边色数分类的两个结果

设图G为简单连通图,由Vizing定理知:△(G)≤x′(G)≤△(G)+1,其中,△(G)表示图G的最大顶点次,x′(G)是图G的边色数。若x′(G)=△(G),则称图G为第一类图,并简记为G∈C~1;若x′(G)=△(G)+1,则称G为第二类图,并简记为G∈C~2;A.J.W.Hilton提出了如下猜想[1]:如果G是简单图,且满足:(ⅰ)△(G)>2/3(|V(G)|-3),(ⅱ)δ(G_△)≤1。则G∈C~1。本文的目的是围绕着这一猜想,得出了两     

关于图 G_Δ的圈秩较小时的边色数分类

设 G 是简单连通图,由 Vizing 定理知,△(G)≤x′(G)≤△(G)+1,其中△(G)表示图 G 的最大顶点次,x′(G)是 G 的边色数.若 x′(G)=△(G),则称 G 为第一类图,记为 G∈C~1;否则称 G 为第二类图,记为 G∈C~2.其它图论术语及记号均与[1]一致.令 F={u|d(u)=△(G),u∈y(G)},记 GΔ=G[F].一条边 e(或顶点 v)称     

边色数分类的两个充要条件

设图 G 是简单连通图,从 Vizing 定理可知:Δ(G)≤x′(G)≤Δ(G) 1,其中Δ(G)表示图 G 的最大顶点次,x(G)是图 G 的边色数.若 x′(G)=Δ(G),则称 G 为第一类图,并简记为 G∈C~1;否则称 G 为第二类图并简记为 G∈C~2;本文的目的在于讨论边色数分类问题.     

边色数的分类及其有关性质

设图G为简单连通图,由Vizing定理知:Δ(G)≤x′(G)≤Δ(G) 1,其中Δ(G)表示图G的最大顶点次,x′(G)为图G的边色数。若x′(G)=Δ(G),则称G为第一类图,记为G∈C~1;若x′(G)=Δ(G) 1,则称G为第二类图,记为G∈C~2。其他图论术语见一般参考书。一边e(或者顶点v)称为临界的,如果成立x′(G)>x′(G\e)(或者x′(G)>x′(G\v))。图G称为是临界的,如果G∈C~2,且G的每一边是临界的。对于v∈V(G),令d~*(v)=|{u|(v,u)∈E(G)且d(u)=Δ(G)}|。设F={u|d(u)=Δ(G),u∈V(G)},记G_Δ=G[F]。令图G_Δ的圈秩数为b(G_Δ)。     

关于图的边色数问题的几个定理

以下限于讨论有限简图,并以D(G),ε(G),△(G),X′(G)分别表示G的点数,边数,点的最大次数与边色数. 由定理,X′(G)或等于△(G)或等于△(G)+1,分别称G属于第一类或第二类,并记为 G∈C~1或G∈C~2.     

1-树图的邻强边染色

图G的一k-正常边染色f若使得任意uv∈E(G)满足f[u]≠f[v],其中f[u]={f(uω)|uw∈E(G)},则称f为G的一k-邻强边染色,简称k-ASEC,并称χ_as(G)=min{k|存在G的一k-ASEC}为G的邻强边色数.本文提出了邻强边染色猜想:对2-连通图G(V,E)(G(V,E)≠C₅),有△(G)≤χ_as(G)≤△(G)+2,并研究了1-树图的邻强边染色,证明了对△(G)≥4的1-树图G有△(G)≤χ_as<     

色临界图的最大度与色数的一个关系式

研究了一类简单图G的色数x(G)与最大度△(G)的关系,对满足x(G)>(S~2+S)/2的X(G)+S阶色临界图G,证明了x(G)=△(G)+1-S,或等价地,△(G)+1-[((8△(G)+17~(1/2)-3/2]≤X(G)≤△(G)+1,这一结果部分改进了Brooks经典不等式X(G)≤△(G)+1,并完全刻画n+3(n≥4)个顶点的n-临界图的结构。     

关于两类平面图及相关图的L(d1,d2)-标号问题

图G的L(2,1)标号是一个从顶点集V(G)到非负整数集的函数f(x),使得若d(x,y)=1,则|f(x)-f(y)|≥(2;若d(x,y)=2,则|f(x)-f(y)|≥1.图G的L(2,1)标号数λ(G)是使得G有max{f(v)V∈V(G)}=k的L(2,1)标号中的最小数k.Griggs和Yeh猜想对最大度为△的一般图G,有λ(G)≤△2.本文将L(2,1)-标号推广到L(d1,d2)-标号,并得出了平面三角剖分图、立体四面体剖分图、平面近四边形剖分图的L(d1,d2)-标号的上界,作为推论,本文证明了对上述几类图,有上述猜想成立.     

关于图的L(d,1)-标号问题

图G的L(2,1)-标号是一个从顶点集V(G)到非负整数集的函数f(x),使得若d(x,y)=1,则|f(x)-f(y)|≥2;若d(x,y)=2,则|f(x)-f(y)|≥1.图G的L(2,1)-标号数λ(G)是使得G有max{f(v)v∈V(G)}=k的L(2,1)-标号中的最小数k.Griggs和Yeh猜想对最大度为△的一般图G,有λ(G)≤△2.此文研究了作为L(2,1)-标号问题的推广的L(d,1)-标号问题,并得出了平面三角剖分图、立体四面体剖分图、平面近四边形剖分图的L(d,1)-标号的上界,作为推论证明了对上述几类图该猜想成立.     

最大度不大于5的Halin-图的点强全染色

图G(V,E)的一正常k-全染色f称为G(V,E)的一k-点强全染色当且仅当任意( A)v∈V(G),N[v]中的元素染不同色,其中N[v]={u|uv∈V(G)}U{v},并且XusT(G)=min{k|存在G的k-点强全染色}称为G(V,E)的点强全色数.本文得到了△(G)≤5的Halin-图G(V.E)的XusT(G),并提出如下猜想设G(V,E)为每一连通分支的阶数不小于6的图,则XusT(G)≤△(G)+2,其中△(G)表示图G的最大度.