严格单调函数与Riemann积分有关的一些性质

下面的讨论都是对严格递增函数进行的(严格递减函数可同样讨论,以后遇到的函数f(x)均指严格递增函数)。首先给出一定理,它在一定程度上可看作是微分中值定理之逆。     

单调函数及其应用

设 f为定义在D上的函数 ,若对于D中任意两个数x1,x2 ,当x1f(x2 )时 ,称 f为D上严格递减函数 .递增函数和递减函数统称为单调函数 ,函数的单调性是函数的重要性质之一 ,利用函数的单调性 ,可以比较函数值的大小 ,证明一些不等式以及解决某些方程问题和函数极值问题 .例 1　证明 |x1+x2 +… +xn|1+|x1+x2 +… +xn|≤ |x1|1+|x1|+|x2 …     

函数单调性问题中的恒成立问题

有一类关于函数单调性的判定问题 ,根据函数单调性的定义 ,可转化为恒成立问题后 ,方便、快捷地得以解决 .例 1　设函数 f(x) =logπ(ax2 + 2x)在 [2 ,4 ]上为单调递增函数 ,求a的取值范围 .浙江《中学教研 (数学 )》2 0 0 3年第 4期中 ,用分类讨论法求解此题 ,较繁 ,现简解之 .解　因为 f(x) =logπt在t∈ (0 ,+∞ )上为单调递增函数 ,所以只需t =ax2 + 2x在 [2 ,4 ]上为单调递增函数即可 .若设 2≤x1- 2x1+x2在 [2 ,4 ]上须恒成立 .由…     

论函数的可微牲、单调性、极值的关系

<正> 众所周知,函数f(x)的可微性、单调性和极值之间存在一种特殊关系,即对于可微函数的f(x)而言,若在(a,6)内f~1(x)>0,则f(x)在(a,b)上是严格递增函数;如果在(a,b)内f~1(x)<0,那么f(x)在(a,b)上是严格递减函数。     

基于λ-递增函数的样本学习

在理论研究和实际应用中,神经网络的结构问题一直是个难点.本文利用Vugar E.Ismailov近期的研究成果,讨论了神经网络对样本点的学习问题.结果表明,利用λ-严格递增函数,只需两个隐层节点,就可以学会任意给定的样本集.同时讨论了在隐层节点中使用通常的Sigmoid函数与使用λ-严格递增函数作为活化函数的差别.     

连续函数的l凸性

在研究函数的性态时,笔者发现如下定义的l凸函数,它反映了函数中普遍存在的凸偏移现象.定义:设f(x)是定义在实数集D上的实值函数,常数l∈R,若对 xk∈M( D),pk≥ 0,k=1,2,…,n, (n∈N,n≥2),∑nk=1pk=1,都有f(∑ni=1pixi+l)≤∑ni=1pif(xi)则称f(x)为M上的l凸函数;当-f(x)为l凸函数时,称f(x)为M上的l凹函数.下面给出连续函数具有l凸性的两个判定定理:定理 1:设f(x)是定义在 [a,a+2l] (l>0)上的连续的增函数,则f(x)是 [a,a+l]上的l凹函数,也是[a+l,a+2l]上的(-l)凸函数.证明:设xi∈[a,a+l] (i=1,2,…,n),x1≤x2≤…≤xn,则xi+l∈[a+l,a…     

积分型Kantorovich不等式注记

针对具有凸性或单调增加的函数f,研究积分型的Kantorovich不等式.在f和1/f均为正值的凸函数的条件下,给出积分型的Kantorovich不等式右边部分的一个改进.在f同时为正值的凸函数和对数凹函数的条件下,给出积分型的Kantorovich不等式左边部分的一个加细.另外,在f为正的单调增加函数的情况下,给出Kantorovich不等式右边部分的一个加细.     

