对一道2002年高招试题的质疑

20 0 2年全国普通高校招生统一考试数学 (文史类 )试卷压轴题为 :(Ⅰ )给出两块面积相同的正三角形纸片(如图 1、图 2 ) ,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型 ,另一块剪拼成一个正三棱柱模型 ,使它们的全面积都与原三角形的面积相等 ,请设计一种剪拼方法 ,分别用虚线标示在图 1、图 2中 ,并作简要说明 ;(Ⅱ )试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小 ;(Ⅲ ) (附加题 ,略 ) .图 1　正三角形　　　　　　图 2　正三角形这是一道实际操作落料型应用题 .源于人教版数学第二册 (下Ａ) (试验修订本·必读 )Ｐ52介绍的五种正多面体的表面…     

对于2002年高考数学第21题的一点思考

原题　 ( )给出两块面积相同的正三角形纸片 ,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型 ,另一块拼成一个正三棱柱模型 ,使它们的全面积都与原三角形的面积相等 ,请设计一种剪拼方法 ,分别用虚线标示在图中并作简要说明 .( )试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小 .( ) (略 )标准答案是一种解法 ,摘要如下 :解　 ( )剪法如图 1、图 2所示图 1　　　　　　图 2( )设给出正三角形的边长为 2 ,则V锥 - V柱 =( 13h锥 - h柱 ) . 34=( 69- 36 ) . 34<0 .所以 V柱 >V锥 .这道题另一种迥然不同的剪法 (如图 3) ,先把正三角形拼成一个长…     

激发兴趣提升能力的高考剪拼题

今年高考文科数学卷的 ( 2 2 )题是一道颇有创意 ,集基础知识、空间想象力、动手能力于一身的一道好题 ,是正在开展的研究性学习的一种命题方向 .题目一出来 ,马上成为研究热点 .本文从引导研究性学习的目的出发 ,给出最一般的剪拼方法 .(1)　　　　　　　 (2 )　　　　　　　 (3)图 1　题目用图原题　 1 )给出两块相同的正三角形纸片(如图 1 ( 1 ) ,图 1 ( 2 ) ) ,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型 ,另一块剪拼成一个正三棱柱模型 ,使它们的全面积都与原三角形的面积相等 ,请设计一种剪拼方法 ,分别用虚线标示在图 1 ( 1 ) ,图 1 ( 2 …     

对一道2002年高考试题的质疑的商榷

文 [1 ]对 2 0 0 2年高招文史类第 2 2题的解法和答案展示了自己的见解 ,其中有一个图 1　三角形说法欠妥 .原文是 :“按题目要求 ,图 1剪拼成正三棱锥模型 ,其方法是唯一的 ,即沿正三角形之三条中位线折起 ,可拼一个正三棱锥 (如图 1 ) .”实际上按要求剪拼成的正三棱锥不是唯一的 ,可有多种剪拼方法 .下面按文 [1 ]的思路给出两种方法 .如图 2所示 ,设正三角形边长为 1 ,取正三角形两腰OM ,ON的四等分点A ,B ,C和D ,E ,F ;图 2　三角形的剪拼分别引底边垂线 ,垂足分别为A1,B1,C1,D1,E1,F1;作OO1⊥MN于O1,OO1交CD于H ,将对称的…     

智慧窗

怎样剪拼 ?　　把一个正五边形纸片剪开拼成一个正五棱柱模型 ,使五棱柱的全面积等于原正五边形的面积 ,怎样剪拼 ?北京师大二附中 ( 1 0 0 0 88)张鸿菊提供(答案在本期找 )智慧窗《怎样剪拼 ?》参考答案　　如图 ,沿所有虚线剪开 ,以其中小五边形为正五棱柱的下底 ,以五个小长方形为五棱柱的各侧面 ,再将余下的五个小四边形 (带阴影者 )拼成一个正五边形作为上底 ,即得正五棱柱 .智慧窗$北京师大二附中!100088@张鸿菊     

从任意三角形到正三棱锥

如图1,把一张正三角形的纸片沿它的三条中位线折叠,我们很容易得到一个正三棱锥．任取一张三角形纸片,我们能不能通过剪拼,也得到一个正三棱锥呢?     

两法剪拼矩形

任意一个凸四边形,你能剪拼成一个与其面积相等的矩形吗?方法一:"三刀法"图1剪拼方法如下:(1)如图1,取四边形各边的中点A、B、C、D,连结BD,过点A、C     

一道折叠问题的多种解法

<正>原题呈现现有一张矩形纸片ABCD(如图1),其中AB=4cm,BC=6cm,点E是BC的中点,将纸片沿着直线AE折叠,点B落在四边形AECD内,记为点F,则线段FC=____.(答案是18/5cm)解法探究1.面积法结合勾股定理解法1连接BF交AE于点O,如图2,由折叠可知BF⊥AE,OB=OF;因为点E是BC的中点,可知BE=EC=3cm,利用勾股定     

