为什么要学习勒贝格积分

介绍数学发展史上的三次“完备化”,重点叙述黎曼积分的完备化,即勒贝格积分的思想.后两次完备化构成了20世纪前半叶两个新数学分支的主要内容,即实变函数和泛函分析.实变函数为泛函分析与现代概率统计的建立奠定了基础,是20世纪数学的重要基础之一.     

勒贝格积分可加性的严格证明

文[1]在建立勒贝格积分理论体系时,勒贝格积分可加性是作为从定义出发直接导出的最基本结果,而两个变量和的上确界不小于各自上确界的和这一结果成为完成证明的关键.本文指出了该教材在证明过程中运用的上述上确界大小关系存在反例,并提出了勒贝格积分可加性的新的证明方法,避开了上述上确界大小关系.首先从定义出发证明了非负可测函数勒贝格积分加法的一个次线性性,从而给出了勒贝格积分可加性的严格证明.     

现代积分理论的奠基人——勒贝格

现代积分理论的奠基人──勒贝格黄汉平（南昌航空工业学院３３００３４）１９００年，数学家们满怀激情地总结１９世纪数学领域的光辉成就．法国数学学派的领袖人物庞加来（Ｈ．Ｐｏｉｎｃａｒｅ）这年夏天在巴黎举行的国际数学家代表大会上宣称：“（数学分析）绝对的严...     

关于反常积分的一个注记

本文讨论无穷限反常积分∫_a~(+∞)f(x)dx收敛的必要条件.首先考虑黎曼积分意义下该反常积分收敛的必要条件,其结果包含了刘妮、刘卫江的工作(见《高等数学研究》,17卷,6期,6-9页,2014年11月).然后研究勒贝格积分意义下∫_a~(+∞)f(x)dx存在的必要条件.     

黎曼积分的完备化

综述了黎曼可积函数的基本特征,并指出黎曼可积函数列的极限运算在积分意义下是不封闭的.在构造了完备化空间之后,证明了该空间就是勒贝格可积函数空间,从而说明了黎曼积分的完备化形式是勒贝格积分.     

黎曼相关积分研究

通过证明和反例讨论黎曼积分、直接黎曼积分、黎曼-斯蒂尔切斯积分三者间的联系与区别.结果显示：若函数直接黎曼可积,则它黎曼可积,并且两者积分值相同,但反之不成立;若函数黎曼可积,则任意连续函数关于该函数不一定黎曼-斯蒂尔切斯可积.从讨论结果中还获得直接黎曼可积和黎曼可积各自的一个充分条件.     

有关概率密度函数的注记

指出在概率统计教学中有关密度函数的一些需要补充说明的问题,同时对密度函数的一条性质作出更加严格的证明．     

有关概率密度函数的注记

指出在概率统计教学中有关密度函数的一些需要补充说明的问题,同时对密度函数的一条性质作出更加严格的证明.     

关于勒贝格积分的一个注记

本文给出了函数 f(x)的瑕积分绝对收敛时必定 Lebesgue可积的一种证明方法     

再谈Fresnel积分

在[2]中,Flanders利用严格的实变量推导来计算Fresnel积分F_0=I=integral from n=0 to ∞(cosx~2dx)与G_0=I=integral from n=0 to ∞(sinx~2 dx).他考虑,对t≥0,