Асимптотические рав енства для интеграло в от модуля суммы кратн ого ряда из синусов

Assume that the coefficients of the series $$\mathop \sum \limits_{k \in N^m } a_k \mathop \Pi \limits_{i = 1}^m \sin k_i x_i $$ satisfy the following conditions: a) a_k → 0 for k₁ + k₂ + ...+k_m →∞, b) \(\delta _{B,G}^M (a) = \mathop {\mathop \sum \limits_{k_i = 1}^\infty }\limits_{i \in B} \mathop {\mathop \sum \limits_{k_j = 2}^\infty }\limits_{j \in G} \mathop {\mathop \sum \limits_{k_v = 0}^\infty }\limits_{v \in M\backslash (B \cup G)} \mathop \Pi \limits_{i \in B} \frac{1}{{k_i }}|\mathop \sum \limits_{I_j = 1}^{[k_j /2]} (\nabla _{l_G }^G (\Delta _1^{M\backslash B} a_k ))\mathop \Pi \limits_{j \in G} l_j^{ - 1} |< \infty ,\) for ∨B?M, ∨G?M,B∩G, where M={1,2, ...,m}, $$\begin{gathered} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta _1^j a_k = a_k - a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_{j + 1} } ,\Delta _1^B a_k = \Delta _1^{B\backslash \{ j\} } (\Delta _1^j a_k ), \hfill \\ \Delta _{l_j }^j a_k = a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_j - l_j } - a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_j + l_j } ,\nabla _{l_G }^G a_k = \nabla _{l_{G\backslash \{ j\} } }^{G\backslash \{ j\} } (\nabla _{l_j }^j a_k ). \hfill \\ \end{gathered} $$ Then for all n∈N^m the following asymptotic equation is valid: $$\mathop \smallint \limits_{{\rm T}_{\pi /(2n + 1)}^m } |\mathop \sum \limits_{k \in N^m } a_k \mathop \Pi \limits_{i \in M} \sin k_i x_i |dx = \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \left| {a_k } \right|\mathop \Pi \limits_{i \in M} k^{ - 1} + O(\mathop {\mathop \sum \limits_{B,{\mathbf{ }}G \subset M} }\limits_{B \ne M} \delta _{B,G}^M (a)).$$ Here \(T_{\pi /(2n + 1)}^m = \left\{ {x = (x1,x2,...,xm):\pi /(2n + 1) \leqq xi \leqq \pi ;i = \overline {1,m} } \right\}\) . In the one-dimensional case such an equation was proved by S. A. Teljakovskii.     

An extremal problem for algebraic polynomials in the symmetric discrete Gegenbauer-Sobolev space

We study discrete Sobolev spaces with symmetric inner product $$\left\langle {f,g} \right\rangle _\alpha = \int_{ - 1}^1 {f g d\mu _\alpha } + M[f(1)g(1) + f( - 1)g( - 1)] + K[f'(1)g'(1) + f'( - 1)g'( - 1)]$$ , where M ≥ 0, k ≥ 0, and $$d\mu _\alpha (x) = \frac{{\Gamma (2\alpha + 2)}}{{2^{2\alpha + 1} \Gamma ^2 (\alpha + 1)}}(1 - x^2 )^\alpha dx, \alpha > - 1$$ , is the Gegenbauer probability measure. We obtain the solution of the following extremal problem: Calculate $$\mathop {\inf }\limits_{a_0 ,a_1 ,...,a_{N - r} } \left\{ {\langle P_N^{(r)} ,P_N^{(r)} \rangle _\alpha ,1 \leqslant r \leqslant N - 1, P_N^{(r)} (x) = \sum\limits_{j = N - r + 1}^N {a_j^0 x^j } + \sum\limits_{j = 0}^{N - r} {a_j x^j } } \right\}$$ , where the a _j ⁰ , j = N ? r + 1, N ? r + 2, ..., N ? 1, N, a _N ⁰ > 0, are fixed numbers, and find the extremal polynomial.     

