空間幾何作圖的基礎

在平面幾何中,所有幾何作圖皆是實際的,也就是說,它們可以利用適當的工具,在平展的圖上得以實現,並且,這些工具本身包含了所對應的幾何圖形:直線(直尺)、圓(圓規)、垂直直線(帶直角的尺)等等作圖的可能性。利用適當工具的幾何作圖可能性的理論基礎,在各種情况下,是被關係於幾何圖形作圖的可作元素類的定義系統所规定。這樣,如果考慮到作為作圖工具的圓規和直尺,那么,這些作圖的形式被下述之定義系統所實观。如下元素是可作的:一 1)在作圖題中的所有已知元素;以及對於平面上的任意點(這些點對於作圖是必要的輔助元素)。 2)直線,如果它是由兩個可作點所確定的。 3)圓,如果它是由可作的半徑和中心所確定的。 4)兩個可作直線的交點。 (定義系統是引自(?)契特維茹痕((?))教授的論文《在中學立體幾何學中,幾     

中等學校裹序列的學習

本文的目的是按照中等學校裏應該講授的計畫給中學數學教師以學習序列問題的典型的探討。序列應該看作是以自然數為變元的函數,因此,必需重複一下學生們在八年級就已得到了的關於函數的基本知識。函數的定義大致以下面的形式教給八年級的學生們。如果變元x的每一允許的數值,對應著某個完全確定了的數值y,那末y就是變元x的函數。所給的x值的集合叫做變元的允許的數值的集合或函數的定義域,而相應的y的數值的集合就叫做函數的數值的集合。要規定一個函數,就應該確定變元的允許的數值的集合和一個對應的規律,按照這個規律,可以給變元的每個已給的數值確定一個唯一的函數值。 學生們應該知道,集合和對應的概念是函數的定義的基礎,它們是基層的,那就是說,集合和對應的概念不能藉助更簡單的概念來定義。     

多邊形面積唯一性的證明

以下約定:凡云多邊形係指簡單多邊形,即多邊形的顶點互不同,邊內沒有顶點,兩邊的交點不在其邊內者;又凡稱面積都是面積的测度,即用數來表示平面一部分的大小,而面積的單位是固定的。我們知道三角形的面積是底乘高之半;一個多邊形總可以分裂成有限個三角形,顯然,分法不止一種,例如李森林同志證明的聯對角線法(本刊第12號),路見可同志證明的打格子法(本刊第1號),通常我們是用所有部分三角形面稹之和作為該多邊形的面積的,於是發生了這樣一個問題:從邏輯上的觀點看,對一個多邊形的不同分法會有不同的面積麼?最初注意到這個類似問題的人是德曹利特,有所謂德氏公理;後來被     

函數及其圖形

本文在使“學生獲得關於函數之基本知識,和將來需要的技能”的目的之下,細緻地指岀在八九年級如何講解這個重要論题。著者為了說明自己的講法不厭煩地舉出相當的多例和圖形,本文前部着重指岀:1°函數定義域之確定;2°就圖形來研究函數;3°函数研究與具體問題之連系(尤其指岀佔有重要地位的極大極小問題);4°圖形觀察對於方程解答的幾何說明的應用。本文後部繼續指岀前部1°、2°如何可以應用到指數函數或對數函数的研究上;最後提及圖解方程以求其近似根的這件事。我們認為:目前我國正在進行教學改革,無論大,中,小學其教材和教法都是採用蘇聯的和學習蘇聯的。本文不只由於提岀“函数及其圖形”的教法,對中學教學教師有益;而且以目前大一學生數學程度參差不齊,高等数學不能不有適當的講法和補充的教材,所以本文對于高等學校数學教師也有重要的啟示。     

对現行高中立体几何課本第一章第Ⅲ、Ⅳ兩节教材安排的一些意見

我認为在講过第III节§22作图題之后最好不接着講§23垂线和斜綫的長,因为容易使学生糾纏在“过已知点如何作一条直綫垂直于已知平面呢”?“要想找到一个平面的斜綫的射影,不会作过已知点垂直于已知平面的直綫能行嗎”?同时,課本中接着又講§24直綫与平面垂直的推广定理及§25三垂綫的正逆定理,而在講解中,特别是佈置習題三中的16題和17題,     

