Analysis of the oscillations of the Timoshenko beam

Zusammenfassung Die Schwingungen des Timoshenko-Trägers werden mit Hilfe sich ergänzender Variationsprinzipien analysiert. Es werden Rayleigh-Quotienten, die auf den beiden Prinzipien basieren, für die Eigenfrequenzen angegeben. Sodann werden duale Träger mit konstanten Querschnittpaaren definiert und die Beziehungen zwischen den Eigenfrequenzen und Schwingungsformen der dualen Träger diskutiert.     

Duality relations in the analysis of beam oscillations

Zusammenfassung Die Euler-Bernoullische Theorie der Schwingungen dünner Träger wird vom Standpunkt des Hamilton-Prinzips sowie eines Dualitätsprinzips aus betrachtet. Die Eigenfrequenzen werden mit Hilfe des Rayleight-Quotienten, basierend auf beiden Prinzipien, geschätzt. Die Struktur der Dualität von Trägern wird besprochen und das Verhältnis zwischen ihren Eigenfrequenzen und Eigenschwingungen wird diskutiert.     

Extremal principles and isoperimetric inequalities for some mixed problems of Stekloff's type

Zusammenfassung Das betrachtete Eigenwertproblem kann aufgefasst werden als dasjenige einer schwingenden Membran mit teilweise festem, teilweise freiem Rand, welche aber nicht im Innern, sondern auf dem freien Randteil Massen trägt.Die Eigenfunktionen sind harmonisch: das Stekloffsche Problem mit dem zugehörigen Rayleighschen Prinzip liefert für harmonische Funktionen andere Erkenntnisse als das Dirichletsche Problem mit dem Dirichletschen Prinzip [siehe insbesondere die Ungleichung (3)]. Isoperimetrische Ungleichungen werden durch konforme Abbildung auf ein Normalgebiet und Anwendung des Rayleighschen Prinzips auf die «verpflanzten» (siehePólya-Szegö [14]) Eigenfunktionen des Normalgebietes hergeleitet.     

Rectilinear shear flow of fluid with interacting deformable substructure

Zusammenfassung Die Grundgleichungen für eine lineare Theorie der Flüssigkeiten mit starker Konzentration suspendierter Partikel werden auf das Problem der geradlinigen Strömung mit Flüssigkeitsreibung zwischen zwei Platten angewandt. Es werden die Geschwindigkeit, die Partikeldeformation und die Spannungen bestimmt.     

Applications of variational principles in finite elasticity

Summary For some equilibrium states of a finitely deformed elastic body, variational principles can be used to provide bounds on overall quantities of physical interest. The principles are applied to the problem of the allaround finite extension of a plane sheet with a circular hole, and accurate estimates for the stress resultant at the outer edge are obtained for various extensions. The finite extension and torsion of an elastic cylinder is considered and bounds on the strain energy per unit length are obtained for an elliptical cylinder of neo-Hookean material with axes in the ratios of 2:1 and 4:1. The bounds lead to reliable estimates for the twisting moment and axial force.

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Zusammenfassung Für gewisse Gleichgewichtszustände eines endlich deformierten elastischen Körpers können Variationsprinzipien verwendet werden, um Schranken für globale Grössen von physikalischem Interesse zu erhalten. Die Prinzipien werden auf das Problem der allseitigen endlichen Extension einer ebenen Scheibe mit kreisförmigem Loch angewendet, und es werden für verschiedene Extensionen gute Abschätzungen der Resultierenden am Aussenrand gewonnen. Ferner wird die endliche Zug- und Torsionsverformung eines elastischen Zylinders betrachtet, und es werden Schranken für die Verformungsenergie je Längeneinheit für einen elliptischen Zylinder aus Neo-Hookeschem Material für die Achsenverhältnisse 2:1 und 4:1 erhalten. Die Schranken liefern zuverlässige Schätzungen für das Torsionsmoment und die Axialkraft.

     

Certain approximate analyses of large deflections of cylindrical shells

Zusammenfassung Es werden unter Benützung der Näherung von Berger vereinfachte Differentialgleichungen für grosse Deformationen elastischer Schalen hergeleitet und auf kreiszylindrische Schalen spezialisiert. Der rechtwinklige Streifen mit beliebigem Seitenverhältnis und der unendlich lange Streifen werden, beide mit Randauflage, im Detail behandelt. Die numerischen Ergebnisse für den quadratischen Ausschnitt werden mit anderen be kannten Lösungen verglichen.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research supported by a grant of the National Science Foundation.     

