一道课本例题的引申

高中数学人教版第二册（下B）第45页例3。已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、B,AC、BD分别是在这个二面角的两个面内,且垂直于AB的线段,又知AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD的长。     

一道课本例题的引申与探究

高中数学人教版第二册（下B）第45页例3：已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内且垂直于AB的线段，又知AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，求CD的长．     

珠连璧合 相得益彰

立体几何总复习题中,有一道大家熟知的习题:如图1,A刀和平面口所成角为口:,AC在平面a内,通C和AB的射影AB产成角0:,设艺BAC=0,则eos。== cos。:·。0502①夕对角线AC将△ABC折起,使刀点在平面通DC上的射影恰好落在通刀上,的大小。 解:如图2,刀在平面刁刀C上的射影为凡则E在AD上.设匕BAE二a,二面角刀一通C一力的平面角为甲。由己知求二面角B一月C,一刀 若过少作户D土AC,D为垂足,连BD。由三垂线定理可知BD/工AC,则乙刀DB‘为二已面角B一姓C一刀产的平面角.设乙BDB’为,,易证得: 5 1 ns一=5 in口.sin中-易得4亏’5 in/BAC=s…     

关于a/1+1/b=1/c的一些数学题

型如“1/a 1/b=1/c”的证明,通常是先变形为“ac bc=1”.再依据题设条件,应用相似形对应边的关系,三角形内(外)角平分线的性质,平行截线定理,利用三角、解析几何的知识找出有关线段的比来表示ac和bc,然后再证这比的和为1初,中这几是何证课明本此习类题问题的基本途径.“已知:AC⊥AB,BD⊥AB,AD和BC相交于点E,EF⊥AB,垂足为F,又AC=p,BD=q,EF=r,如图证明:1p 1q=1r.这是一道很有用途的习题.现将该题作一简单推广.例1:直线AB之同侧有平行线AC,BD,连AD,BC相交于点E,又EF∥AC交AB于F,求证:A1C B1D=E1F.由证平明:行∵截A线C定∥…     

“解惑”一例

一位学生求我解答《六年制重点中学高中数学立体几何》课本第47页习题六第七题:“求证:在已知二面角内，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点到二面角的两个面的距离的比是一个常数.”我想给学生“解惑”，不能单纯使学生“学会”，更应使学生得到“会学”的启迪.为此我首先从相关的平面几何知识入手，打开学生思路.我向:“你还记得平面几何中角平     

一道课本题目的变式探究

<正>波利亚曾说:"拿一个有意义但又不是复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面,使得通过这道题就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的领域."图1引例人教版《数学八年级上册》第50页的例1:如图1:在ΔABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求ΔABC各角的度数.这道题就是一道有意义但不复杂的题,我们可以在各个方面挖掘,把学生引入一个完整的领域.解∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=     

培养学生思维能力的一道优秀几何竞赛题

题目(2008年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛)已知:如图1,在△ABC中,∠A=75°,∠B=35°,D是BC上一点,BD=2CD,求证:AD2=(AC+BD)(AC-CD).图1此题是培养学生观察、实验、分析、比较、论证的思维能力,培养学生的分析图形,抓住图形的本质,灵活运用定理公式等基础知识综合解决问题的能力的一道几何题,本文对这道题进行具体的分析,以期对数学教学有所启示.分析1观察图1和问题的结论,一看就知道它符合斯特瓦特(Stewart)定理的构图,由斯特瓦特定理(数学竞赛大纲中指定的定理,还有梅涅劳斯定理,塞瓦定理等)可得AD2.BC=AB2.CD+AC2.BD-BC.BD.DC.由BD=2CD,可化简为AD2=12AB2+23AC2-2CD2.①在公式①中,除AB2外,其余各线段都是与该题结论相关的线段,那么AB2与什么线段相关呢,这就是本题的隐含公式,如何找出这隐含公式,我们看结论AD2=(AC+BD)(AC-CD)=(AC+2CD)(AC-CD)=AC2+AC.CD-2CD2.②由①和②公式,可得AB2=AC2+AC.BC这就是本题中的隐含公式下面的所有证法都是围绕解决公式AB2=AC2+...     