亚纯函数导数的例外集

1 引言及结果 设f是复平面C中超越亚纯函数.亚纯函数a_i(z)称为小函数,若a_i(z)满足T(r,a_i)=o(T(r,f))(i=1,2,…)。我们采用Nevanlinna理论中常用记号,用S(r,f)表示量:当f为有穷级时S(r,f)=O(log r);当f为无穷级时S(r,f)=O(log r T(r,f)),至多除去r的一个有限测度集。     

利用均值算法求解凸函数极小值的收敛性分析

郑权等在[1]-[3]中提出了一种求解无约束优化问题的均值算法，若假设目标函数f(x)是连续的，还讨论了均值算法的收敛性。若假设f(x) 有界闭集Ω上的凸函数，本文证明了求解凸函数极小值的均值算法是线性收敛的。     

关于面积单演函数的一个平均性质

1.引言设f(z)=u(xy)+iv(xy),z=x+iy,是确定在区域D上的一个复值函数,f(z)称作D上的一个面积单演函数,如果u,v在D上有连续的二阶导数,并且处处满足方程 Haskell在[1]中指出了这类函数具有一个积分特性。他证明了: 连续函数f(z)在D上面积单演的充分必要条件是:在D上有一个全纯函数g(z),使得对于一切点z∈D都有其中C(z,r)是以z为心、r为半径的圆周,C(z,r)以及它围成的圆域D(z,r)都在D内。     

关于变量个数的几个单调函数

目前 ,人们对比较变量大小之间关系的不等式较为关注 ,但是 ,笔者发现 ,有一些不等式在变量的定义域内 ,经过变量置换 ,可以得到关于变量个数的一些单调函数 .为了讨论方便 ,设实函数 f(x)的定义域为x∈(a ,b) ,实数Pi>0 (1≤i≤n) ,n∈N .记λn=∑ni=1Pi,An=∑ni=1Pixi/λn,Bn=∑ni=1Pif(xi) /λn.定理　若 f(x)在区间 (a ,b)上为凸函数 ,则φ(n) =λn[f(An) -Bn]是n的递增函数 .证　设x′i∈ (a ,b) ,根据凸函数定理有f(A′n)≥B′n (1)A′n=∑ni=1Pix′i/λn,B′n=∑ni=1Pif(x′i) /λn.令x′1=x′2 =… =x′n - 1=An - 1,x′n=xn…     

强预拟不变凸函数的充要条件

本文引入了一类新的广义凸函数—强预拟不变凸函数.讨论了强预拟不变凸函数与预拟不变凸函数、严格预拟不变凸函数及半严格预拟不变凸函数之间的关系,得到它的三个充要条件:(i)当条件P_1满足时,f是强预拟不变凸函数的充分必要条件是f是预拟不变凸函数且f满足中间点强预拟不变凸性;(ii)当条件P_2满足时,f是强预拟不变凸函数的充分必要条件是f是严格预拟不变凸函数且f满足中间点强顶拟不变凸性;(iii)当条件P_2满足时,f是强预拟不变凸函数的充分必要条件是f是半严格预拟不变凸函数且f满足中间点强预拟不变凸性.     

函数的双参数平均的几个性质

对于函数 f(x) q的双参数平均 Mp,q(f;a,b) ,证明当 f(x)为单调函数时它是 a,b的单调函数 ;当f (x)不是常量时它是 p,的严格增函数     

一道联赛题的多种解法

题目（2010年全国高中数学联赛填空） 已知函数f（x）=√x-5-√24-3x,则f（x）的值域为_______． 解法一（复合函数法）通过观察易知数y=√x-5在[5,8]上是增函数,且y=√24-3x在[5,8]上也为增函数,因此f（x）在其定义域[5,8]上为增函数,故f（x）的值域为[-3,√3].     