An approximate solution for the torsional properties of cylindrical shafts with multi-symmetrical curved boundaries

Zusammenfassung Vorliegende Arbeit befasst sich mit der genäherten Bestimmung der Drehsteifigkeit und Spannungsverteilung an der Oberfläche unrunder Wellenprofile. Mittels konformer Abbildung der betrachteten Querschnitte auf den Einheitskreis und der ermittelten Spannungsfunktion werden maximale Schubspannungen und Werte der Torsionssteifigkeit bestimmt, die mit den aus einer Versuchsreihe erhaltenen überprüft werden. Ein Vergleich der theoretischen und experimentellen Werte zeigt eine für technische Zwecke ausreichende Übereinstimmung.     

Energy inequalities and error estimates for torsion of elastic shells of revolution

Zusammenfassung Das dreidimensionale Problem der Bestimmung der Spannungen und Verschiebungen in einer elastischen, rotations-symmetrischen Schale unter axisymmetrischer Torsion kann auf ein Randwertproblem vom Neumannschen Typ für einen elliptischen Operator zweiter Ordnung zurückgeführt werden. Methoden, die auf Energieungleichungen basiert sind, werden verwendet, um die Fehler abzuschätzen, die entstehen, wenn diese Spannungen und Verschiebungen in einer dünnen Schale mit Hilfe der Ergebnisse der Schalentheorie annähernd berechnet werden.     

Minimax principle for magnetohydrodynamic channel flow

Summary A variational principle, applicable to a wide range of linear non-self-adjoint problems, is used to derive maximum and minimum principles for a magnetohydrodynamic channel flow. Truncated Fourier series for the velocity and magnetic field are found which give reasonable approximations at small Hartmann numbers.

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Zusammenfassung Ein auf ein breites Spektrum linearer nicht selbstadjungierter Probleme anwendbares Variationsprinzip wird benutzt, um maximale und minimale Prinzipien für einen magnetohydrodynamischen Kanalfluss abzuleiten. Verkürzte Fourierreihen für die Geschwindigkeit und für das magnetische Feld, die vernünftige Annäherungen bei kleinen Hartmannschen Zahlen geben, werden gefunden.

     

Permanent replicas of the crystalline structure of hailstones

Zusammenfassung Es wird eine Technik für die rasche Zubereitung dauerhafter Abgüsse (Replicas) der Struktur von Hagelsteinquerschnitten geschildert. Das Verfahren dürfte sich als besonders förderlich in Studien über die innere Struktur solcher Partikeln erweisen. Alle Vorkehrungen können in einem Raum normaler Temperatur vorgenommen werden, sofern eine Kühltruhe mit einer Betriebstemperatur bis –20°C zur Verfügung steht.Die Hagelschlossen werden auf einem Block aus plastischem Schaum verankert, mit einer Säge in zwei Teile geschnitten und die Schnittflächen mit grobem und feinem Sandpapier geschliffen und schliesslich über Samt geglättet, für welche Vorkehrungen nicht mehr als einige wenige Minuten benötigt werden. Hierauf werden die Eiskörper für etwa 15 min bei einer Temperatur von –20°C gehalten, oder so lange, bis sich auf den polierten Schnittflächen infolge Sublimation (Verdampfung) Ätzfiguren ausgebildet haben.Die geätzten Eisoberflächen werden mit einer 5%igen plastischen Lösung von einer Temperatur von –5°C überzogen und nach Abtropfen der überschüssigen Lösung alsdann auf –20°C gehalten, bis das Lösungsmittel verdunstet ist. Die entstandenen plastischen Filme werden hierauf von der Eisoberfläche abgestreift und zwischen zwei Glasplatten gebracht. Sie können in dieser Form entweder photographiert werden oder schliesslich als Diapositive Verwendung finden. Lichtbilder von natürlichen Hagelschnittflächen und solche von Abgüssen illustrieren die Leistungsfähigkeit des Verfahrens.     

Rarefied gas channel flow using the BGK model

Zusammenfassung Das Problem der Strömungsbildung in Couetteströmung suspendierter Partikel in Flüssigkeiten wird mit Hilfe der Theorie der Flüssigkeiten mit Mikrostruktur entwickelt. Die Reaktion der Mikrostruktur auf das entwickelte Geschwindigkeitsfeld, die Grenzschicht und die resultierende Schubspannung werden untersucht.     

