解模式．例1抛物线y-一步与过点M（0，一1）的直线l相交于A、B两点，O为坐标原点．若直线OA与OB的斜率之和为l，求直线l的方程．（1993年上海市高考试题）解设直线1的方程为y一hX一1，即1一＊X一y，代入抛物线方程Zy叫十X'一0中得2／在X一则十X'一O，整理后两边同时除以，Z一右叶十2一叩．一〕1＝n三状讪、句。是双万程的二根，且外。牛河。一1，…     

深度思考 揭示本质 提升能力--2022年全国Ⅰ卷第21题的研究之旅

通过对2022年全国Ⅰ卷第21题的一题五问的深度思考,感受高考试题的魅力,感悟解析几何中两直线斜率之和为定值、斜率之积为定值这一模型背后的本质,体会运算“三步曲”与平移齐次化的方法在该类型中的运用,提升学生数学运算、逻辑推理等数学素养.     

对一道填空题的再思考

文[1]对以下问题进行了研究:问题过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一条斜率大于0的直线l与抛物线交于A、B两点,若在准线上存在点P使△PAB是等边三角形,则直线l的斜率等于__.并得到以下结论:     

以直线的斜率公式立意的数学试题

我们知道经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是k=(y2-y1)/(x2-x1).普通高中数学课程标准对这一公式提出了"理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式"的教学要求,所以直线的斜率是高中数学的重要内     

到两定直线距离之和(差积商)为定值的点的轨迹

<正>平面上到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆,这一轨迹概念有各种各样的推广.本文讨论了平面内到两相交直线距离之和、差、积、商为定值的点的轨迹,可供中学生及老师参考.为研究方便,不妨设两相交直线为l_1:y=kx,l_2:y=-kx(k>0),动点P(x,y)到l_1、l_2的距离分别记为d_1,d_2,且d_1与d_2之和(差、积、商)m为定值且不等于0.     

解读直线的斜率

直线的斜率是中学数学一个重要的概念 .它不仅是直线的一个重要特征 ,而且充分挖掘其内涵 ,数形结合 ,可以巧妙地解决其他一些数学问题 .1　直线斜率的主要相关知识1 )定义 :直线的倾斜角不是 90°时 ,倾斜角的正切值为直线的斜率 .即α≠ 90°时 ,k =tanα .2 )直线上两点 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) (x1≠x2 )的斜率公式 :k =y2 - y1x2 -x1.3)利用求导数的方法可求曲线上某点处切线的斜率 .2　直线的斜率在解题中的应用直线的斜率除了在写直线的方程、讨论两条直线的位置关系方面有重要的应用外 ,还有下列应用 :1 )在直线的倾斜角、斜率互求中的…     

一次小小的成功探索

在网上看到2004年北京一道高考题: 过抛物线y2=2Px(P>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2). (Ⅰ)求该抛物线上纵坐标为P/2的点到其焦点F的距离; (Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,求y1+y2/y0的值,并证明直线AB的斜率为非零常数。     

基于参数方程的解析几何问题研究

<正>问题呈现已知圆x~2+y~2=4,过点P(0,万)的直线l交该圆于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB面积的最大值是().(A)3~(1/2)(B)2 (C)23~(1/2)(D)4解法1由已知得,直线AB的斜率必定存在,且假设其斜率为k,则直线AB的方程是y-3~(1/2)=k(x-0),     

对教参一道习题证明的补遗

平面解析几何课本P99有这样一道题：过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2＝－P2．教学参考书（人民教育出版社）给出的解题过程是：证明设过焦点的直线为去分母后整理得ky2－2py-kp2＝0设这个方程的两根为y1，y2，则有我们知道，不是所有的直线都存在斜率的，并且只有当直线斜率存在时，才能写出其点斜式方程．不难看出，本题的过焦点的直线斜率有可能不存在，因为点斜式方程不包括这种情形，所以本题的"证明"不严密完整的证明还应补上直线科率不存在这种情形的证明：若过焦点的直线的斜…     

7 直线和圆圆锥曲线

7 1　直线方程和简单的线性规划内容概述1 在平面直角坐标系中 ,常用的直线普通方程形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式Ax+By+C =0五种 ,求直线方程常用待定系数法 .2 过两点 (x1,y1)、(x2 ,y2 ) ,倾斜角为α(α ≠π2 )的直线的斜率可以用斜率公式k =tanα =y2 - y1x2 -x1求得 ,当α=π2 时 ,直线的斜率不存在 .3 若两条直线有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2 :y=k2 x+b2 时 ,则l1∥l2 　 　 k1=k2 ,b1≠b2 ;　l1⊥l2 　 　k1k2 =- 1;若两条直线至少有一条没有斜率时 ,它们的平行、垂直关系都容易根据它们的具体情况进行判断 .4 …     

一类直线方程求法的探讨及应用

在圆锥曲线中,已知弦的定比分点,求弦所在直线的方程常见解法是利用直线的参数方程及参数的几何意义求解.当分点为弦的中点时,求弦所在直线的方程还有设所求直线斜率为k利用韦达定理及中点条件求出k值或者利用差换法求斜率等方法.这些解法运算量较大,不如下面两种解法简便。一、对称曲线作差法二次曲线f(x,y)=0中,以已知点M(x_0,y_0)为中点的弦如果存在,则弦所在直线的方程为f(x,y)-f(2x_0-x,2y_0-y)=0(*) 证明:设圆锥曲线的方程为f(x,y)=0,M(x_0,y_0)为已知点,如果曲线f(x,y)=0和     

平面解析几何中常见错误例谈

一、忽视截距为0的情况 例1 求经过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 错解1:设直线方程x/a+y/a=1将χ=2、y=3代人,得2/a+3/a=1,解得a=5故所求的直线方程为χ+y-5=0. 错解2:因为截距相等,所以直线的斜率k=±1所以直线的方程为χ+y-5=0或χ-y+1=0.