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题 92 (扇形材料的下料问题 )要想在一块圆心角为α (0 <α <π) ,半径为R的扇形铁板中截出一块面积最大的矩形 ,应该怎样截取 ?求出这个矩形的面积 .解 1)当 0 <α≤ π2 时 ,有两种截取的情形 :情形 1:如图 1,矩形的一条边落在半径上 ,设AB =x ,AD =y ,Rt△AOD中 ,OD =ysinα,△ODC中 ,∠ODC =π -α ,由余弦定理得R2 =x2 + y2sin2 α- 2·x· ysinαcos(π -α)≥2xysinα+2xycosαsinα ,∴xy≤ R2 sinα2 (1+cosα) =12 R2 tan α2 .当且仅当x =ysinα时等号成立 ,结合xy =12 R2 tan α2 ,易求 y =Rsin α2 ,OD =R2cos … 相似文献
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现有一张圆形的马口铁皮 ,半径为R ,若要焊制一只漏斗 ,应该怎样下料才能使做好的漏斗有最大的容量 ?图 1分析 假设做得的圆锥体形状的漏斗如图1所示 ,若圆口半径为x ,高为h ,因为它是半径为R的铁皮制成的 ,故h =R2 -x2 ,所以圆锥的体积v =13 πx2 h =13 πx2 R2 -x2 .所以v2 =π32 ·x4 ·(R2 -x2 ) =π218·x2 ·x2 ·(2R2 -2x2 ) .又由于x2 +x2 + (2R2 -2x2 ) =2R2 为定值 ,运用平均不等式知x2 =2R2 -2x2 即x =63 R时 ,漏斗有最大的容量 ,于是角α的弧度为α=2πR -2πxR =2πR(R -63 R) =2π3 (3 -6) ,该角为 66°4′.当截去中心… 相似文献
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1 问题用一张长 80厘米、宽 50厘米的长方形铁皮做一只无盖长方体铁皮盒 (焊接处的厚度和损耗不计 ) .问这只铁皮盒尽可能大的体积是多少 ?2 错解分析将长方形的四个角都去掉一个小正方形后围成一个无盖长方体 ,如图 1 ,设被去掉的小正方形的边长为xcm ,则V =sh =( 80 - 2x) ( 50 - 2x)·x=4x( 2 5-x) ( 4 0 -x) ,0 x 2 5.图 1根据基本不等式得 ,V =4x( 2 5 -x)·( 4 0 -x)=2 ( 2x) ( 2 5-x) ( 4 0 -x)≤ 2 ( 2x + 2 5-x + 4 0 -x3) 3=2 ( 6 53) 3=2 0 342 .6 (cm3)仔细体会不难发现 ,上述过程中出现了在使用平均不等式求最值的最… 相似文献
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一般地,如图1,过双曲线上任一点A作x轴、y轴的垂线AM、AN,所得矩形AMON的面积为S=AM×AN=x×y=xy,又因为y=kx,所以xy=k,所以S矩形AMON=|k|,S△AOM=1/2|k|, 相似文献
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性质 椭圆 x2a2 +y2b2 =1(a >b >0 )上任意一点P与过中心的弦的两端点连线PA ,PB与对称轴不平行 ,则直线PA ,PB的斜率之积为定值 .图 1 性质证明用图证明 如图 1,设P(x ,y) ,A (x1,y1) ,则B(-x1,- y1) ,∴ x2a2 +y2b2 =1(1)x12a2 +y12b2 =1(2 )(1) - (2 )得x2 -x12a2 =- y2 - y12b2 ,∴ y2 -y12x2 -x12 =- b2a2 .∴kPA·kPB=y - y1x -x1·y +y1x +x1=y2 - y12x2 -x12 =- b2a2为定值 .这条性质是圆的性质 :“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广 ,它充分揭示了椭圆的图 2 推论图本质属性 ,因而能简洁解决问题 .推论 … 相似文献
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《代数》(必修)(上)(人民教育出版社)有如下例题:例题 把一段半径为R的圆木,锯成横截面为矩形的木料,怎样锯法才能使横截面面积最大?解 因为锯得的矩形的横截面是圆内接矩形,所以它的对角线是圆的直径,其长度为2R,设对角线与一条边的夹角为θ(如图1),则AB=2Rcosθ,BC=2Rsinθ,∴S=2Rcosθ·2Rsinθ=2R2sin2θ.∵sin2θ≤1,∴S≤2R2.当S=2R2时,θ=45°,圆内接矩形为正方形.答:以圆木的直径为对角线,锯成横截面为正方形的木料时,横截面的面积最大.本例使学生认识到建立目标函数求最值的一种新方法———… 相似文献
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探求椭圆面积公式的另一种方法 总被引:4,自引:0,他引:4
关于椭圆面积公式的探求有多种方法 ,不少的刊物上曾刊登过相关的研究文章 ,本文给出另一种探求方法 .图 1如图 1所示 ,设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ) ,Ak(xk,yk) (k=1 ,2 ,3,...n)是椭圆上的n个点 ,A1 A2 ...An 是椭圆的内接n边形 ,当n→∞时 ,|AkAk+1 |max =ln → 0 ,则 x2 ka2 + y2 kb2 =1 ,由此得x2 k + abyk2 =a2 ,可见 ,点Bk xk,abyk (k =1 ,2 ,3...n)是圆x2 +y2 =a2 上的n个点 ,且这n个点在圆上的排列顺序与点Ak(k=1 ,2 ,3...n)在椭圆上的排列顺序相同 ,所以 ,B1 B2 ...Bn 是圆x2 +y2 =a2 的内接n边形 .连接OA1 ,OA2… 相似文献