On the continuity of functions in connection with a problem of V. G. Krotov

В РАБОтЕ ДАЕтсь ОтВЕт НА ОДИН ВОпРОс, пОстАВ лЕННыИ В. г. кРОтОВыМ. УстАНОВлЕН О, ЧтО ЕслИ Ф(х) — МОНОтОННО ВО жРАстАУЩАь ФУНкцИь,Ф (0)=0, Ф(2х)≦кФ(х), х[0, ∞), тО $$\left\{ {f:\left\| {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k \Phi (\lambda _k \left| {S_k - f} \right|)} } \right\|_c< \infty } \right\} \subseteqq C \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k } \Phi (\lambda _k ) = \infty $$ Дль пРОИжВОльНых НЕО тРИцАтЕльНых ЧИслОВ ых пОслЕДОВАтЕльНОстЕ И {Μ_k} И {λ_k}. (жДЕсьS _k ОБОжНАЧАЕт ЧАстНУУ с УММУ пОРьДкАk РьДА ФУ РьЕ ФУНкцИИf). УстАНОВлЕН О тАкжЕ, ЧтО ВО МНОгИх слУЧАьх $$\left\{ {f:\left\| {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\mu _k \Phi (\lambda _k \left| {\tilde S_k - \tilde f} \right|)} } \right\|_c< \infty } \right\} \subseteqq C \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{k\lambda _k }}} \Phi ^{ - 1} \left( {\frac{1}{{k\mu _k }}} \right)< \infty .$$      

Strong approximation by rectangular partial sums of double orthogonal series

Пусть {? _ik(x):i, k=1, 2,...} — орто нормированная систе ма в пространстве с полож ительной мерой и {a _ik} — последов ательность действит ельных чисел, для которой $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \kappa ^2 (i,k)< \infty ,$$ где {x(i, K)} — определенна я неубывающая последовательность положительных чисел. Тогда суммаf(x) двойног о ортогонального ряд а \(\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) существует в смысле с ходимости в метрикеL ² и сходимос ти почти всюду. Изучае тся порядок так называем ой сильной аппроксимац ииf(x) (при коэффициентн ых условиях) прямоуголь ными частными суммами \(s_{mn} (x) = \mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) . Основной ре зультат состоит в сле дующем. Если {λ_j(m):m=1, 2,...} — неубывающи е последовательност и положительньк чисел, стремящиеся к ∞ и такие, что \(\mathop {\lim \sup }\limits_{m \to \infty } \lambda _j (2m)/\lambda _j (m)< \sqrt 2 \) дляj=1,2, и если $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \left[ {\log log (i + 3)} \right]^2 \left[ {\log log (k + 3)} \right]^2 (\lambda _1^2 (i) + \lambda _2^2 (k))< \infty ,$$ TO ПОЧТИ ВСЮДУ $$\left\{ {\frac{1}{{mn}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^m \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^m \left[ {s_{ik} (x) - f(x)} \right]^2 } \right\}^{1/2} = o_x (\lambda _1^{ - 1} (m) + \lambda _2^{ - 1} (n))$$ при min (m, n) → ∞.     

Bemerkungen zu einem Satz von Fejér

Последовательность {ita_k} _(n) ^k =1/∞ вещественных ч исел называется дважды мо нотонной, еслиa _k -2a _k+1 +a _k+2 ≧0 дляk≧1. В работе доказываютс я следующие утвержде ния, являющиеся обобщени ем двух теорем Фейера:

1. Если {ita_k — дважды моно тонная последовател ьность, то для ¦z¦<1 $$\operatorname{Re} \sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } /\sum\limits_{\kappa = 1}^n {a_\kappa z^\kappa } > 1/2$$ дляи≧ 1.
2. Если О≦β<1 и последова тельность (k+1-2β)ak} дважд ы монотонна, то для ¦z¦<1 $$\operatorname{Re} \sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {ka_\kappa z^\kappa } /\sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } > \beta $$ , то есть $$\sum\limits_{\kappa = 1}^\infty {a_\kappa z^\kappa } \varepsilon S_\beta ^\kappa $$ . При помощи 2) получены о бобщения и уточнения теорем из работы [1] о линейных комбинациях некотор ых однолистных функц ий.

     

Wave recursive interpolation

In this paper it is studied that the generated theory of wave recursive interpolation of uniform T-subdivi-ston scheme include wave parameter.The paper analyses the convergence of sequences of control polygons produced by wave recursive interpolation T-subdivision scheme of the formj=l,2,…,T-1;m=O,l,…,nTk;k=0,l,2,…,and differentiability of the limit curve.     

Logarithmic growth of theL 1-norm of the majorant of partial sums of an orthogonal series

It is proved that for anyN ×N orthogonal matrixA = {a _ij} we have $$\sum\limits_{i = 1}^N {\mathop {\max }\limits_{1 \leqslant n \leqslant N} |\left| {\sum\limits_{j = 1}^n {a_{ij} } } \right|} \geqslant \frac{1}{{30}}N^{1/2} \log N.$$ A multidimensional analog of this result is also established.     

