非线性Lipschitz算子的Lipschitz对偶算子及其应用

在文山中我们对非线性Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ算子定义了其Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ对偶算子，并证明了任意非线性Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ算子的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ对偶算子是一个定义在Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ对偶空间上的有界线性算子．本文还进一步证明：设Ｃ为 Ｂａｎａｃｈ空间 Ｘ的闭子集，Ｃ＊Ｌ为Ｃ的 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ对偶空间，Ｕ为 Ｃ＊Ｌ上的有界线性算子，则当且仅当 Ｕ为 ｗ＊－ｗ＊连续的同态变换时，存在Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续算子Ｔ，使Ｕ为Ｔ的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ对偶算子．这一结论的理论意义在于：它表明一个非线性Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ算子的可逆性问题可转化为有界线性算子的可逆性问题．作为应用，通过引入一个新概念──ＰＸ－对偶算子，在一般框架下给出了非线性算子半群的生成定理．     

非线性Lipschitz算子的定量性质（Ⅰ）─Lip数

本文定义了非线性算子的Ｌｉｐ数，它从数值上刻画了在强等价距离意义下非线性算子的最小Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数．基于所引进的Ｌｉｐ数，我们证明了线性算子Ｎｅｕｍａｎｎ引理及扰动引理的非线性推广．我们也给出了Ｌｉｐ数的两个极有意义的估值定理．     

C~m空间中非线性Lipschitz连续算子的定量性质

在有限维复Ｂａｎａｃｈ空间Ｃｍ中,全体Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续算子构成一赋半范的非线性算子空间Ｌ（Ｃｍ）．本文研究Ｌ（Ｃｍ）中非线性算子的定量性质,包括：Ｌ（Ｃｍ）中可逆算子到不可逆算子集合的逼近距离、Ｌ（Ｃｍ）中算子乘幂压缩的逆问题以及Ｌ（Ｃｍ）中算子的数值值域与谱集的联系,文中所得结果推广了线性算子理论中许多著名结论．     

非线性 Lipschitz 连续算子的定量性质(III)------glb-Lipschitz数

本文引进非线性Lipschitz算子T的glb-Lipschitz数l(T),并证明l(T)定量刻画非线性Lipschitz连续算子全体所构成的赋半范算子空间中可逆算子T保持可逆的最大扰动半径,因而具有特别重要意义.所获结果被应用来建立``非线性扰动引理'、非线性算子条件数、推广线性算子逼近理论和建立与矩阵理论中Gerschgorin圆盘定理对应的非线性Lipschitz连续算子谱集的包含域.     

非线性Lipschitz算子的定量性质（Ⅰ）—Lip数

本文定义了非线性算子的Ｌｉｐ数，它从数值上刻画了在强等价距离意义下非线性算子的最小Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数。     

关于非线性Lipschitz算子的Soderlind猜想

设ｆ是以Ｌ（ｆ）为最小上界Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数，以ρ（ｆ）为谱域半径，以γ（ｆ）为Ｇｅｒｓｃｈｇｏｒｉｍ域半径的有限维非线性Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ算子，本文证明了“存在等价范数‖．‖＾＊使Ｌ＾＊（ｆ）＝ｒ＾＊（ｆ）的Ｓｏｄｅｒｌｉｎｄ猜想；给出反例否定了Ｓｏｄｅｒｌｉｎｄ的另一猜想：”存在等价范烤‖．‖ε使Ｌε使Ｌε（ｆ）≤ρ（ｆ）＋δ的猜想。     

非线性Lipschitz算子的定量性质(V)──数值值域

本文引入 Ｂａｎａｃｈ空间上非线性 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ算子 Ｔ的另一个重要定量特性——数值值域Ｗ（Ｔ）．我们证明： Ｗ（Ｔ）与Ｇｅｒｓｃｈｇｏｉｎ域Ｇ（Ｔ）及谱集σ（Ｔ）具有关系σ（Ｔ） ■ ＣｏＷ（Ｔ）＝ Ｇ（Ｔ）．同时,利用此数值域,我们对算子可逆,稳定与压缩的定量性质进行了深入的研究．     

非线性Lipschitz-α算子的若干性质

本文引入并研究Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ－α算子（简称Ｌｉｐ－α算子）我们首先给出这类算子的定义及其基本性质;然后,讨论Ｌｉｐ－α算子的可逆性并引入它的α－阶条件数,并给出其在研究非线性算子方程扰动问题中的一个应用;其次,还研究了Ｌｉｐ－α算子列的收敛性,引入并研究了Ｌｉｐ－α极限与Ｌｉｐ－α　Ｃａｕｃｈｙ列,证明过零Ｌｉｐ－α算子空间是一个Ｂａｎａｃｈ空间．     

非线性Lipschitz连续算子的定量性质（Ⅳ）──谱理论

本文将有界线性算子谱的定义及若干重要谱性质推广至非线性Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续算子，并得到一些有意义的结果．     

