二阶混合偏导数的顺序交换

<正> 本文给出二阶混和偏导数求导顺序交换的一个充分条件。在常见的微积分教材中,对求二阶混合偏导数的换序条件,一般要求函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数f_(xy)(x,y)及f_(yx)(x,y)在点(x_0,y_0)都连续。如[1]、[2]。     

两类二元函数芽的一个共同性质和其亚标准形式

利用J.N.Mather有限决定性定理和光滑函数芽的右等价关系,给出了带有任意4次至k次齐次多项式p_i(x,y),q_i(x,y)(i=4,5,…,k)的两类二元函数芽f_i=x~3+∑_(i=4)~kp_i(x,y),f_2=y~3+∑_(i=4)~k=4q_i(x,y)(k≥5)的一个共同性质:若M_2~kM_2J(f_j)(j=1,2)且f_1,f_2的轨道切空间的余维分布均为c_i=2(i=4,5,…,k-1),则对这个i,p_i(x,y)中x~2y~(i-2),xy~(i-1),y~i的系数和q_i(x,y)中x~(i-2)y~2,x~(i-1)y,x~i的系数均为零.最后,利用该性质,给出了f_1,f_2和一类余维数为8的二元函数芽的亚标准形式.     

两类二元函数芽的一个共同性质及其应用

本文主要研究二元C~∞函数芽环中函数芽的性质问题.利用Mather有限决定性定理和C~∞函数的右等价关系,获得了带有任意4次至k次齐次多项式p_i(x,y),q_i(x,y)(i=4,5,···,k)k k的两类函数芽f_1=x~2y+sum from i=4 to k(p_i(x,y)),f_2=xy~2+sum from i=4 to k(q_i(x,y))(k≥5)的一个共同性质:若M_2~k?M_2J(f_j)(j=1,2)且f_1,f_2的轨道切空间的余维分布均为c_i=1(i=4,5,···,k-1),则对这里的i,p_i(x,y)中xy~(i-1),yi的系数和q_i(x,y)中x~(i-1)y,x~i的系数均为零.最后,利用该性质,给出了f_1,f_2和一类余维数为7的二元函数芽的标准形式.     

非线性FREDHOLM积分方程组的求解方法

在文[1]中,我们研究了含参数 λ 的如下形式的非线性 Fredholm 积分方程组(?)(x;λ)=f(x)+λ(?)Φ(x,y,(?)(y;λ))dy (1)的求解问题,这里 λ 适当地小,(?)(x;λ)=((?)_1,…,(?)_i)~T 是未知的 l 维向量,f(x)=(f_1)…,f_(?))~T是已知的 l 维向量,Φ=(Φ_1,…,Φ_l)~T,每个分量Φ_j(x,y,(?)_1,…,(?)_l)(j=(?)     

Some Notes on a Minimization Problem

Let X[a,b] be a compact set containing at least n+1 points and Kan n-dimensional Haar subspace in c[a,b]. Let F(x,y) be a nonnegativefunction, defined on X×(-∞,∞), satisfying ‖F(·,p)‖<∞ with the L_∞norm forsome∈K, where F(x,p)≡F(x,p(x)). The minimization problem discussed in this paper is to find an elementp∈K such that ‖F(·,p)‖=inf ‖F(·,q)‖, such an element p(if any) is saidto be a minimum to F in K~(q∈K). The author in [1,2] studied this problem and has given the main theoremsin the Cbebyshev theory under the following assumptions: (A) lim F(x,y)=∞, x∈X; (B) lim F(x,u)=F(x,y), x∈X,y; (C)lim F(u,υ)=F(x,y),x∈X,y; (D) For each x∈X there existtwo real numbers f~-(x) and f~+(x),f~-(x)f~+(x). such that F(x,y) is strictlydecreasing with respect to y on (-∞,f~-(x)] and strictly increasing on [f~+(x),∞), and F(x,y)=F(x):=inf F(x,υ) on [f~-(x),f~+(x)]. Denote f_1(x)=inf{y:F(x,y)‖F~*‖},f_2(x)=sup{y:F(x,) ‖F‖},f_1(x)=lim f_1(u),f_2(x)=lim f_2(u), G=(q∈K: f_1qf_2}.For pεK set X_p={     