On the mean value of certain functions connected with the convergence of orthogonal series

В статье рассматрива ются множестваQ ⁿ , 1≦п<∞, ортонормированных с истемΦ={φ _i (x)} _i ⁿ =1, состоящих из функций, постоянных на интервалах \(\left( {\frac{{j - 1}}{n}, \frac{j}{n}} \right)\) , 1 ≦j ≦j ≦п. НаQ ⁿ естественно перенос ится с группы ортогон альных матриц порядкаn мера Хаара. Изучается поведение наQ ⁿ функци и $$S(\Phi ) = \mathop {\sup }\limits_{\mathop \sum \limits_{i = 1}^n y_i^2 = 1} (\int\limits_0^1 {\mathop {sup}\limits_{1 \leqq r \leqq n} } (\mathop \sum \limits_{i = 1}^n y_i \varphi (x))^2 dx)^{1/2} $$ . Доказывается, что приt > 0 иn=1,2,... $$\mu \{ \Phi \in Q^n :s(\Phi ) \geqq t\} \leqq (Ce^{ - \gamma t^2 } )^n $$ .     

On the divergence of de la Vallée Poussin means of Fourier series

Пусть {λ _{n 1} ^t8 — монотонн ая последовательнос ть натуральных чисел. Дл я каждой функции fεL(0, 2π) с рядом Фурье строятся обобщенные средние Bалле Пуссена $$V_n^{(\lambda )} (f;x) = \frac{{a_0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^n (a_k \cos kx + b_k \sin kx) + \mathop \sum \limits_{k = n + 1}^{n + \lambda _n } \left( {1 - \frac{{k - n}}{{\lambda _n + 1}}} \right)\left( {a_k \cos kx + b_k \sin kx} \right).$$ Доказываются следую щие теоремы.

1. Если λ_n=o(n), то существуе т функция fεL(0, 2π), для кот орой последовательность {V_n ^(λ)(?;x)} расходится почти вс юду.
2. Если λ_n=o(n), то существуе т функция fεL(0, 2π), для кот орой последовательность $$\left\{ {\frac{1}{\pi }\mathop \smallint \limits_{ - \pi /\lambda _n }^{\pi /\lambda _n } f(x + t)\frac{{\sin (n + \tfrac{1}{2})t}}{{2\sin \tfrac{1}{2}t}}dt} \right\}$$ расходится почти всю ду

.     

On the regular summability of multiple function series and Lebesgue functions

Основной целью работ ы является обобщение одного результата Кратца и Т раутнера [4], известного для одном ерных функциональны х рядов, на кратные ряды. Этот рез ультат касается суммируемо сти функционального ряда почти всюду при слабых пред положениях. В частности, он примен им к суммируемости по Чезаро и по Риссу. Мы рассматриваемd-кр атный ряд $$\mathop \sum \limits_{k_1 = 0}^\infty \cdots \mathop \sum \limits_{k_d = 0}^\infty c_{k_1 ,...,k_d } f_{k_1 ,...,k_d } (x), \mathop \sum \limits_{k_1 = 0}^\infty \cdots \mathop \sum \limits_{k_d = 0}^\infty c_{k_1 ,...,k_d }^2< \infty $$ и предполагается, что функции \(f_{k_1 ,...,k_d } (x)\) интегрируе мы по пространству с полож ительной мерой и имеют почти вс юду ограниченные фун кции Лебега для метода суммирова ния Т. Метод Т определяетсяd-мерной матрицей \(T = \{ a_{m_1 ,...,m_d ;k_1 ,...,k_d } \} \) сл едующим образом: $$t_{m_1 ,...,m_d } (x) = \mathop \sum \limits_{k_1 = 0}^\infty \cdots \mathop \sum \limits_{k_d = 0}^\infty a_{m_1 ,...,m_d ;k_1 ,...,k_d } c_{k_1 ,...,k_d } f_{k_1 ,...,k_d } (x).$$ Эти средние существу ют, поскольку мы предп олагаем, что \(a_{m_1 ,...,m_d ;k_1 ,...,k_d } = 0\) ,если max(k ₁,...,k _d) достаточно вели к (в зависимости, конеч но, отm ₁,...,m _d). При некоторых дополнительных усло виях на матрицуТ (см. (7)– (9) в разделе 3) устанавлива ется почти всюду регулярная схо димость средних \(t_{m_1 ,...,m_d } (x) \user2{} \user2{(}m_1 \user2{,}...\user2{,}m_d \user2{)} \to \infty \) . Как вспомогательный результат, в работе об общается теорема Алексича [1] о сх одимости почти всюду некоторы х подпоследовательн остей частных сумм функцио нального ряда.     