一道立几习题的应用

六年制重点中学高中数学教材第二册第100页总复习参考题第3题: 如图,AB和平面a所成的角是θ_1,AC在平面a内,AC和AB的射影AB′成角θ_2,设∠BAC=θ,求证:cosθ_1cosθ_2=cosθ。 (I) 该命题可以看成三垂线定理的推广,在立体几何中有广泛的应用。一为了突出图形的特点,可以把上述命题改写成如下形式: 从直二面角棱上一点在两个面内任引两条射线,则射线与棱的夹角的余弦之积等于这两条射线夹角的余弦。用它来解决一类折叠成直二面角的立几题往往十分简捷。     

二面角的平面角的教学体会

根据本人关于二面角的教学实践体会到,从引入二面角的平面角开始,到以后各阶段的应用习题课,由浅入深地逐步强化以下三个方面的内容,将会有利于克服这一教学难点。一剖析定义,紧扣基本概念教材中给出二面角的平面角的定义:“以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角”。在讲授定义概念课和应用习题课时,结合实例进行剖析,要使学生明确定义包含以下两点: 1.平面角的二边,即两条射线分别在两个面上与棱垂直(不妨简称为“垂边”)。正确作出或判断二“垂边”是作出平面角的关     

射影—空间通往平面的桥梁

平面是空间的一个元素.当我们选定一个平面作为认识空间各元素的关系的基础时,这个平面叫这个空间的基平面.于是,一些空间元素间的距离,或者线、面所成的角,可以通过射影的方式,把要求的数据,通过它们在基面上的影象而获得.直接把空间距离或角投射到平面上且不改变大小的射影,我们称为一次射影.1　求空间两点间的距离例1　线段AB、CD夹在两个平行平面α与β之间,ACα,BDβ,AB⊥α,AC=BD=5,AB=12,CD=13.E、F分别分AB、CD为1:2,求线段EF的长.分析　无论对于平面α还是β,E、F都是空间两点,它们好象是分别长在两棵树上的果子,不易…     

三角形等角线的一个新性质

本文将给出三角形等角线的一个新性质 :定理　设 AD、AE是△ ABC的等角线(∠ BAD =∠ CAE,如图 1 ) ,且△ ABD、△ ACE的内切圆分别与BC相切于点 M和 N,则1MB 1MD=1NC 1NE.图 1证明　如图 1 ,由切线长公式得MB =12 ( AB BD - AD) ,MD =12 ( AD BD - AB) ,NC =12 ( AC CE - AE) ,NE =12 ( AE CE - AC) .所以 ,有BD .NC .NE= BD4( AC CE - AE) ( AE CE - AC)= BD4( CE2 - AC2 - AE2 2 AC .AE)= 14[BD( CE2 - AC2 - AE2 ) 2 BD.AC.AE],1CE .MB .MD= CE4( AB BD - AD) (…     

等腰梯形的一个性质及推广

性质等腰梯形的一条对角线与一腰的平方差等于上下底的积.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,则BD2-AB2=AD·BC.证明∵梯形ABCD是等腰梯形,∴BD=AC.∵等腰梯形有一个外接圆,由托勒密定理得BD·AC=AB·CD+AD·BC,并注意到AB=CD,故BD2-AB2=AD·BC.推广1如图2,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,P是BC上任意一点,则PD2-PA2=AD(PC-PB).     