一维$P$-Laplace二阶差分系统奇异边值问题正解的存在性

应用锥压缩锥拉伸不动点定理和Leray-Schauder 抉择定理研究了一类具有P-Laplace算子的奇异离散边值问题$$\left\{\begin{array}{l}\Delta[\phi (\Delta x(i-1))]+ q_{1}(i)f_{1}(i,x(i),y(i))=0, ~~~i\in \{1,2,...,T\}\\\Delta[\phi (\Delta y(i-1))]+ q_{2}(i)f_{2}(i,x(i),y(i))=0,\\x(0)=x(T+1)=y(0)=y(T+1)=0,\end{array}\right.$$的单一和多重正解的存在性,其中$\phi(s) = |s|^{p-2}s, ~p>1$,非线性项$f_{k}(i,x,y)(k=1,2)$在$(x,y)=(0,0)$具有奇性.     

曲线的交并方程在解题中的应用

过两曲线f_1(x,Y)=0与f_2(x,y)=0交点的曲线方程f_1(x,y)+λf_2(x,y)=0在统编教材中已作习题提出,笔者以为这两曲线并集的曲线方程f_1(x,y)f_2(x,y)=0亦同样应引起重视。因为前者固可在两高次曲线的交族中找到所需要的曲线,而后者则可将两低次曲线合并为高次曲线。这些都是解析法处理问题时常用的变形技巧。平面上,我们经常研究一直线1:f(x,y)=0     

用曲线系方程解题应注意的两个问题

大家都知道,过两曲线 f_1(x,y)=0,f_2 (X,y)=0的交点的曲线系方程为:f_1(x,y)+λf_2(x,y)=0(λ∈R)。利用它来处理解几中过两曲线交点求一新曲线方程的问题显得特别方便,但是用曲线系方程时应注意以下两个问题。一、首先应判定解的存在性所谓首先应判定解的存在性,是指解题之前首先应判定曲线f_1(x,y)=0与f_2(x,y)=0是否有交点,如果有交点,则可用曲线系方程解之;如果无交点,则说明本题无解,不能用曲线系方程解,不然就可能将无解题求出解     

集论公理的简约与基数的方幂

如命 tran_R m 指(uRv ∧usm→·usm),而 xR_*y 指m(tran_Rm∧ysm→·xsm),则集论的六条公理(对偶、联集、幂集、分出、替换、无穷)可合并为一条:x!yφ(x,y)→sy(yssx(xs_*axp_*b·φ(x,y)),这里“!y”指“最多只有一个 y”,而 xpb 指“x 为 b 的幂集”.给定无穷基数 a 后,可定义:f_0(α)=μβ(α~β>α),σ_0(α)=μγ(γ~(f_0(α))>α);f_(k 1)(a)=μβ(γ<σ_k(α))γ~β>α,σ_(k 1)(α)=μγ(γ~(f_(k 1)(α))>α).则有定理:当1≤βγ,则有:当g(δ)≤α≤g(δ)~β时α~β=g(δ)~β,对此外的α,则必α~β=α.     

一类二阶耦合积分边值问题的可解性

在一对上-下解和下-上解存在的条件下,研究了一类二阶耦合积分边值问题{-x"=f_1(t,x,y,x"),-y"=f_2(t,x,y,y'),t∈[0,1],x(0)=y(0)=0,x(1)+∫_0~1y(t)dA(t)=0,y(1)+∫_0~1x(t)dB(t)=0}解的存在性,其中f_1,f_2∈C([0,1]×R~3,R).