On orthogonal polynomials

Пустьw(х)∈L[-1, +1] — неотрица тельная функция така я, что $$\frac{{\log ^ + \frac{1}{{w(x)}}}}{{\sqrt {1 - x^2 } }} \in L[ - 1, + 1]$$ и пусть {(р _n (х)} — много члены, ортогональные и нормированные с весо мw(x). Мы доказываем следующие две теорем ы, являющиеся обобщен ием одного известного результа та Н. Винера. I. Для каждого δ, 0<δ<1, суще ствует числоB=B(δ, w) тако е, что если $$f_N (x) = \sum\limits_{j = 1}^N {a_j p_{v_j } (x)} $$ причем выполнено сле дующее условие лакун арности $$\begin{gathered} v_{j + 1} - v_j \geqq B(\delta ,w) (j = 1,2,...,N - 1), \hfill \\ v_1 \geqq B(\delta ,w) \hfill \\ \end{gathered} $$ , то для некоторого С(δ, w) и всехh и δ, для которых $$ - 1 \leqq h - \delta< h + \delta \leqq + 1$$ , имеет место неравенс тво $$\int\limits_{ - 1}^1 {|f_N (x)|^2 w(x)dx \leqq C(\delta ,w)} \int\limits_{h - \delta }^{h + \delta } {|f_N (x)|^2 w(x)dx} $$ каковы бы ни былиa _j ,N и h. II. Если формальный ряд $$\sum\limits_{j = 1}^\infty {b_j p_{\mu _j } (x)} $$ удовлетворяет услов ию лакунарности μ_j+1-μ_j→∞ и суммируем, например, м етодом Абеля на произвольно малом отрезке [а, Ь] ?[0,1] к ф ункцииf(x) такой, что \(f(x)\sqrt {w(x)} \in L_2 [a,b]\) , то $$\sum\limits_j {|b_j |^2< \infty } $$ Теорема I — это первый ш аг в направлении проб лемы типа Мюнтца-Саса о замкнут ости подпоследовательно сти pv_j(x)} последовател ьности {р_n(х)} на отрезке [а, Ь] в метрике С[а, Ь] (см. теорему II стать и).     

An infinite algebraic system in the irregular case

We obtain sufficient conditions for the nontrivial solvability of systems of the form $$ \phi _i = b_i + \lambda _i \sum\limits_{j = 0}^\infty {a_{i - j} \phi _j ,i \in \mathbb{Z}_ + \underline{\underline {def}} \{ 0,1,2...,n,...\} ,} $$ and of the corresponding homogeneous systems. It is assumed that the sequences b = (b ₀, b ₁, b ₂, …) and λ = (λ ₀, λ ₁, λ ₂, …) and the Toeplitz matrix A = (a _i?j ) satisfy the conditions $$ \begin{gathered} a_j \geqslant 0,j \in \mathbb{Z},\sum\limits_{j = - \infty }^\infty {a_j = 1,} \sum\limits_{j = - \infty }^\infty {|j|a_j < \infty ,\sum\limits_{j = - \infty }^\infty {ja_j < 0,} } \hfill \\ b_j \geqslant 0,j \in \mathbb{Z},\sum\limits_{j = 0}^\infty {b_j = \infty ,} 1 \leqslant \lambda _i \leqslant \left( {\sum\limits_{j = - \infty }^i {a_j } } \right)^{ - 1} ,i \in \mathbb{Z}_ + . \hfill \\ \end{gathered} $$ . Under these conditions, we construct bounded solutions of homogeneous and inhomogeneous systems of the form indicated above.     

