函数零点存在问题探究

<正>函数的零点体现了函数方程思想,利用函数零点解决函数问题、方程问题已成为高考命题的一个热点,探索快捷的或一般性解决策略是非常必要的.问题已知函数f(x)=(x-2)e~x+a(x-1)~2.讨论a>0时,f(x)零点个数.     

例析有零点函数的参数取值问题

<正>高考解答题中涉及参数的函数问题,主要考查函数的单调性、函数的零点、函数的极值(最值)、求参数取值,解题过程中往往用到分类讨论、数形结合、化归与转化等思想方法,处理这类问题,同学感到困难.本文结合2016年全国高考Ⅰ卷理科数学21题第一小问,探讨有零点函数中参数的取值问题基本思路.已知函数f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)x+a(x-1)²有两个零点,求a的取值范围.一、函数零点判定函数零点个数的判定     

一类函数零点存在问题解法探究

<正>函数的零点体现了函数方程思想,利用函数零点解决函数问题、方程问题已成为高考命题的一个热点,探索快捷的或一般性解决策略是非常必要的.问题(自2016全国课标卷Ⅰ,21(文、理))已知函数f(x)=(x-2)e~x+a(x-1)~2.讨论a>0时,f(x)零点个数.     

不可忽视三次函数图像的对称性

<正>1.缘起大家知道,三次函数f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d,(a,b,c,d∈R,a≠0)作为导数运用的一个基本载体,平时的训练主要侧重于单调性、极值或最值、零点、切线等问题,而关于函数的几何特征—图像的对称性并没有进行较深入的研究(仅限于勾画一些函数的草图).这就导致了学生遇到一些特殊问题时,就会茫然无措.在高三复习训练中,笔者就曾经给学生布置过以下两道小题:     

三次函数图像对称性的证明

<正>我们已经知道二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax2+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d     

考题新解

<正>2015年浙江省高考数学文科最后一题(第20题),其中第二小题的题目中涉及到函数的零点问题,标准答案是利用函数、方程、不等式思想解的题目.事实上,利用函数零点的概念解题还是比较简单明了的,请看下面的解法.设函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R).     

例说零点问题的解法

<正>含参数零点问题是历年高考考查的热点,难点之一.下面就2018年我校的第一次月考试题给出一类含参零点问题的两种策略与三种解法.一、考题呈现已知函数f(x)=alnx+3/2x~2-(a+3)x恰有两个零点,则实数a的取值范围是().(A)(-3/2,+∞)(B)(-3,0)(C)(-3/2,0)(D)(-3/2,-1)试题分析本题以对数函数与二次函数为载体,用导数研究其单调性,极值,进而研究零点问题,考查学生的运算能力,逻辑推理能力,分析问题能力,体现了分类讨论,数形结合,函数与方程,转化与极限思想.     

浅谈迭代函数的零点问题

<正>我们先给出迭代函数的概念:一般地,如果给定一个函数f(x),它的值域是其定义域的子集,那么我们可以记f⁽¹⁾(x)=f(x),f(1)(x)=f(x),f⁽²⁾(x)=f(f(x)),f(2)(x)=f(f(x)),f⁽³⁾(x)=f(f(f(x))),……,f(3)(x)=f(f(f(x))),……,f⁽ⁿ⁾(x)=f(f(n)(x)=f(f^(n-1)(x))=(f(f(…f(x)…)))n个f并把它们依次叫做函数f(x)的一次迭代,二次迭代,三次迭代,……,n次迭代.n称为f(x)的迭代指数,显然,n次迭代就是同一函数的n次复合函数,下面讨论与二次迭代函数的零点     

函数与方程问题中的转化

<正>函数的零点与方程根的问题是高中数学的重要内容,也是高考热点考题之一.往往涉及的函数与方程都比较复杂,并不是能直接解出零点或能求出方程根的问题,它需要将复杂的函数或方程问题转化为我们熟悉的函数或方程问题,并结合不同函数图象的位置关系达到求解的目的.     

看似不同却相同 同构函数蕴其中

<正>同构函数的思想是指,当一个方程或不等式左右两边结构形式相同时,用同一个函数来描述问题的思想方法.如何发现同构函数并运用同构函数呢?这要同学们多观察题目所给式子的结构来选择恰当方法.1参数分离直接构造法例1 (2020年全国Ⅱ卷11题)若2^x-2x-2^y<3y<3^(-x)-3(-x)-3^(-y),则().(A)ln(y-x+1)>0(B)ln(y-x+1)<0(C)ln|x-y|>0(D)ln|x-y|<0     

实系数一元三次函数图象的判别

文[1]给出了实系数一元三次方程实根的一个判别式,觉得意犹未尽,自然想到一元三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的判别问题,文[1]似乎有所涉及,但没有像讨论一元二次函数的图象那样清晰完整.为此,本文在这方面作了一些尝试,并给出一点应用.     

