“|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|”的补注及应用

“|a| - |b|≤ |a±b|≤ |a| + |b|”是高中数学新教材第二册 (上 )第 2 0页的一个重要不等式定理 ,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具 ,课本限于篇幅 ,主要介绍它在证明不等式中的应用 ,而其它方面很少涉及 ,且何时取等号也未指明 ,本文对此加以补充并例谈其应用 .1　定理的补注1)等号成立的条件|a +b| =|a| + |b|当且仅当ab≥ 0 ;|a -b| =|a| + |b|当且仅当ab≤ 0 ;|a| - |b| =|a +b|当且仅当 (a +b)b≤ 0 ;|a| - |b| =|a -b|当且仅当 (a -b)b≥ 0 .2 )不等号成立的条件|a +b| <|a| + |b|当且仅当ab <0 ;|a -b| <|a| + |b|当且仅当ab …     

用几何方法探求|x-u|±|x-v|=2t型方程的解

本文拟从几何角度来研究|x-u|±|x-v|=2t型绝对值方程在实数范围内的解的情况。 首先,我们来看方程(以下称椭圆型绝对值     

利用|z_1 z_2|~2 |z_1-z_2|~2=2|z_1|~2 2|z_2|~2解题

关于复数模的有关性质之一有公式|z_1 z_2|~2 |z_1-z_2|~2=2|z_1|~2 2|z_2|~2其几何意义是:平行四边形两对角线的平方和等于四边平方和,利用它解决一类有关复数模的问题不但有效,而且解题过程简单,方法新颖。例1 已知|z 3 4i|~2 |z-3-4i|~2=80求|z|:并说明z点的轨迹表示的图形。分析若设z=x yi代入已知整理,则会步骤冗长,利用     

活用|a·b|≤|a|·|b|解题举例

向量不等式|a·b|≤|a|·|b|是向量的一个重要性质,本文例谈它的应用.例1若a,b∈R且a1-b2 b1-a2=1.求证:a2 b2=1.证明记a=(a,b),b=(1-b2,1-a2),由已知条件知a·b=1,又|a|=a2 b2,|b|=2-a2-b2,由|a·b|≤|a||b|得(a2 b2)(2-b2-a2)≥1,化简得(a2 b2-1)2≤0,故a2 b2=1.例2(1957年北     

ab≥0■|a+b|=|a|+|b|

初中代数介绍有理数(后来为实数)加法时,法则分两部分。第一是符号法则,第二是绝对值法则。关于后者,最后可归纳成: ab≥0|a+b|=|a|+|b|。可逆的箭头,表示可逆的法则。例1 已知同号两数a、b的绝对值为2和5,求a+b。解:ab>0得 |a+b|=|a|+|b|=2+5=7。所以有 a+b=±7。以上是法则的正用,以下看法则的逆用,     

关于|a+b|=|a|+|b|及|a-b|=|a|-|b|的应用

1.在重要不等式|a+b|≤|a|+|b|中,当且仅当a≥0,b≥0或a≤0,b≤0时等号成立,即|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0。因此|a+b|<|a|+|b|的充要条件是ab<0。同样,等式|a_1+a_2+…+a_n|=|a_1|+|a_2|+…+|a_n|成立的充要条件是a_1,a_2,…,a_n有相同符号。这一简单事实,在数学中有着重要的应用。 1)在解方程中的应用解方程|lg(2x-3)+lg(4-x~2)|==|lg(2x-3)|+|lg(4-x~2)|。解:根据|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0,所以原方程等价于不等式 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0。解这个不等式: lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 2x-3>0 4-x~2>0     

巧用|m·n|~2≤|m|~2|n|~2简解三类分式型三角函数最值问题

我们知道,根据向量的数量积公式,可以得到向量的一个性质:|m·n|~2≤|m|~2|n|~2.这个性质看起来非常简单,却有着十分广泛的用途.可利用它来解决三类分式型三角函数的最值问题,并且解答过程简洁、明了、快捷、容易理解,便于学生掌握.为了便于表述,在这里把此性质称为命题.     

|Z|~2=Z的应用技巧

公式、|z|~2=z(?)表达了共轭复数及复数模的重要性质。它沟通了复数,|z|~2与一对共轭复数zz的关系。应用它可以将复数模的问题与一对共轭复数的问题互相转化,使之在不改变问题的性质的前提下改变了问题的结构形式,有助于促成问题的解决。另外,该公式又可将关于复数z与|z|的方程转化关于     

