谨防推广的陷阱

对于直线,有如下结论： 若直线l的方程为f（x,y）=Ax＋By＋C=0,及点P1（x1,y1）、P2（x2,y2）,则     

用点到直线距离公式解决与函数相关的问题

点P(x,y)到直线Ax By C=0距离为d=|Ax By C|/A~2 B~2,当P(x,y)在函数y=f(x)上时,该公式变为d=|Ax Bf(x) C|/A~2 B~2,本文通过引进函数y=f(x),借助该公式解决一些与函数相关的问题.1.求函数单调性例1求f(x)=|x 2-1-x2|的单调区间及单调性.分析把函数f(x)作为点线间距离,借助图象,看x变大时,该距离如何变?图1例1图解函数的定义域是-1≤x≤1,令y=1-x2,即x2 y2=1,y≥0.如图1,所以f(x)=|x 2-y|=|x 2-y|2×2,几何意义:半圆上动点M(x,y)到定直线l:x-y 2=0的距离的2倍.由图1知使OB⊥l时,B到l的距离最小,显然OB:y=-x,由x2 y2=1,(y≥0),y=-x,…     

点关于直线对称点的向量公式

1．公式 若点P（x0,y0）关于直线l：Ax＋By＋C=0的对称点Q（x1,y1）,则     

点到直线距离公式的研究性学习成果北大核心

1问题的提出 已知平面上的点P（x0,y0）,直线l：Ax＋By＋C=0（A,B不全为0）,求点P到直线l的距离d．     

二元一次不等式表示区域的右手判定法

在高中数学教科书中,判断Az＋By＋c〉0（〈0）表示点的集合在直线Ax＋By＋C=0哪一侧平面区域的问题,常用的判定方法是：由于对直线Ax＋By＋C=0同一侧的所有点（x,y）,     

运用向量知识解释平面解析几何问题

推证分两步进行：1)平面直角坐标系内任一直线，其方程都可写成Ax By C=0(A^2 B^2≠0)的形式；2)任一方程Ax By C=0(A^2 B^2≠0)在平面直角坐标系内都表示一条直线．其中要用到结论：“平面内过一点与一已知直线(法向量为非零常向量)垂直的直线有且只有一条．”     

点到直线的距离公式又一推法

问题已知点P(x0,y0)在直线l:Ax By C=0(A2 B2≠0)外,求点P到直线l的距离d. 解如图,设Q(x1,y1)在直线l上,且PQ l,则Ax1 By1 C=0①,且d=     

一类线性流形上矩阵方程X^TAX=B的反问题

设Ω={A∈ASR^nxn｜Ax=C，↓Ax∈RT（S），SS^＋C=0，T2^TC2=-C2^TT2，C2T2^＋72=C2}，考虑问题Ⅰ：给定X∈R^nxm，B∈R^mxm求A∈Ω，使得f（A）=｜｜X^TAX—B｜｜=min；问题Ⅱ：给定A^＋∈R^nxm，求A∈SE，使得｜｜A^＋-A｜｜=minA∈SE｜｜A^＋-A｜｜，SE是问题Ⅰ的解集。本文给出了问题Ⅰ、Ⅱ的解的通式，并给出了问题Ikf（A）=0成立的充分必要条件。     

用柯西不等式证明点线距公式

求点到直线的距离公式是一个很有魅力 的数学问题,它吸引广大师生为之苦苦思索, 得到很多证法.现介绍一种证法,供大家参考. 已知定点为P(x0,y0),定直线为Ax+By +C=0,求证点P到定直线的距离为 证明 设Q(x,y)为定直线上任意一点, 则d为|PQ|的最小值. ∵ C=-Ax-By, ∴Ax0+By0+C =-Ax-By+Ax0+By0 =A(x0-x)+B(y0-y). 再由柯西不等式:     

一样的赋值与不一样的结果

已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（x＋y）=f（x）＋2y（x＋y）,且f（1）=1,求f（x）的表达式．     

谨防推广的陷阱

对于直线,有如下结论:若直线l的方程为f(x,y)=Ax+By+C=0,及点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),则(1)线段P1P2与直线l无公共点     

一道调研试题的解法探究

武汉市2009届高中毕业生二月调研测试文科数学最后一题为： 已知曲线f（x）=x^3＋bx^2＋cs＋d经过原点（0,0），且直线y=0与y=-x均与曲线C：y=f（x）相切.     

函数问题的通法通解

题目 已知函数f（x）=ax^2＋bx＋c（a〉0,x∈R）的零点为x1、x2（x1〈x2）,函数f（x）的最小值为y0,且y0∈[x1,x2）,则函数y=f[f（x）]的零点个数是（ ）.     

y=f（a＋x）的特征确定y=f（x）的哪些性质？

函数y=f（a＋x）（a≠0，以下不特别说明都有这样的要求）是由函数y=f（x）经过简单的函数复合得来。它们之间从性质到图象都有着密不可分的关系．试题常以告诉y=f（a＋x）的性质。研究y=f（x）以及y=f（x）的其它复合函数的性质的形式命制．那么y=f（a＋x）的特征决定了y=f（x）的哪些性质？对这个问题的回答是解决这类问题的关键所在．     

用对称作差法处理弦的中点问题

记f（x，y）=Ax^2＋Bxy＋Cy^2＋Dx＋Ey＋F． 设点P（m,n）是圆锥曲线C：f（x，y）=0的一条弦AB的中点，C′是C关于点P对称的曲线（如图1），则曲线C上点A（B）关于点P（m，n）的对称点，B（A）在曲线C′上，故A，B是两曲线C，C′的交点。     

找回遗漏的解

题目1已知函数f（x）=｜x＋1｜＋｜x＋2｜＋…＋｜x＋2011｜＋｜x-1｜＋｜x-2｜＋…＋｜x-2011｜（x∈R）,且f（a^2-3a＋2）=f（a-1）,则满足条件的所有整数a的和是_____．     

多方向推导点到直线的距离公式

人教版高中数学第二册（上）P51： 在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为（x0,y0）,直线l的方程为Ax＋By＋C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？     

两类常见等式的证明

本文结合例题，说明两类常见等式的常用的证明方法。一、证明可微函数f（x）=C或等价于波形式的题目对于这类问题，我们可以通过证其等价命题f（X）=0来证明。例1特别地取a=1，代入上式得，即2例2证明：满足方程的函数是指数函数，其中为常数，C为任意常数。例3设周，x。是x’＋P（x）x2Q（x）的两个互异解，则对该方程的任一解人必有其中C为任意常数。又Y；yi、yZ、y是y‘＋p（2）y—Q（2）的解。由此可得：因而有二、证明某区间内存在一点e，满足F’（＄）—0或等价于该形的远目对于这类题目，我们可以以F（x）为辅助函数，在相应的…     

对一道2009年高考题误区剖析

全国高考2009年上海数学理科卷22题：已知函数y=f^-1（x）是y=f（x）的反函数，定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x＋a）与y=f^-1（x＋a）互为反函数，     

Stability Problem for Jensen-type Functional Equations of Cubic Mappings

In this paper, we establish the general solution and the generalized Hyers-Ulam-Rassias stability problem for a cubic Jensen-type functional equation,4f（（3x＋y）/4）＋4f（（x＋3y）/4）=6f（（x＋y）/2）＋f（x）＋f（y）,9f（（2x＋y/3）＋9f（（x＋2y）/3）=16f（（x＋y）/2＋f（x）＋f（y）in the spirit of D. H. Hyers, S. M. Ulam, Th. M. Rassias and P. Gaevruta.