初中代數第三章代數除法與簡乘公式的教學

(一) 代數除法部分 I.教學目的 這一個單元的教學目的是使學生透徹瞭解“除法”的意義從而掌握除法的法則特別是多項式除法的法則,所謂瞭解除法的意義乃是指在教學當中不可僅使學生機械地記住一些死的方法而未諳其理由,因為如果這樣的話,則學生所記住的法則不但不能鞏固地掌握。而且在演算習題的時候,也不能根據理論来自己檢查其是否錯誤,所謂掌握除法的法則乃是指在理解理論的基礎上要求對法則特別熟習,演算得正確迅速。Ⅱ. 教學上的幾個具髏問題 1.在講除法的開始——單項式的除法——時,應該先清楚地講明白“所謂A÷B乃代表一個合於BC=A的C,根據這個定義,便可知: a~m÷a~n=a(m-n) (m>n),     

一個作圖題的另外解法

本通報1953年1-2月號發表的“東北敬部編譯「平面幾何」中的三個作圖題”一文中第一題“求作一圓,切於已知角的一邊上的已知點,而於另一邊上截取一弦等於已知綫段”,現有文成宜和王麗庭兩位同志提出另外的解法,但兩位同志的解法賞大致相類,為省篇幅,我們經過改寫合併發表於下。 設P是已知角XOY的OX邊上的一個已知點,l為已知綫段,假定所求圓已經作出,它切OX於P點,截OY得AB弦,有AB=l(這裹AB與OY同向)。今將P點依OY的方向平移至Q點,使PQ=l,於是PQBA為平行四邊形;再以直綫OY為軸將Q點反射得Q′點,則有     

特殊的仿射聯絡空間

<正> §1.在n維的仿射聯絡空間中,一對稱張量b_(ij)及二個仿射聯絡G_(ik)~i,Γ_(ik)~i如滿足依據诺爾勤的說法,聯絡偶G_(ik)~i,Γ_(ik)~i关於張量b_(ij)是共軛的.作者曾經擴充這個思想而定義m個聯絡關於一個m階的對稱共變張量是共軛的場合,當時曾提出由m-1個聯絡如何决定第m個聯絡的問題,從而得到一系列的     

算術課本第二分册§171分數四則的教學

(一)教學目的因為§171是分數一章的最後一個小單元,而分數四則的運算理論及法則前面都已講过,此較简單的應用問题的解法,學生已具有相當的基礎,因此,§171的教學目的似應着重兩點:(1)把以前學過的分數四則,再加鞏固一下,即對於加減乘除的混合算式。要使學生演算得正確和熟練,特別是關於口算的地方,要使學生掌握一定程度的熟練技巧。(2)關於混合使用加減乘除的應用問題,要使學生理解並能熟練地作出解法。正如教學大綱(草案)算術部分說明中所謂:“算術教學的目的在於教會學生自觉地、     

怎樣編製在幾何教學中提問和鞏固的問题

1.怎樣編製提問的問題 複習提問主要是為了檢查學生對學到的知識鞏固的程度怎樣;另一方面又為了得以系统地導出新課。但由於每堂課具體內容的不同擬定提問的問題也應當隨之不同。一般的我們從下列幾方面來考慮編製: (一)為了回憶起來与新課內容有密切聯繫的舊知識編成問題來提問学生,是用來集中學生的已知知識作為講授新課的基礎,在作法上是提問單個學生但要求全體學生都能回憶起來這些知識才算達到目的,從而才能順利的講授新課。     

我们对学生成绩检查及五级分评分标准的初步体会

我們全面學習蘇聯教學的先進經驗是從1953年度上學期開始的,學習的方法,可以說是邊學邊做,就是一邊聽取關於如何運用教學原則,教學環節及五級分制等報告和組织讨論;同時另一邊就根據自己的體會認真備课並試用各個環節進行教學及五級分制記分。開頭一個階段,我們碰到的問題很多,在備課方面:教材的精神從何體會起,教材的科學性與思想性如何體現,如何結合愛国主義教育等等。在运用教学環節方面:認為組織教學沒啥可做,複習檢查太佔時間,講授新课的時間太少!鞏固教學舆佈置     