高阶亚纯系数非齐次线性微分方程解的零点

讨论一类高阶亚纯系数非齐次线性微分方程解的零点问题,当方程的系数A0是亚纯函数且满足δ(∞,A0)=δ(0)和lim(r→∞)log T(r,Ao)/log r=∞时,如果f1和f2是方程f((k))+A(κ—1)f((k—1))+…+Aof=F的两个线性无关解,得到max{λ(f1),λ(f2)}=∞.还考虑了σ(F)=∞或Ad(1dκ—1)满足lim(r→∞)log m(r,Ad)/log r=∞的情况.     

补偿凸变换与半凸函数的几何奇点提取

补偿凸上变换和下变换是对给定函数作"紧贴"逼近的单参数单向变换.本文将它们应用到R~n中局部具有一般模的半凸/半凹函数和DC-函数(即两个凸函数的差函数)的奇点提取.(局部)半凹函数最常见的几何例子有Euclid距离函数和平方Euclid距离函数.对于局部具有一般模的半凸函数f,本文证明在局部意义下,x是f的奇点(即不可微点)当且仅当它是f的1-阶"谷点",因而用本文的方法可以从具有一般模的局部半凸函数中提取所有的这些精细的几何奇点.更确切地讲,如果f是局部具有一般模的半凸函数,则"局部的"1-阶"山谷"变换在每个点x的极限存在,而且有显式表示lim_(λ→+∞)λV_λ(f)(x)=r_x~2/4,其中Vλ(f)(x)是f在x点的"山谷"变换,rx是f在x点次微分?-f(x)的最小包含球面的半径.所以,极限函数V∞(f)(x):=lim_(λ→+∞)λV_λ(f)(x)=r_x~2/4提供了一个半凸函数奇点1-阶"谷点"的"景观函数".同时,它也提供了补偿上凸变换Cuλ(f)(x)当λ→+∞时的一阶渐近展开式.对于具有局部线性模的局部半凸函数,本文进一步证明,补偿凸上变换的梯度当λ→+∞时的极限lim_(λ→+∞)▽C_λ~u(f)(x)存在,并且这个极限等于次微分?-f(x)的最小包含球面的中心.对于DC-函数f=g-h,本文证明它的1-阶"边缘"变换,当λ→+∞时满足lim inf_(λ→+∞)λE_λ(f)(x)(r_(g,x)-r_(h,x))~2/4,其中r_(g,x)和r_(h,x)分别是次微分?-g(x)和?-h(x)的最小包含球面的半径.     

强预不变凸函数的充要条件

本文讨论了强预不变凸函数与预不变凸函数、严格预不变凸函数及半严格预不变凸函数之间的关系,得到它的三个充要条件：(i)在一定条件下,f是强预不变凸函数的充分必要条件是f是预不变凸函数且f满足中间点强预不变凸性；(ii)在一定条件下,f是强预不变凸函数的充分必要条件是f是严格预不变凸函数且f满足中间点强预不变凸性；(iii)在一定条件下,f是强预不变凸函数的充分必要条件是f是半严格预不变凸函数且f满足中间点强预不变凸性．     

从“摹仿”到“运用自如”

波利亚认为数学教学应给学生留下可供摹仿的模式。我在讲高中代数第一册(甲种本)P.40的例2: 已知函数f(x)是奇函数,而且在(0,+∞)上是增函数,f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数?     

导数在判断函数单调性上的应用

函数的单调性是函数的重要性质之一,有时对于一些函数的单调性我们不易做出判断时,可以使用导数进行判断:即设函数y=f(x) 在某个区间内可导,若f′(x)>0,则在这个区间上为增函数,如果f′(x)<0,则在这个区间上为减函数．但是应用时应注意在区间内 f′(x)>0是y=f(x)在此区间上为增函数的充分条件而不是必要条件．同时f′(x)<0也是在区间上为减函数的充分条件而不是必要条件．     

抽象函数问题解法例谈

<正>就抽象函数本文总结和反思先者的经验,写此拙文供同学们参考.一、特例法例1已知f(x)是R上的增函数,令F(x)=f(1-x)-f(3+x),则F(x)是R上的( ).(A)增函数(B)减函数(C)先减后增函数(D)先增后减函数