“立体配置法”解题例说

立体几何中的某些题目,其题设所给图形结构虽不是一个完整的几何体,但我们可以对它配置一个熟悉的形体,但我们可以对它配置一个熟悉的形体,把原有图形纳入该几何体中成为它的某些元素,利用这样的辅助几何体作为衬托原有图形有直观背景,就往往容易显现出有关元素的位置关系和数量关系,因而也就便于获得清晰、简明的解题思路,使问题的解决化生为熟、化难为易。这就是本文所要介绍的“立体配置法”,它是一种与“补形法”貌同实异的立几解题技巧。现举数例以作说明: 例1 已知直线l上有两个定点A、B,线段AC⊥l,线段BD⊥l,若AC=BD=a,AB=3a,且AC和BD所成的角为120°,求AB和CD所成的角及AB和CD间的距离。     

线段证明问题需找“桥梁”

<正>几何证明中,证明线段相等及倍分关系是其中的一个难点.以下通过课本的一道习题来总结解决此类问题的思路和方法,突破这个证明问题的难点.(课本原题展示)青岛版八年级下册36页9题:如图1,在△ABC中,AB=AC,延长AB到点D,使BD=AB,E是AB的中点.求证:CD=2CE.先来分析教参书上的解法:     

2004年高中数学联赛平面几何题(加试)另解

题目在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.     

一个基本图形在中考题中的应用

大家知道,在复杂的几何图形中,往往可分解为几个基本图形.善于识别和分解基本图形,是提高解题速度,培养解题能力的有效途径.一、基本图形如图1,已知AB∥CB,AC、BD交于点E,EF∥AD交AB于点F.设AD=a,CB=b,EF=c求证:1a+1b=1c.然而求轨迹方此基本图形在各种教科书上都有出现,程善于从课本习题中总结提炼基本图形,抓住基本图形的特征并应用于解题,是学生善于学习的体现.二、基本图形的应用例1(2002年黄冈市中考题)已知:如图2,AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B、C,AC和BD相交点E,EF⊥BC,垂点为F,我们可以证明1AB+1CD=1EF成立(不要求…     

“三角形内角平分线性质定理”教学实录 湖北省六市、三企教研协作会数学公开课之一

一课题:三角形内角平分性的线质定理。二教学目的 1.理解定理的含义,初步用来解答一些基本习题; 2.理解定理的证明过程,了解这种证法的基本思想。三重点与难点三角形内角平分线的性质定理及其证明过程是重点;证明定理时适当添作辅助平行线是难点。四教学方法:研究式教学法。五教学过程 1.引入新课教师:如图1,已知△ABC中,AB=AC且AD平分∠BAC;那么BD/DC=? AB/AC=? 〔众生举手,教师指定A生回答。〕 A生:BD/DC=1,AB/AC=1。教师:这两个比有何关系?     

玩转“全等” 巧妙“转化”

<正>全等三角形是初中几何的重要内容,培养学生直观想象,逻辑推理等数学核心素养,也是培养学生“转化”这一数学思想方法的重要载体．现将我校八年级数学兴趣小组的一道习题与大家共享,以感受全等三角形的“转化”之妙．题目如图1,△ABC中,AB=3,BC=5,∠ABC=60°,以AC为边向外作等边△ACD,求BD的长．     

从86年上海高考一道立几试题谈起

86年(上海)高考理工类最后一道试题是: 已知直角三角形ABC的两直角边AC=2,BC=3,P为斜边AB上一点(图1)。现沿CP将此直角三角形折成直二面角A-CP-B,当AB=7~(1/2)时,求二面角P-AC-B的大小。以立几作为高考试题的压阵题是第一次,对此可能有不同看法,但对如强空间想像力的考查,无疑会起积极作用。本文拟就对此题的分析,谈谈对空间想像能力的认识。这一题的困难在于如何从平面图作出立体图以及如何作出二面角P-AC-B的平面角。对于空间想像力较差的学生,往往感到无从着手。本题解法很多,但关键都在二面角P-AC     

寻找主条件,打开解题突破口

<正>一、问题(2016年全国初中数学四川初二初赛13题)已知如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,且AC=AB+BD,求证:AD是∠BAC的平分线.二、问题分析在△ABC中,已知一个边关系AC=AB+BD,一个角关系∠B=2∠C,欲证明AD是角平分线.从哪里入手呢?题目给出的两个已知条件还不能直接建立联系.此时可以选择其中一个为主条件,从它出发找到解决问题的突破口实现问题解决.