利用类比探求椭圆的一个最值问题

问题设椭圆方程为ax22 yb22=1(a>b>0),AB是过椭圆内的定点P(m,n)的弦,求△OAB的面积的最大值.图1我们先来考虑圆的一个类似问题:设A′B′是过圆x′2 y′2=a2内的定点P′(m′,n′)的弦,求△OA′B′的面积的最大值.如图1,设A′(acosα,asinα),B′(acosβ,asinβ),则S△OA′B′=1     

Pedoe不等式和另一个涉及两个三角形的不等式

1.设△ABC与△A'B'C'的边长分别为α,β,γ与α′,β′,γ′,它们的面积分别为△与△′,则有不等式 H≡α′~2(-α~2 β~2 γ~2) β′~2(α~2-β~2 γ~2) γ′~2(α~2 β~2-γ~2)≥16△△′(1)式中等号当且只当△ABC∽△A'B'C'时成立。     

等价无穷小代换在求极限过程中的应用

等价无穷小代换是一种很灵活的求极限方法。如果用来替换的无穷小选择恰当的话 ,可以使计算简化。但替换中要严格遵守无穷小替换法则 ,即定理 1　在自变量同一变化过程中 ,设 α～ α′,β～ β′,且 limβ′α′存在 ,则 lim βα=limβ′α′证明见 [1 ]。定理 1说明 ,无穷小替换只能在积商运算中使用。其实不然 ,等价无穷小代换也能在多项式无穷小之比时使用。例 1　求 limx→ 0x-sin2 xx+sin2 x解　原式 =limx→ 0x-2 xx+2 x=-13例 2　求 limx→ 0tanx-sinxx3解　原式 =limx→ 0x-xx3=0例 1正确 ,但例 2错误。事实上 ,limx→ 0tanx -sin…     

用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系再探

文[1]介绍了用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系,受文[1]启发,笔者发现用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系的另一种方法,现介绍如下:定理1设椭圆短半轴长为b,长轴为AA′,直线l与过A,A′且垂直于AA′的直线分别相交于两点M,M′,则1)AM·A′M′=b2直线l与椭圆相切;〗2)AM·A′M′b2直线l与椭圆相离.证明设椭圆方程ax22 yb22=1(a>b>0).A(-a,0),A′(a,0),直线l:Ax By C=0.因直线l与过A,A′且垂直于AA′的直线分别相交于两点M,M′,故B≠0,M(-a,aAB-C),M′(a,-aA-CB),AM=(0,aAB-C),A′M…     

关于椭圆性质的另一种推导

如图1所示,αl β为平面角等于θ的二面角(规定0°<θ<90°) .已知α平面内有一半径为R的圆O ,则圆O在β平面内的正射影为椭圆.研究过程如下:图1　研究用图在α内,以O为原点建立直角坐标系xoy ,其中ox轴∥l,则其在β内的正射影记为直角坐标系x′o′y′.设α上圆O :x2 + y2=R2 上一点为M (x ,y) ,它对应(这里的对应指由α到β的正射影,下同)于β上一点M′(x′,y′) ,则x′=x ,y′=y·cosθ,即x =x′,y =y′/cosθ,将其代入圆O的方程x2 + y2 =R2 中,得x′2R2 + y′2(Rcosθ) 2 =1 ( 1 )记a =R ,b =R·cosθ,则由( 1 )有x′2a2 + y′2b2 …     

两个锐角三角形外心性质的别证与拓展

<正>1性质呈现^([1])(1)如图1,O是锐角△ABC的外心,∠BAC是锐角,AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于点D、E、F,EF、FD、DE分别交AO、BO、CO于点D′、E′、F′,则1/OD-1/OD′=1/OE-1/OE′=1/OF-1/OF′.(2)如图2,O是锐角△ABC的外心,AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于点D、E、F,记∠ADC=α,∠BEA=β,∠CFB=γ,则BCcosα+ACcosβ+ABcosγ=0.     

构造点巧解三角问题

<正>有些三角问题,若用常规方法来解比较繁琐,运算量大,但若通过构造点(a cosα,bsinα),利用数形结合就可巧妙解决.一、求值例1已知sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0.求cos~2α+cos~2β+cos~2γ的值.分析由条件可知,同一个角的正弦余弦同时出现,故可设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),则A、B、C是单位圆x~2+y~2=1上的三个点,它们到坐标原点的距离都等于1,所以坐标原点是△ABC的外心,再根据sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0     

用斜率求函数的值域

本文介绍利用直线的斜率求一类分式函数的值域.例1求函数y=(3x2-1)/(x2+2)的值域.解y可看成是点A(-2,1)与点(X,3x2)连线的斜率.设x′=x′,y′=3x2,则y′=3x′(x′≥0),故原函数的值域即为点A(-2,1)与射线y′=3x′(x′≥0)上的点(x′,y′)的连线斜率的取值范围.     

问题征解

一、本期问题征解 1.已知47~(100)是168位数,试求47~(25)的位数。 2.已知x、y为正整数,且xy=24,求函数1/(x~2+y~2)的极大值。 3.在△ABC和△A′B′C′中,已知∠B=∠B′,BC=B′C′,AB+AC=A′B′+A′C′, 求证△ABC≌△A′B′C′。 4.在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,AC延长线上取一点E,使DB=EC,连接DE交BC于G,求证DG=GE。黄冈上巴河标云岗中学熊红英 5.M为BC边的中点,AD为∠A的平分线。过A、D、M三点作圆设交AB、AC于E、F点,求证BE=CF。     

韦达定理的逆定理在三角中的应用

如果两个数α和β满足如下关系:α+β=b/aαβ=c/a,那么这两个数α、β是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根,我们知道,这便是韦达定理的逆定理。下面举例说明它在平面三角中的应用。例1 已知A+B=90°,sinAsinB=m。求证:tgA、tgB是方程mx~2-x+m=0的两个根。证明:∵A十B=90°, ∴A=90°-B B=90°-A。∴tgA+tgB=sinA/cosA+sinB/cosB =sin(A+B)/cosAcosB=1/sinBsinA =1/m (1) ∵tgAtgB=tgActgA=1 (2) 故根据韦达定理的逆定理,由(1)、(2)