新型的中考作图题例说

纵观近几年全国各省(市)的中考数学试题发现,作图题涌现出一些设计新颖、富有创意的好题,是目前中考的热门题型.有四类:一是开放型、二是启发型、三是设计型、四是应用型.现撷取几例,希望对大家有所启发.一、开放型例1(2004年安徽省中考题)正方形通过剪切可以拼成三角形.方法如图1:仿照图1用图示的方法,解答下列问题:操作设计:(1)如图2,对直角三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形等面积的矩形.(2)如图3,对任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形等面积的矩形.二、启发型例2(2001年北京市中考题)…     

一道伊朗奥林匹克几何试题的三种证法

<正>1试题呈现(第6届伊朗奥林匹克几何初级组第2题)如图1,矩形ABCD与PQRD的面积相等,且对应边平行.设N、M、T分别是线段QR、PC、AB的中点,证明:N、M、T三点共线.2思路分析由矩形ABCD与PQRD的面积相等,可得AB·AD=PQ·QR.欲证明N、M、T三点共线,一方面可考虑连接TN,设线段TN与线段PC相交于点M′,然后借助关系式AB·AD=PQ·QR证明M′是线段PC的中点,     

一个趣题的另两个简证

文[1]给出了如下趣题的简证:一个正三棱锥与一个正四棱锥的所有棱长均相等,将它们的一个面粘起来(如图),则所得的几本何体文是给斜出三两棱柱个.     

正方形剪拼成三角形方法多

<正>一个正方形剪两刀成三块,可以拼接成三角形,其剪拼的方式有很多,以下是我发现的一些剪拼方法,仅供大家参考.剪法一剪成两个全等的直角三角形和一个等腰梯形.如图1截取两个全等的直角三角形,较短的直角边占边长的1/4,拼成等腰三角形△ABC.     

一个趣题的实践与证明

题:一个正三棱锥与一个正四棱锥的所有棱长均相等,将它们的一个侧面粘起来,所得几何体可能是什么?如图(一),将正四棱锥S-ABCD的侧面SCD与正三棱锥V-EFG的侧面VEF粘合在一起,为了验证平面SBC与平面GVE是否叠合成一个平面,用硬纸片制作这样的正三棱锥和正四棱锥,实践验证平面SBC与平面GVE,平面SAD与平面GVF恰好分别叠合成一个平面,这样所得的几何体应该是斜三棱柱,问题即为求证二面角B-SC-G=180°.(图一)记所有棱长均为1,探讨如下:(图二)设顶点G、B在平面SCD上的射影分别为M、N,则M为△SCD的中心(如图二)易求得MG=36,SM=…     

两道2009年全国高考数学题的别解

本文给出2009年全国高考数学(18)题和(21)题的两个别解,供参考. (2009全国Ⅱ理)如图1,直三棱柱ABC-A1B1C1,AB⊥AC,D,E分别为AA1,B1C的中点,DE⊥平面BCC1.     

三角形中位线定理应用例谈(上)

<正>(一)基础知识连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线,平行于第三边并且等于第三边的一半.这就是众所周知的三角形中位线定理.已知:如图1,△ABC中,D、E分别是边AB和AC的中点.求证:DE∥BC,且DE=1/2BC.证明连接CD,     

四边形剪拼试题解析两例

<正>四边形有关的剪拼图形问题在近年来中考中屡见不鲜,其特点是给出一个或多个四边形纸片,按一定的方式剪开,再拼成一个或多个其它的图形.这类问题旨在考查同学们的动手操作能力,观察、分析、推理和计算能力.解答它们的关键在于正确地运用平移、翻折和旋转等图形变换的知识.现以近年来中考题为例介绍如下:例1(天津市)如图1,有一张长为5,     

新题征展(127)

A题组新编 1.如图1,沿等腰直角三角形ABC的中位线DE,将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱锥A-BCDE. (1)求证:平面ABC⊥平面ACD; (2)过CD的中点M的平面α与平面ABC平行,试求平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成多边形的面积与三角形ABC的面积之比. 2.一个四棱锥的直观图和三视图分别如图2,图3所示,E为PD中点.     

“剪矩拼方”通法及其原理

如何把任意一个矩形剪拼成一个正方形?本文给出一种通法,并对其原理予以说明.如图1～图4所示,矩形ABCD中,设AB=CD=a,AD=BC=b,其中a>b.剪拼方法:Ⅰ当a≤2b时,如图1所示.(1)在线段CD上截取CE=b,以CD为直径作⊙O,过点E作     

一道联赛题的新证

<正>如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH以点P,求证:点P为CH的中点.这是2014年全国初中竞赛题的一道几何题,命题组给出的答案不容易想到,本文连接现有的点,应用相似三角形的比和正弦定理以及中线均分三角形面积的结论,思路清晰,推理简单,很适合初中生学习.     

立体几何是非题一组

1.有两个面相互平行,而其余各面是平行四边形的多面体,则一定是棱柱。(对/错) 2.已知三棱锥底面是正三角形,侧面都是等腰三角形,则三棱锥一定是正棱锥。(对/错) 3.有两个面是三角形且互相平行,而其余三个面都是梯形的五面体,必是三棱台。(对/错) 4.直棱柱的侧面展开图是矩形,而斜棱柱的侧面展开图是平行四边形。(对/错) 5.和圆台的轴平行的截面是等腰梯形。(对/错) 6.已知圆的顶角是120°,则轴截面是过