Analysis of turbulent boundary layers with zero pressure gradient

Zusammenfassung Das hier entwickelte, formale, mathematische System beschreibt turbulente Grenzschichten an glatten und rauhen Platten und vermittelt eine zusammenhängende und folgerichtige Behandlung von solch groben Schichteigenschaften wie Durchschnittsgeschwindigkeitsprofil, Schubspannung, Wirbelviskosität und Grenzschichtdicke. Die erhaltenen Lösungen zeigen gute Übereinstimmung mit den Versuchsergebnissen. Die gegebene Formulierung kann in gewisser Hinsicht als eine neuartige Mischungsweghypothese betrachtet werden.Die Arbeit beschränkt sich auf Grenzschichten mit Nulldruckgradienten. Eine Verallgemeinerung auf von Null abweichende Druckgradienten ist einer späteren Mitteilung vorbehalten, in welcher gezeigt werden soll, dass die benutzte Methode zu mit dem Experiment übereinstimmenden Ergebnisse führt und keiner weiteren Hilfshypothesen bedarf.Die physikalische Bedeutung der Arbeit kann darin gesehen werden, dass ein allerdings nicht ganz genaues Mischungswegmodell dennoch auftretende Mischungsvorgänge näherungsweise beschreiben kann, was somit die Aufstellung einer Mischungsweghypothese ermöglicht, die mit genügender Genauigkeit ein grobes Bild verschiedener Aspekte der beobachteten Vorgänge gibt. Es ist somit möglich, zu einer handlichen und folgerichtigen mathematischen Formulierung zu gelangen, mit deren Hilfe allgemeine Eigenschaften von turbulenten Grenzschichten an festen Oberflächen untersucht werden können.

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Address for 1958: California Institute of Technology.

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Supported in part by a grant from the Rockefeller Foundation RF 56160.     

Approximation quasikonformer Abbildungen mehrfach zusammenhängender Gebiete durch finite Elemente

Zusammenfassung In dieser Arbeit werden quasikonforme Abbildungen mehrfach zusammenhängender Gebiete auf Rechteckgebiete mit Schlitzen behandelt. Real- und Imaginärteil einer solchen Abbildung können mit Hilfe der zugehörigen Beltrami-Differentialgleichung durch Minimalprinzipien charakterisiert werden. In polygonalen Gebieten werden diese Minimalprinzipien durch Ritz-Ansatz mit finiten Elementen diskretisiert und Fehleralschätzungen angegeben.

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Summary In this note quasiconformal mappings of multiply connected domains onto rectangular domains with slits are considered. Real and imaginary parts of such a mapping can be described by minimal-principles by using the corresponding Beltrami differential equation. In a polygonal domain the discretization of these minimal-principles is carried out by the use of the Ritz method and finite elements. Error bounds are given.

     

Periodische operatorwertige Cosinusfunktionen

In dieser Note werden stark stetige periodische Cosinusfunktionen mit Werten im Bereich der stetigen linearen Operatoren auf einem Banachraum untersucht. Dabei ergänzen und präzisieren wir die Untersuchungen von E. Giusti. Insbesondere wird ein durchsichtiger und vollständiger Beweis eines Satzes von Giusti über die Charakterisierung periodischer Cosinusfunktionen mit Hilfe von Spektraleigenschaften ihres infinitesimalen Erzeugers angegeben.     

Vibrations of rotating beams with tip mass

Zusammenfassung Es werden die zur Rotationsebene normalen Biegeschwingungen eines rotierenden Stabes mit Endmasse studiert; insbesondere wird im Anschluss an eine frühere Arbeit, die sich auf die Grundschwingung beschränkte, der Einfluss der Endmasse bei grösseren Winkelgeschwindigkeiten auf die höheren Eigenschwingungen untersucht. Dabei werden Störungsmethoden und asymptotische Näherungen in Verbindung mit den klassischen Verfahren vonRayleigh-Ritz undSouthwell angewendet. Für Stäbe veränderlichen Querschnittes wird nachgewiesen, dass für Eigenschwingungen genügend hoher Ordnung und hinreichend grosse Winkelgeschwindigkeiten die Eigenfrequenzen durch die Endmasse erhöht werden. Für Stäbe konstanten Querschnittes werden numerische Schranken angegeben, welche dieses Resultat bereits für die erste Oberschwingung beweisen. Dieses Verhalten steht im Gegensatz zu demjenigen der Grundschwingung, deren Eigenfrequenz durch eine Endmasse stets erniedrigt wird.     