导数问题中指数类型函数的变形问题

<正>指数函数是高中阶段非常重要的一种函数类型,跟指数函数有关的不等式恒成立问题,方程有解问题都是常见题型.画图像时往往先求导找单调区间,当遇到形为y=e^x+f(x)的函数,其导函数是y=ex+f(x)的函数,其导函数是y=e^x+f′(x).求单调区间时候往往需要解超越不等式,那么可能需要二次求导甚     

三次与四次函数图像对称性探索

<正>二次函数是初中数学教学的一个重难点,我们先来回顾一下.对于二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x2+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x²+b/ax+c/a).根据公式(x+m)2+b/ax+c/a).根据公式(x+m)²=x2=x²+2mx+m2+2mx+m²,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)2,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)²+n(其中m、n是与x无关的常数).从上式中得到f(x)的对称轴方程为x=m(m=-b/2a),这也可以表达为:对于任意的x总有f(m     

三次函数零点个数问题的分类讨论标准

<正>形如f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)的函数称为三次函数.高中阶段需掌握三次函数性质如下:性质1 f(x)恒过定点(0,d).性质2若a>0,当x→+∞时,f(x)=+∞;当x→-∞时,f(x)=-∞.若a<0,当x→+∞时,f(x)=-∞;当x→-∞时,f(x)=+∞.说明:性质1虽然显而易见,却往往是学生画图时经常忽略的前提条件.性质2则是三次函数的无穷大性质,要求图像始终穿过x轴     

三次函数图像的切线问题研究

三次函数的导函数是高中同学非常熟悉的二次函数,所以在学习导函数的应用问题时,经常要以三次函数为研究对象.首先看一个例题.已知三次函数f(x)=1/3x~3+4/3,①求曲线在点P(2,4)处的切线方程;②求曲线过点P(2,4)的切线方程.解显然点P(2,4)在三次函数f(x)=1/3     

导数问题中证明函数不等式的常用策略

<正>导数问题中证明函数不等式,关键是构造好相应的辅助函数,利用导数研究其单调性、最值.基于此,如何构造出合理可行的辅助函数是解决这类问题的突破口,本文将通过实例谈谈构造的常用策略.策略一:移项构造例1已知函数f(x)=e^x-axx-ax²+1,g(x)=(e-2)x+2,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.     

函数零点问题的求解路径分析

含参的函数零点讨论问题,是近些年来函数压轴的常见题型,本文中借此题型分享了几个含参函数零点问题的解题感悟,找到了使得函数值异号的点大致的三种路径.路径一,分离出代数式中已经能判定符号的式子,将剩余部分视作“零”,通过解方程找到所需定号的“点”;路径二,利用自变量取值范围将某些超越式放缩为常数;路径三,利用y=e^x在x=0处的切线进行放缩,也即利用e^x≥x+1及其变形式进行放缩.     

利用导数探究函数零点个数问题

<正>利用导数研究函数的零点(或方程根的个数)问题,是近年高考数学中的一类热点问题.这类问题融合了利用导数研究函数的图象与性质、函数零点的概念、零点存在性定理以及方程的根的分布等一系列知识,具有较强的综合性,对同学们思维的严谨性也有较高的要求,应引起我们的高度重视.本文以2020全国卷Ⅰ文科数学20题第(2)问为例,从几何、代数两个角度探究函数零点个数问题,希望对同学们有所帮助.     

利用公切线研究曲线的位置关系

<正>1问题发现近期本人在同学们的作业中发现了这样一个问题:判断函数f(x)=e^x-xx-x²的零点个数.该问题在同学们之中引起了广泛讨论,争议点就是当x>0时,函数f(x)是否存在零点.许多同学选择了对函数f(x)求两次导数的方法解决了上述问题,这不失为一种较为理想的方法,但我们的研究不能止步于此,有没有更好的可以解决该问题的方法呢?     

构造函数法证明不等式

<正>构造函数法就是根据所证不等式的特征,构造适当的函数,然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等性质来证明不等式,这种方法,统称为构造函数法.例1设a,b,c∈R,求证:a²+ac+c2+ac+c²+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立.证明左边整理成关于a的二次式f(a)=a2+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立.证明左边整理成关于a的二次式f(a)=a²+(c+3b)a+c2+(c+3b)a+c²+3b2+3b²+3bc.∵Δ=(c+3b)2+3bc.∵Δ=(c+3b)²-4(c2-4(c²+3b2+3b²+3bc)=