中弧线的计算问题

已知由方程 y=f_1(x)和 y=f_2(x)给出的两条光滑的平面曲线,分别称为下型线和上型线,把与这两条型线等距离的点形成的曲线称为中弧线(见图1).显然,如果取中弧线上的任何一点 P 为圆心,都可以作一个同时与两条型线相切的圆 C,称为内切圆.内切圆与两条型线的切点分别称为下切点和上切点.中弧线的各点对应的内切圆构成内切圆族,中弧线就是内切圆族的圆心形成的曲线.     

圆方趣谈——圆与正方形

<正>我们知道任何一个圆都有外切正方形,任意一个正方形都有一个内切圆,这可能是圆与正方形之间最为"密切"的关系.除了这种显而易见的"密切"关系之外,二者之间还有一种较为深入的有趣的关系.一、已知正方形,不用圆规可以画出它的内切圆的草图已知正方形ABCD,边长为2r,边AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H,连接EG、HF,两线交于点O,如图1所示.将OF四等分,分点记为R、     

请不要轻信你的眼睛

我们来研究一个简单而有趣的极限问题 :有一个半径为 1的圆Ｃ(见图1 ) ,在圆Ｃ内作一个内接正三角形及这个三角形的内切圆Ｃ3 ,再在圆Ｃ3 内作一个内接正四边形及这个内接正四边形的内切圆Ｃ4,又在圆Ｃ4内作一个内接正五边形及这个内接正五边形的内接圆Ｃ5 ,……一直进行下去 ,所有内切圆的半径是否趋向于 0 ?如果只凭直觉及简单的推理 ,会认为“半径趋向于 0” ,因为圆的半径在不断地减小 .下面我们将证明 ,半径不会趋于 0 !图 2　半径ｒｎ 与ｒｎ -1的关系由图 2可以看出 ,圆Ｃｎ 的半径ｒｎ 是圆心到圆Ｃｎ -1的内接正ｎ边形的边心距 ,所…     

第四届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案

1.窗户造型 (满分 1 5分 )《中学生数学》杂志 2 0 0 0年第 1期的封面是一幅欧洲教堂的照片 ,它是一座哥特式的建筑 .建筑物上有一个窗户的造型如图 1所示 .图中弧 AB和弧 AC分别是以 C和 B为圆心 BC长为半径的圆弧 .○.O1 、○.O2 和○.O3两两相切 ,并且○.O1 、○.O2 与弧AB相切 ,○.O1 、○.O3与弧 AC相切 ,○.O2 、○.O3的半径相等 .如果使○.O2 、○.O3充分大 ,记 BC的长度为 a,请你计算出○.O1 的半径 ,并给出这个圆的作法 .图 1解　设○.O1 、○.O2 相切于点 E,○.O1 、○.O3相切于点 F ,○.O2 、○.O3相切于点 D,○.…     

切向聚集与边界点的属性

<正> 对于单位圆内定义的函数,经典的聚值理论只考虑非切向地趋于边界时的性状.这时有一系列重要的结果,诸如 Fatou 定理,Plessner 定理,Meier 定理等.1966年,F.Bagemihl 首先考虑单位圆内亚纯函数沿与圆周相切的圆弧趋于边界时的状态,从而为聚集理论的研究提出了新的课题,其后有他以及 S.Dragosh,T.A.Vessey,N.Yana-gihara,H.Yoshida 等的工作.最近 T.A.Vessey,H,Yoshida 又开始考虑 q 阶相切的情况,获得一些结果.本文在第2,3两节里研究了单位圆内的亚纯函数在沿与圆周 q阶(q≥0)相切的曲线弧趋于边界时的状态,得到比较普遍的结果.     

椭圆顶点四边形的内切圆的若干性质及其应用

定义1我们把椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的四个顶点(±a,0)、(0,±b)叫做椭圆的顶点四边形.如图1.定义2与椭圆的顶点四边形各边都相切的圆叫做椭圆顶点四边形的内切圆.如图1.     

双圆封闭折线一类特例研究

杨之先生在其名著[1 ] 中倡导研究的“双圆多边形”是指既有外接圆又有内切圆的多边形 .仿此 ,我们给出下面的定义　若一条封闭折线的顶点都在一个圆上 ,每条边都与另一个圆相切 ,则称该折线为双圆封闭折线 .相应地 ,若它的边数为 n,环数为 k,则称为 n边 k环双圆封闭折线 .图 1     

请不要轻信你的猜想

我们来研究一个简单有趣的极限问题: 有一个半径为1的圆c(见图1),在圆c内作一个内接正三角形及这个三角形的内切圆c3,再在c3内作一个内接正四边形及这个内接     

关于内切圆

<正>本文对有关三角形内切圆的一些结论进行了梳理,并对利用这些结论解决内切圆问题举几例给予说明.图1结论1如图1,△ABC的内切圆⊙O与CA、AB、BC分别相切于点D、E、F,⊙O的半径为r,△ABC的周长为l,那么S△ABC=12lr.     

抛物线与椭圆相切的一些结论

<正>在本刊的文[1]中,屈伸老师探究了抛物线与圆相切的一系列结论.在文末,他建议读者进一步探究椭圆或双曲线与圆相切的性质.在本文,我们对屈老师的建议稍作修改,探究抛物线与椭圆相切的性质.如图1,设椭圆■与抛物线x²=2py相切于两点,设其中一个切点为N.再设抛物线的焦点为F,