On some properties of trigonometric series with monotone decreasing coefficients

В статье рассматрива ются одномерные и дву мерные тригонометрические ряды с моно-тонными коэффициентами. Дает ся пример двойного тригонометрическог о ряда (1) $$\mathop \sum \limits_{n,k = 1}^\infty a_{nk} \sin nx\sin ky,$$ , коэффициенты которо го монотонны поk и поп, любая последовательность \(\{ S_{n_k m_k } (x,y)\} _{k = 1}^\infty\) прямоугольных части чных сумм ряда (1), где min(n _k ,m _k )→∞ приk→∞, расходится по чти всюду на (0,n)². Кроме того, изучается мера множеств нулей ф ункций (2) $$f(x) = \frac{{a_0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{n = 1}^{a_0 } a_n \cos nx\tilde f(x) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty a_n \sin nx,$$ , гдеа _n ↓ приn→ ∞, и доказ ьшается несколько те орем о скорости убывания ко эффициентовa _n рядов (2), если все част ичные суммыS _n (f,x) или \(S_n (\tilde f,x)\) дляn=1,2,... неотрицате ль-ны на (0,n).     

On some local properties of the sum of lacunary trigonometric series

В статье изучается по ведение суммы лакуна рного тригонометрическог о ряда при приближени и к некоторой фиксиров анной произвольной т очке. Первая половина рабо ты посвящена изложен ию метода исследования локаль ных свойств суммы лакунарного ря да, разработанного ав тором. Вторая половина рабо ты посвящена приложе ниям этого метода. Здесь в частно сти, получаются необходи мые и достаточные усл овия для интегрируемости сум мы лакунарного ряда с весом при широк их условиях на вес. При ведем соответствующий рез ультат. Пусть?р(x) — сумма ряда \(a + \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n \cos (\lambda _n x + \psi _n )} \) , гдеа, а _n ,λ _n ,ψ _n — действительные числа,εa _n ^/2 <∞,a _n ≧0,λ _n >0 приn≧1 и \(\mathop {\inf }\limits_{n \geqq 1} \lambda _{n + 1} /\lambda _n > 1\) . При этих условиях функция?(х) определена почти всю ду. Пустьр>0 иω(х) — положительная неуб ывающая функция, определенная при все хх>0, которая при некот оромC>0 удовлетворяет услов ию:ω(2x)≦ ≦Cω(х) при всехх>0. Тогда имеет место Теорема. Для того, чтоб ы интеграл \(\int\limits_{ + 0} {|\varphi (x)|^p \frac{{dx}}{{\omega (x)}}} \) сходился, необходимо и достато чно, чтобы сходились все р яды $$\begin{gathered} \sum\limits_{n = 1}^\infty {D_n (\sum\limits_{k = n}^\infty {a_k^2 } )^{p/2} ,} \sum\limits_{n = 2}^\infty {D_n |a_n + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {a_k \cos } \psi _k |^p ,} \hfill \\ \sum\limits_{n = 2}^\infty {D_n (pj)|\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {a_k \lambda _k^j \cos (\psi _k + \pi j/2)} |^p ,} j = 1,2,..., \hfill \\ \end{gathered} $$ , где $$D_n = \int\limits_{I_n } {\frac{{dx}}{{\omega (x)}},} D_n (pj) = \int\limits_{I_n } {\frac{{x^{pj} dx}}{{\omega (x)}},} a I_n = [\pi \lambda _n^{ - 1} ,\pi \lambda _{n - 1}^{ - 1} ]$$      

Absolute tauberian conditions for absolute hausdorff and quasi-hausdorff methods

The purpose of this paper is to prove that for a large set of absolute Hausdorff and quasi-Hausdorff methods the condition $$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {\lambda _n a_n - \lambda _{n - 1} a_{n - 1} } \right|< } \infty $$ is a Tauberian condition, i.e., its fulfillment together with the absolute summability of \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } \) tos implies that \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left| {a_n } \right|}< \infty \) and \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } = s.\) a _n =s.     

Fixed Points and Stability for Quadratic Mappings in β–Normed Left Banach Modules on Banach Algebras

The goal of the present paper is to investigate some new stability results by applying the alternative fixed point of generalized quadratic functional equation $$\begin{array}{ll}f\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_ix_i\right)+{\sum\limits_{i=1}^{n-1}}{\sum\limits_{j=i+1}^{n}}\left[f(a_ix_i+a_jx_j)+2f(a_ix_i-a_jx_j)\right]\\ \qquad \quad = (3n-2){\sum\limits_{i=1}^{n}}a^2_{i}f(x_{i})\end{array}$$ in β–Banach modules on Banach algebras, where ${a_{1},\dots,a_{n}\in \mathbb{Z}{\setminus}\{0\}}$ and some ${\ell\in\{1 , 2 ,\dots, n-1\},}$ a _? ?≠ ±1 and a _n ?=?1, where n is a positive integer greater or at least equal to two.     

