广义超特殊p-群的自同构群Ⅲ

确定了广义超特殊P-群G的自同构群的结构.设|G|=p2n+m,|ζG|=pm,其中n≥1,m≥2,AutfG是AutG中平凡地作用在Frat G上的元素形成的正规子群,则(1)当G的幂指数是pm时,(i)如果p是奇素数,那么Aut G/AutfG≌Z(p_1)pm-2,并且AutfG/Inn G≌Sp(2n,p)×zp.(ii)如果p=2,那么AutG=AutfG(若m=2)或者AutG/AutfG≌Z2m-3×z2(若m≥3),并且AutfG/InnG≌Sp(2n,2)× z2.(2)当G的幂指数是pm+1时,(i)如果p是奇素数,那么AutG=<θ>×AutfG,其中p的阶是(p-1)pm-1,且AutfG/InnG≌K(×)Sp(2n-2,p),其中K是p2n-1阶超特殊p-群.(ii)如果p=2,那么Aut G=<θ1,θ2>(×) AutfG,其中<θ1,θ2>=<θ1>×<θ2>≌Z2m-2×Z2,并且AutfG/InnG≌K(×)Sp(2n-2,2),其中K是22n-1阶初等Abel 2-群.特别地,当n=1时,AutfG/InnG≌Zp.     

广义超特殊p-群的自同构群(Ⅱ)

重新确定了广义超特殊p-群G的自同构群的结构.设|G|=p~(2n+m),|ζG|=p~m,其中n≥1,m≥2,Aut_cG是AutG中平凡地作用在ζG上的元素形成的正规子群,则(i)若p是奇素数,则AutG=〈θ〉×Aut_cG,其中θ的阶是(p-1)p~(m-1);若p=2,则AutG=〈θ_1,θ_2〉×Aut_cG,其中〈θ_1,θ_2〉=〈θ_1〉×〈θ_2〉≌Z_(2m-2)×Z_2.(ii)如果G的幂指数是p~m,那么Aut_cG/InnG≌Sp(2n,p).(iii)如果G的幂指数是p~(m+1),那么Aut_cG/InnG≌K×Sp(2n-2,p),其中K是p~(2n-1)阶超特殊p-群(若p是奇素数)或者初等Abel 2-群.特别地,当n=1时,Aut_cG/InnG≌Z_p.     

关于一类中心循环的有限P-群的自同构群

确定了一类中心循环的有限p-群G的自同构群.设G=X_3(p~m)~(*n)*Z_(p~(m+r)),其中m≥1,n≥1和r≥0,并且X_3(p~m)=x,y|x~(p~m)=y~(p~m)=1,[x,y]~(p~m)=1,[x,[x,y]]=[y,[x,y]]=1.Aut_nG表示Aut G中平凡地作用在N上的元素形成的正规子群,其中G'≤N≤ζG,|N|=p~(m+s),0≤s≤r,则(i)如果p是一个奇素数,那么AutG/Aut_nG≌Z_(p~((m+s-1)(p-1))),Aut_nG/InnG≌Sp(2n,Z_(p~m))×Z_(p~(r-s)).(ii)如果p=2,那么AutG/Aut_nG≌H,其中H=1(当m+s=1时)或者Z_(2~(m+s-2))×Z_2(当m+s≥2时).进一步地,Aut_nG/InnG≌K×L,其中K=Sp(2n,Z_(2~m))(当r0时)或者O(2n,Z_(2~m))(当r=0时),L=Z_(2~(r-1))×Z_2(当m=1,s=0,r≥1时)或者Z_(2~(r-s)).     

广义超特殊p-群的自同构群Ⅲ

确定了广义超特殊p-群G的自同构群的结构.设|G|=p~(2n+m),|■G|=p~m,其中n≥1,m≥2,Aut_fG是AutG中平凡地作用在Frat G上的元素形成的正规子群,则(1)当G的幂指数是p~m时,(i)如果p是奇素数,那么AutG/AutfG≌Z_((p-1)p~(m-2)),并且AutfG/InnG≌Sp(2n,p)×Zp.(ii)如果p=2,那么AutG=Aut_fG(若m=2)或者AutG/AutfG≌Z_(2~(m-3))×Z_2(若m≥3),并且AutfG/InnG≌Sp(2n,2)×Z_2.(2)当G的幂指数是p~(m+1)时,(i)如果p是奇素数,那么AutG=〈θ〉■Aut_fG,其中θ的阶是(p-1)p~(m-1),且Aut_f G/Inn G≌K■Sp(2n-2,p),其中K是p~(2n-1)阶超特殊p-群.(ii)如果p=2,那么AutG=〈θ_1,θ_2〉■Aut_fG,其中〈θ_1,θ_2〉=〈θ_1〉×〈θ_2〉≌Z_(2~(m-2))×Z_2,并且Aut_fG/Inn G≌K×Sp(2n-2,2),其中K是2~(2n-1)阶初等Abel 2-群.特别地,当n=1时...     