关于非线性Lipschitz算子的Sderlind猜想

设ｆ是以Ｌ（ｆ）为最小上界Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数、以ρ（ｆ）为谱域半径、以ｒ（ｆ）为Ｇｅｒｓｃｈｇｏｒｉｍ域半径的有限维非线性Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ算子．本文证明了“存在等价范数‖·‖使Ｌ（ｆ）＝ｒ（ｆ）”的Ｓｄｅｒｌｉｎｄ猜想；给出反例否定了Ｓｄｅｒｌｉｎｄ的另一个猜想：“存在等价范数‖·‖使Ｌ（ｆ）ｒ（ｆ）”（注意ｒ（ｆ）与ｒ（ｆ）的区别），同时也否定了“ε＞０，存在等价范数‖·‖ε使Ｌε（ｆ）ρ（ｆ）＋ε”的猜想．作为以上所获结论的应用，本文将有关Ｄａｕｇａｖｅｔ方程的相应结果推广到了非线性算子情形．     

非线性Lipschitz算子半群的渐近性质及其应用

本文对一类非线性算子半群————Lipschitz算子半群的渐近性质进行研究,刻划了非线性Lipschitz算子半群所具有的基本渐近性质（这些性质与线性算子半群所具有的基本渐近性质相一致）,证明了作为线性算子对数范数的非线性推广,Dahlquist数能用于刻划非线性Lipschitz算子半群的渐近性质.为克服Dahlquist数只对Lips-chitz算子有定义的缺点,本文引入一个全新的特征数:广义 Dahlquist数,并证明广义Dahlquist数比Dahlquist数能更为精确地刻划Lipschitz算子半群的渐近性质.作为应用,得到关于 Hopfield型神经网络全局指数稳定性的一个新结果.     

On the Hadamard lemma and the Lipschitz condition

We prove that the difference of values of a nonlinear Lipschitz continuous differential operator is always representable as the difference of values of some linear Lipschitz continuous differential operator with the same Lipschitz constant. The proof is based on the Hadamard lemma, provided that, in addition to the above requirements, the nonlinearity is continuously differentiable in spatial variables. In general case the proof is based on various criteria of the weak compactness and on various approximative statements obtained by the Steklov averaging technique.     

Banach空间的Lipschitz对偶及其应用

本文引进Banach空间E的一个全新对偶空间概念—Lipschitz对偶空间,并证明：任何Banach空间的Lipschitz对偶空间是某个包含E的Banach空间的线性对偶空间,以所引进的新对偶空间为框架,本文定义了非线性Lipschitz算子的Lipshitz对偶算子,证明：任何非线性Lipschitz算子的Lipschitz对偶算子是有界线性算子．所获结果为推广线性算子理论到非线性情形（特别,运用线性算子理论研究非线性算子的特性）开辟了一条新的途径．作为例证,我们应用所建立的理论证明了若干新的非线性一致Lipschitz映象遍历收敛性定理.     

奇异半线性发展方程的局部Cauchy问题

本文在Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ中讨论如下问题ｄｕｄｔ＋１ｔσＡｕ＝Ｊ（ｕ），０＜ｔＴ，ｌｉｍｔ→０＋ｕ（ｔ）＝０，其中ｕ：（０，Ｔ］Ｅ，Ａ是与ｔ无关的线性算子．（－Ａ）是Ｅ上Ｃ０半群｛Ｔ（ｔ）｝ｔ０的无穷小生成元，常数σ１，Ｊ是一个非线性映射ＥＪ→Ｅ．它满足局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件．我们证明了当其Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数ｌ（ｒ）满足一定条件时．问题（Ｓ）有局部解，且在某函类中解唯一．设Ｊ（ｕ）＝｜ｕ｜γ－１ｕ＋ｆ（ｘ）（γ＞１），Ｅ＝Ｌｐ，ＥＪ＝Ｌｐγ时得到了与Ｗｅｉｓｌｅｒ［２］在非奇异情形类似的结果．     

Riesz函数演算的Lipschitz性质

设A是具有单位的复Banach代数,Ω为复平面C上的一个区域,γ是复平面上的任一可求长的封闭曲线且其内部区域ins(γ)Ω,证明了存在A的子集A_δ~γ,使得对于Ω上的任一解析函数f,Riesz函数演算f:xf(x)是从A_δ~γ到A中的Lipschitz映射即f∈L~1(A_δ~γ,A)且其Lipschtiz常数(L_1(f)■M_f(γ)Γ)/(2πδ~2)．作为这一结果的应用,研究了算子值的根式函数TT~(1/m)及绝对值函数T|T|的Lipschitz性质．最后,证明了:若f为一个复值整函数,则对任一非空有界集EA,有f∈L~1(E,A)．     

About the Lipschitz property of the metric projection in the Hilbert space

We consider the metric projection operator from the real Hilbert space onto a strongly convex set. We prove that the restriction of this operator on the complement of some neighborhood of the strongly convex set is Lipschitz continuous with the Lipschitz constant strictly less than 1. This property characterizes the class of strongly convex sets and (to a certain degree) the Hilbert space. We apply the results obtained to the question concerning the rate of convergence for the gradient projection algorithm with differentiable convex function and strongly convex set.     

On the Lipschitz continuity of derivatives for some scalar nonlinearities

Vector nonlinearities determined by a scalar function arise in various mathematical models. The numerical solution of the corresponding partial differential equations often rely on the Lipschitz continuity of the derivative of the nonlinear operator. In this paper a simple sufficient condition is given for the required Lipschitz continuity, also providing an easily computable estimate of the Lipschitz constant. Some discussion is included for the corresponding elliptic operators.