談一個求極限的問題

<正> 中國科學二卷四期有華羅庚先生的一篇文章,題為“一個求極限的問題”,其結果如下: 命ω(u)為u的實變函數,當u≥1時其定義如次:     

軌跡教法的經驗

圖形的運動變化,軌跡方法的應用,新教材是非常重視的。因為幾何教學的任務之一,就是對空間觀念的培養和發展學生空間的想像力,而“軌跡”就能幫助解决很多的問題,過去同學學習“軌跡”时,由於教師教法生硬、先講定義,以致同學感到“軌跡”太抽象,不易理解,因此我認為講解這一節時必须很好地體會教材,熟習教材,學習蘇聯先進教學方法,運用直觀教具并多舉同學日常生活所熟習的事例來講解。     

我對於代數學教程中關於近似计算法的一點意見

最近教師們在使用中等技術學校代數學教程時,發現下面幾個問題: (1) 在第二章“近似算法”中,存疑數字的定義不够確印嚴密; (2) 準確有效數字和存疑數字的兩個定義不相啣接; (3) 在第四章開平方的近似算法中違反前面自己所立的法則(乘法); (4) 還違反了自己所立的四捨五入法 這樣就使教師們和同學們發生疑難,為了更好的學習蘇聯,讓我把該書的主要精神指出,並對錯誤部分提出一些補充和修正意見;還希望大家提供意見,來解决在使用教材中所發生的疑難問題。 (一) 該書關於“近似算法”的主要精神,在結合四捨五入法提出準確有效數字的定義 (1) 該書首先介紹數的四捨五入法(§19)這是最好的近似數的記法,測量值的記法是和四捨五入法一致的,也以誤差不超過最精細單位的     

關閉撓曲線的全曲率

<正> §1.引言.大家知道,微分幾何學所討論的一般是關於圖形的局部性質.但是這些局部性質與圖形的整個性質間常存在有某些關係.討論圖形的整個性質的微分幾何學叫做整體性的.關於整體性微分幾何學有這樣的一個著名定理:設一關閉撓曲線C     

初中平面几何头十六課的教学

第1課这一节課教学几何学的簡短历史和几何圖形(§1—2)。几何学的定义可以留到講平面几何学的定义(§5)时一起講。这样在說明了几何学的研究对象以后,再介紹几何学的定义,学生就比較容易接受。     

如何啟發学生在作圖题中寻求適当的补助線

几何作圖題,在中学数学教材里,是一个重点,也是最难的一部分,因此同学对於作圖題一般均感到困难,無从下手,特別是面积的作圖,更觉困难,怎样去分析,怎样去作补助線这一系列的問題,同学往往因难於思考,而感到苦悶,由於我們教师自己業务水平低,在講解过程中,也往往是演繹多啟發少,甚至照本宣讀,講解例題,关於补助線的問題,为什么这样作?从何思考得来?也是只知其然,不知其所以然,不能很自然地引出这一补助線的道理来,以致同学也無法来掌握关於作圖問題的規律与方法。     

指數函數及對數函數理論的基礎

我們知道關於指數函數及對数函數的理論,古典的辦法,是以極限(?)為基礎的,這個辦法,正如Hardy所指出,有許多不方便處,因之,好些數學家(Hurwitz似乎是第一個)採取了別種辦法:他們將指数函數定義為對數函數的反函數,而將後者本身定義為一個積分 log x=integral from n=1 to x((1/t)dt)這個辦法,無疑是美麗的,這裏我們不擬細說它,我們只來提出另一個新辦法,即     

論柯爾莫哥洛夫統計量的真確分佈及其漸近展開

<正> §1.引言 擬合隹度之檢定是數理統計中主要問題之一.在一維變量的情形,這一問題可以表述如下:基於某種考慮我們設想隨機變數X的分佈函數是F(x).現在問,X的n次獨立試驗的結果     

多複變數非歐空間中黎曼曲率的估值問題

<正> §1.引言 用(z)=(z~1,…,z~n)代表n個複變数,並命z~k=x~k+iy~k,此處x~k,y~k(1≤k≤n)是實數。代表x~1,…,x~n,y~1,…,y~n所定義的2n維空間中的一個域。我們現在並不假定它是受囿,抑單連通等性質。命