Steady viscous flow between two porous disks

Zusammenfassung Die Strömung zwischen zwei porösen Scheiben in der Nähe der Symmetrieachse wird untersucht. Die Navier-Stokes'schen Gleichungen werden auf eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung reduziert, die mit Störungsmethoden für grosse Reynolds-Zahlen gelöst wird. Numerische Lösungen werden auch berechnet.     

Asymmetric relaxation and compliance matrices in linear viscoelasticity

Zusammenfassung Die Beschränkungen, welche die Symmetrie des Materials den Nachgiebigkeitsmatrizen anisotroper viskoelastischer Stoffe auferlegt, werden ohne Bezug auf thermodynamisch bedingte Symmetrien abgeleitet. Experimente zur Überprüfung der thermodynamischen Theorien lassen sich auf die Unterschiede gründen, die zwischen den mit oder ohne Annahmen über Matrix-Symmetrie erhaltenen Formen bestehen. Transversale Isotropie und kubische Symmetrie werden im Detail behandelt.

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This paper was prepared under Contract No. 562(10) with the Office of Naval Research.     

On a quasilinear elliptic boundary value problem of nonlocal type with an application in combustion theory

Summary Existence and uniqueness of classical solutions are proved for a class of quasilinear elliptic boundary value problems involving nonlocal terms. The results are applied to differential equations occuring in combustion theory, in particular to an equation recently introduced by Bazley and Wake.

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Zusammenfassung Existenz und Eindeutigkeit klassischer Lösungen für eine Klasse quasilinearer elliptischer Randwertprobleme mit nichtlokalen Termen werden bewiesen. Die Ergebnisse werden auf Differentialgleichungen der Verbrennungstheorie angewandt, insbesondere auf eine Gleichung welche kürzlich von Bazley und Wake eingeführt wurde.

     

Slow broad side motion of a flat plate in a viscous liquid

Zusammenfassung Das Problem der langsamen Querbewegung einer ebenen Platte in einer zähen Flüssigkeit ist zurückgeführt worden auf ein Problem der Elektrostatik. Die Geschwindigkeitskomponenten und der Druck können berechnet werden aus einer Funktion , die als die gleiche erscheint wie das elektrostatische Potential einer Platte unter konstantem Potential im Vakuum. Die Strömungsverhältnisse an einer Platte vom allgemeinen Umriss können mit Hilfe der Experimente auf Grund dieser Analogie bestimmt werden. Der Fall einer kreisrunden Platte wurde analytisch behandelt mit Hilfe der Abbildungen.     

Analytic representations of modified non-resonant thermonuclear reaction rates

Summary The basic physical principles common for the evaluation of all non-resonant thermonuclear reaction rates will be discussed. For the standard form of the nuclear reaction rate with Maxwell-Boltzmann distribution we give the closed-form representation by means of Meijer'sG-function. For physical reasons we consider the non-resonant thermonuclear reaction rate with modified Maxwell-Boltzmannian distribution and derive also its closed-form representation by means of Meijer'sG-function. Series representations for theG-functions appearing in non-resonant thermonuclear reaction rates are summarized and given in the Appendix, which can be used for the numerical computation of the reaction rate.

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Zusammenfassung Die grundlegenden physikalischen Prinzipien, die für die Berechnung von nichtresonanten thermonuklearen Reaktionsraten gelten, werden diskutiert. Wir geben für die Standardform der Kernreaktionsrate mit Maxwell-Boltzmannscher Verteilungsfunktion die geschlossene analytische Darstellung mit Hilfe der MeijerschenG-Funktion an. Aus physikalischen Gründen diskutieren wir die nichtresonante thermonukleare Reaktionsrate mit modifizierter Maxwell-Boltzmannscher Verteilungsfunktion und geben auch hier die geschlossene Darstellung mittels der MeijerschenG-Funktion. Für die für nichtresonante Kernreaktionsraten charakteristischeG-Funktion werden Reihendarstellungen vorgeschlagen, die für die numerische Auswertung von Kernreaktionsraten nützlich sind.