1.|a b|>|a| |b|

有众所周知}a bl(la! !b{,在这里我们却}a bl》ial }b}.诸肴如下证明:*为一且二_八亘万_压二画三二一’一’I口 bl可(a 吞)1心(a b)(a b) ︼一人U. 一t,一,一.办 一.︸︺叭一办一 一‘U一之一al一一叭U李,一b 叼a︸ 一a_旦口十石 。 b不),雌 !b}}a b}篇-_I,口。、乓乏‘石不十石落j, (l) (2)得{a} }b}}a b} a-下-r十a十O:}a bl》}a! b。 b}bl...‘l,‘ ‘1.|a b|>|a| |b|@曹存富$宁波市北仓区教研室~~…     

不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的补注

“|ａ| -|ｂ|≤ |ａ±ｂ|≤ |ａ| + |ｂ|”是高中数学中的一个重要不等式定理 ,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具 .课本主要介绍它在证明不等式中的应用 ,而其它方面很少涉及 ,且何时取等号也未指明 ,但在高考中却多次考查到 .为此本文加以补充并例谈其应用 .一、定理的补注1.等号成立的条件|ａ +ｂ| =|ａ| + |ｂ| ａｂ≥ 0 ;|ａ -ｂ| =|ａ| + |ｂ| ａｂ≤ 0 ;|ａ| -|ｂ| =|ａ +ｂ| (ａ +ｂ)ｂ≤ 0 ;|ａ| -|ｂ| =|ａ -ｂ| (ａ -ｂ)ｂ≥ 0 .2 .字母ａ ,ｂ的范围其实ａ ,ｂ不仅在实数中成立 ,且在复数集中也成立 .同时右边不等式…     

绝对值恒等式的应用

<正>近几年绝对值问题一直是浙江省高考的热点,因而各地的模拟卷里绝对值问题自然而然也成了"常客",而在解决这些问题的过程中经常出现下面一对绝对值恒等式的倩影:max{|a+b|,|a-b|}=|a|+|b|和min{|a+b|,|a-b|}=||a|-|b||,用它来解决与绝对值有关的问题往往可以做到事半功倍的功效.下面笔者通过具体的例题来解析这对恒等式的应用.     

函数f(x)=sum from i=1 to n |a_ix b_i|的最小值求法探究

众所周知,函数f(x)=|x-b1| |x-b2|(b1相似文献   

向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…     

再说“绝对值”

<正>浙教版七年级上数学教科书第一章第三节《绝对值》这一课时中给出了绝对值的定义:把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值,一个数a的绝对值表示为|a|.这个定义有着更深层次的理解:|a|表示数轴上数a表示的点到原点的距离,此时原点是省略的形式,也就是说|a|=|a-0|,这样就可以理解|a-1|就是表示数轴上数a表示的点到点1     

不等式“|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|”应用例析

不等式“|a|- |b|≤ |a b|≤ |a| |b|[1] ”(以下简称 [1])是高中数学的一个重要知识点 ,考试大纲说明中对此有明确要求 :会应用不等式“|a|- |b|≤ |a b|≤ |a| |b|”.事实上 ,如何有效地、灵活地应用不等式 [1]证明有关综合性代数推理题是高中数学的难点 .以下简述知识要点     

绝对值几何意义的探究与应用

<正>绝对值的几何意义:|x|的几何意义是数x在数轴上对应的点到原点的距离.|x-a|的几何意义是数x在数轴上对应的点到另一个数a在数轴上对应的点的距离,我们也可以理解为函数y=x与y=a的高度差.利用绝对值的几何意义,我们可以更有效地解决以下两类问题.问题一多个绝对值求和的最值问题     

函数f(x)=∑ni=1|aix+bi|的最小值求法探究

众所周知,函数 f(x)=|x-b1|+|x-b2|(b1＜b2)的最小值为|b1-b2|,此时x∈[b1,b2].这不仅可以利用函数图像求得,也可用绝对值不等式的性质很快得出结果.     

|x|究竟是不是代数式?—兼答一部分读者问

|x|这个式,在初等数学中,既不属于代数式,也不属于超越式。这是因为代数式和超越式所涉及的运算都没有包括“取绝对值”。换句话说,“取绝对值”这一术语含有与上述运算不同的特殊意义,尽管中学生很熟悉|x|,我们也只能说它是初     

从几何意义入手求绝对值的最值

《中学生数学》2010年9月(下)发表了田茂江老师的《一类新的绝对值最值问题》,文中讨论了形如|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…+|x-an|其中a1≤a2≤…≤an一类绝对值问     

求解含绝对值的最值问题

<正>我们知道,数a的绝对值为|a|,若要去掉绝对值的符号,应知道数a的正负大小值,当a≥0时,|a|=a;当a≤0时,|a|=-a.同时,还须理解绝对值的几何意义,即数a的绝对值|a|是指在数轴上表示数a的点到原点的距离.解含有绝对值的相关问题时,首先应去掉绝对值符号,这又须知道绝对值内的代数式的大小,当难以判断其大小时,常常须将该代数式进行分类讨论.现举几例求解有关含绝对值的最值问题,供参考.