The CF table

Letf be a continuous function on the circle ¦z¦=1. We present a theory of the (untruncated) “Carathéodory-Fejér (CF) table” of best supremumnorm approximants tof in the classes \(\tilde R_{mn} \) of functions $${{\tilde r(z) = \sum\limits_{k = - \infty }^m {a_k z^k } } \mathord{\left/ {\vphantom {{\tilde r(z) = \sum\limits_{k = - \infty }^m {a_k z^k } } {\sum\limits_{k = 0}^n {b_k } z^k ,}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sum\limits_{k = 0}^n {b_k } z^k ,}}$$ , where the series converges in 1< ¦z¦ <∞. (The casem=n is also associated with the names Adamjan, Arov, and Krein.) Our central result is an equioscillation-type characterization: \(\tilde r \in \tilde R_{mn} \) is the unique CF approximant \(\tilde r^* \) tof if and only if \(f - \tilde r\) has constant modulus and winding numberω≥ m+ n+1?δ on ¦z¦=1, whereδ is the “defect” of \(\tilde r\) . If the Fourier series off converges absolutely, then \(\tilde r^* \) is continuous on ¦z¦=1, andω can be defined in the usual way. For general continuousf, \(\tilde r^* \) may be discontinuous, andω is defined by a radial limit. The characterization theorem implies that the CF table breaks into square blocks of repeated entries, just as in Chebyshev, Padé, and formal Chebyshev-Padé approximation. We state a generalization of these results for weighted CF approximation on a Jordan region, and also show that the CF operator \(K:f \mapsto \tilde r^* \) is continuous atf if and only if (m, n) lies in the upper-right or lower-left corner of its square block.     

Optimal recovery methods for the integral on classes of differentiable functions

Найдены методы восст ановления интеграла по информации $$I\left( f \right) = \left\{ {f^{(j)} \left( {x_i } \right)\left( {j = 0, ..., \gamma _i - 1; i = 1, ..., n; 1 \leqq \gamma _i \leqq r; \gamma _i + ... + \gamma _n \leqq N} \right.} \right\},$$ оптимальные на класс ахW _p ^r ,r=1,2,...; 1≦p≦∞. Это позволило, в частност и, получить наилучшие для классаW _p ^r квадратурные форму лы вида $$\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = \mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n \mathop \Sigma \limits_{j = 1}^{\gamma _i - 1} a_{ij} f^{(j)} \left( {x_i } \right) + \mathop \Sigma \limits_{j = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} b_j f^{(2j - 1)} \left( 0 \right) + \mathop \Sigma \limits_{k = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} c_k f^{(2k - 1)} \left( 1 \right) + R\left( f \right)$$ И $$\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = af\left( 0 \right) + \mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n \mathop \Sigma \limits_{j = 0}^{\gamma _i - 1} a_{ij} f^{(j)} \left( {x_i } \right) + bf\left( 1 \right) + \mathop \Sigma \limits_{j = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} b_j f^{(2j - 1)} \left( 0 \right) + \mathop \Sigma \limits_{k = 1}^{[{r \mathord{\left/ {\vphantom {r 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}]} c_k f^{(2k - 1)} \left( 1 \right) + R\left( f \right).$$      

Обобщение регулярны х в круге функций, близ ких к звездным, на случай многих комп лексных переменных И. И. Баврин

LetD denote a bounded complete bicircular domain (centered at (0, 0)) in the space C of two complex variablesz ₁ andz ₁. Extremal problems are treated in the classP _D which is a generalization, to the two complex variables case, of the class of close-to-starlike functions regular in a disc. Our considerations include estimates of the basic functionals, in particular, those specific for the functions of several complex variables; exactness of estimates is considered, as well. For example, we obtain estimates of the functionals $$A_k (D) = \mathop {\sup }\limits_{(z_1 ,z_2 ) \in D} \mathop \sum \limits_{l = 0}^k |a_{k - l,l} |^2 |z_1 |^{2(k - l)} |z_2 |^{2l} ,B_k (D) = \mathop {\sup }\limits_{(z_1 ,z_2 ) \in D} \left| {\mathop \sum \limits_{l = 0}^k a_{k - l,l} z_1^{k - l} z_2^l } \right|,k = 1,2 \ldots .$$ It is also proved that the Carathéodory class is a subclass of the classP _D.