广义超特殊p-群的自同构群

确定了广义超特殊p-群G的自同构群的结构.假设｜G｜=p^2n＋m,｜ζG｜=p^m,其中n≥1,m≥2,（1）当p是奇数时,记AutG＇G={α∈AutG｜α在G上作用平凡},则（i）AutG＇G Aut G,Aut G/AutG＇G=～Zp-1;（ii）如果G的幂指数是p^m,那么AutG＇G/InnG=～Sp（2n,p）×Zp^m-1;（iii）如果G的幂指数是p^m＋1,那么AutG＇G/InnG=～（K×Sp（2n-2,p））×Zp^m-1,其中K是p^2n-1阶超特殊p-群.特别地,当n=1时,AutG＇G/Inn G=～Zp×Zp^m-1.（2）当p=2时,（i）如果G的幂指数是2^m,那么Out G=～Sp（2n,2）×Z2×Z2^m-2.特别地,当n=1时,｜Aut G｜=3·2^m＋2,Aut G的Sylow子群都不是正规子群,并且Aut G的Sylow 2-子群都同构于HK,其中H=Z2×Z2×Z2×Z2^m-2,K=Z2.（ii）如果G的幂指数是2^m＋1,那么OutG=～（ISp（2n2,2））×Z2×Z2^m-2,其中I是一个2^2n-1阶初等Abel 2-群.特别地,当n=1时,｜AutG｜=2^m＋2并且Aut G=～HK,其中H=Z2×Z2×Z2^m-1,K=Z2.     

换位子群为p阶群的有限p-群的自同构群

设G是换位子群为p阶群的有限p-群,确定了AutG的结构,证明了(i)AutG/AutGG≌Zp-1,其中AutGG={α∈AutG|α平凡地作用在G上}.(ii)AutGG/Op(AutG)≌iGL(ni,p)×jSp(2mj,p),其中Op(AutG)是AutG的最大正规p-子群,ni和mj由G惟一确定.     

超特殊Z-群的自同构群

确定了超特殊Z-群的自同构群.设G是超特殊Z-群,即G={(1 α_1 α_2···α_n α_(n+1) 0 1 0···0 α_(n+2) ···0 0 0 ··· 0 α_2n 0 0 0··· 1 α_(2n+1) 0 0 0···1 α_(2n+1) 0 0 0···0 1)|α_j∈Z,j=1,2,3,...,2n+1}Aut_cG是AutG中平凡作用在ζG上的自同构形成的正规子群,则AutG=Aut_cG×Z_2,且1→Z···Z}2N→Aut_cG→Sp(2n,Z)→1是正合列.     

关于有限秩的幂零群的自同构

设G是有限秩的幂零群,1=ζ_0Gζ_1G …ζ_cG=G是G的上中心列,End(ζ_iG/ζ_(i-1)G)是Abel群ζ_iG/ζ_(i-1)G的自同态环(1≤i≤c),End(ζ_iG/ζ_(i-1)G)可以自然地作成一个Lie环.α_1,α_2,…,α_n是G的n个自同构,把它们在ζ_iG/ζ_(i-1)G上的诱导自同构分别记为α_(1i),α_(2i),…,α_(ni)(1≤i≤c).如果由α_(1i),α_(2i),…,α_(ni)生成的Lie环End(ζ_iG/ζ_(i-1)G)的Lie子环都是完全可解的,那么α_1,α_2,…,α_n生成的AutG的子群具有良好的幂零性质.考虑G的下中心列,可以得到对偶的结果.     

有循环极大子群的素数幂阶群的作用是边传递的图(II)

假定Γ是一个有限的、单的、无向的且无孤立点的图,G是Aut(Γ)的一个子群.如果G在Γ的边集合上传递,则称Γ是G-边传递图.我们完全分类了当G为一个有循环的极大子群的素数幂阶群时的G-边传递图.结果为:设图Γ含有一个阶为pn(p是素数,n≥2)的自同构群,且G有一个极大子群循环,则Γ是G-边传递的,当且仅当Γ同构于下列图之一1)pmK1,pn-1-m,0≤m≤n-1;2)pmK1,pn-m,0≤m≤n;3)pmKp,pn-m-1,0≤m≤n-2;4)pn-mCpm,pm≥3,m＜n;5)2n-2K1,1;6)pn-1-mCpm,pm≥3,m≤n-1;7)2pn-mCpm,pm≥3,m≤n-1;8)2pn-mK1,pm,0≤m≤n;9)pn-mK1,2pm,0≤m≤n;10)pn-mK2,pm,0＜m≤n;11)C(2pn-m,1,pm);12)pkC(2pm-k,1,pn-m),0＜k＜m,0＜m≤n;13)(t-s,2m)C(2m 1/(t-s,2m),1,2n-1-m),其中0≤m≤n-1,2n-2(s-1)≡0(mod 2m),t≡1(mod 2),s(≠)t(mod 2m),1≤s≤2m,1≤t≤2n-1;14)∪p i=1 Ci p n-1,其中Ci p n-1=Ca1a1 [1 (i-1)pn-2]a 1 2[1 (i--1)p n-2]…a 1 (pn-1-1)[1 (i-1)p n-2]≌Cp n-1,i=1,2,…,p;15)∪2 i=1 Ci 2n-1,其中Ci 2n-1=Ca1a 1 [1 (i-1)(2n-2-1)]a1 2[1 (i-1)(2n-2-1)]…a1 (2n-1-1)[1 (i-1)(2n-2-1)]≌C2n-1,i=1,2.     

拟极小外p-自同构不动点子群为p阶的p-群

阶为某素数p的方幂的自同构如果不是内自同构,则称其为外p-自同构.如果φ是群G的外p-自同构且o(φ)=p,其中φ是φ在Out(G)=Aut(G)/Inn(G)中的自然同态像,则称φ为群G的拟极小外p-自同构.设φ是有限p-群G的任意拟极小外p-自同构,给出了|C_G(φ)|≤p时G的结构.     

U(4,Z)的自同构群(英文)

In this paper,the automorphism group of G is determined,where G is a 4 × 4 upper unitriangular matrix group over Z.Let K be the subgroup of AutG consisting of all elements of AutG which act trivially on G/G,G /ζG and ζG,then （i） InnG ■ K ■ AutG;（ii） AutG/K≌=G₁×D₈×Z₂,where G₁=(a,b,c|a⁴=b²=c²=1,a^b=a^-1,[a,c]= [b,c]=1 ;（iii） K/Inn G≌=Z×Z×Z.     

Automorphisms of Extensions of ℚ by a Direct Sum of Finitely Many Copies of ℚ

Let G be an extension of ℚ by a direct sum of r copies of ℚ. (1) If G is abelian, then G is a direct sum of r + 1 copies of ℚ and AutG ≅ GL(r + 1, Q); (2) If G is non-abelian, then G is a direct product of an extraspecial ℚ-group E and m copies of ℚ, where E/ζE is a linear space over Q with dimension 2n and m + 2n = r. Furthermore, let AutG′G be the normal subgroup of AutG consisting of all elements of AutG which act trivially on the derived subgroup G′ of G, and AutG/ζG,ζGG be the normal subgroup of AutG consisting of all central automorphisms of G which also act trivially on the center ζG of G. Then (i) The extension 1 → AutG′G → AutG → AutG′ → 1 is split; (ii) AutG′G/AutG/ζG,ζGG ≅ Sp(2n,Q) × (GL(m, Q) ⋉ ℚ(m)); (iii) AutG/ζG,ζGG/InnG ≅ ℚ(2nm).     

关于群中乘积元素的阶

讨论群中两个元素a,b的阶不相等时其乘积ab的阶的一类计算问题.设ㄧaㄧ=m,ㄧ bㄧ=n,若(m,n)=1,且存在k∈N使a=bk,则有ㄧabㄧ=mn/d1d2,其中d1=(m,k+1),d2=(n,k+1).若m≠n,ab=ba,且(m,n)ㄧm/(m,n),或(m,n)ㄧn/(m,n),则有ㄧabㄧ=[m,n].     

图Gn的优美表示

将给出三个结果：（i）如果图G是SZ（｜S｜=n≥2）上的整数和图,那么0∈S当且仅当图G至少有一个（n-1）度顶点;（ii）图G（G≠K2）是至少有两个零点的整数和图当且仅当G■K2·Gn;（iii）设图G（G≠K2）是SZ上的整数和图,｜S｜=n＋2,n∈N＋.若图G至少有两个零点,则S={mx｜m=-1,0,1,2,…,n;x∈Z且x≠0}.     

内交换p群的中心扩张(Ⅳ)

设N,H是任意的群.若存在群G,它具有正规子群≤Z(G),使得≌N且G/≌H,则称群G为N被H的中心扩张.本文完全分类了当N为p~3阶初等交换p群及H为内交换p群时,N被H的中心扩张得到的所有不同构的群.从而我们完全分类了初等交换p群被内交换p群的中心扩张得到的所有不同构的群.     

Morse指数与含Grushin算子的Liouville型定理

本文研究退化椭圆型方程-Δxu-(α+1)2|x|~(2α)Δyu=|u|~(p-1)u,(x,y)∈Rm×Rk和方程-Δxu-(α+1)2|x|~(2α)Δyu=|u|~(p-1)u,(x,y)∈Π的Liouville型定理,其中-Δx-(α+1)2|x|~(2α)Δy是Grushin算子,Π={(x,y)∈Rm×Rk:x10}或{(x,y)∈Rm×Rk:y10}.本文将证明,当1p(Q+2)/(Q-2)时,上述方程Morse指数有限的有界解只有零解,其中Q=m+(α+1)k为齐次空间的维数,因此,本文将Laplace方程的结果推广到含Grushin算子的方程.     

p-幂零群的若干充分条件

群G的子群H称为半置换的，若对任意的K≤G，只要（｜H｜,｜K｜）=1．就有HK=KH，H称为s-半置换的，若对任意的p‖G｜,只要（p，｜H｜）=1，就有PH=HP，其中P∈Sylp（G）．本文利用Sylow子群的2-极大子群的s-半置换性得到有限群为p-幂零群的一些充分条件．