关于乘积Sombor指数的极值(分子)树

拓扑指数是一类可以用来预测化合物的物理化学性质的数值不变量, 其并被广泛用于量子化学、分子生物学和其他研究领域. 对于一个顶点集为$V(G)$、边集为$E(G)$的(分子)图$G$, 其Sombor指数定义为$SO(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)}\sqrt{d_{G}^{2}(u)+d_{G}^{2}(v)}$, 其中$d_{G}(u)$表示顶点$u$在$G$中的度. 相应地, 乘积Sombor指数定义为$\prod\nolimits_{SO}(G)= \prod\limits_{uv\in E(G)}\sqrt{d_{G}^{2}(u)+d_{G}^{2}(v)}$. 分子树是最大度$\Delta\leq 4$的树. 在本文中, 我们首先确定了乘积Sombor指数最大的分子树, 然后我们确定了乘积Sombor指数的前十三小的(分子)树.     

On an Extension of Hadamard Inequalities for Convex Functions(in English)

设f是区间[a,b]上连续的凸函数，我们证明了Hadamard的不等式 $[f(\frac{{a + b}}{2}) \le \frac{1}{{b - a}}\int_a^b {f(x)dx \le \frac{{f(a) + f(b)}}{2}}$ 可以拓广成对[a,b]中任意n+1个点x_0,\cdots,x_n和正数组p_0,\cdots,p_n都成立的下列不等式 $f(\frac{\sum\limits_{i=0}^n p_ix_i}{\sum\limits_{i=0}^n p_i}) \leq |\Omega|^-1 \int_\Omega f(x(t))dt \leq \frac{\sum\limits _{i=0}^n {p_if(x_i)}}{\sum\limits_{i=0}^n p_i}$ 式中\Omega是一个包含于n维单位立方体的n维长方体，其重心的第i个坐标为$\sum\limits _{j=i}^n p_j /\sum\limits_{j=i-1}^n p_i$,|\Omega|为\Omega的体积，对\Omega中的任意点$t=(t_1,\cdots,t_n)$, $w(t)=x_0(1-t_1)+\sum\limits _{i=1}^{n-1} x_i(1-t_{i+1})\prod\limits_{j = 1}^i {{t_j}} +x_n \prod\limits _{j=1}^n t_j$ 不等式中两个等号分别成立的情形亦已被分离出来。 此不等式是著名的Jensen 不等式的精密化。     

强连通双圈有向图的无符号拉普拉斯谱刻画

设$\overrightarrow{G}$ 是一个强连通双圈有向图, $A(\overrightarrow{G})$是其邻接矩阵.设$D(\overrightarrow{G})$ 是$\overrightarrow{G}$的顶点出度的对角矩阵, $Q(\overrightarrow{G})=D(\overrightarrow{G})+A(\overrightarrow{G})$是$\overrightarrow{G}$ 的无符号拉普拉斯矩阵. $Q(\overrightarrow{G})$的谱半径称为$\overrightarrow{G}$的无符号拉普拉斯谱半径.在这篇文章中, 确定了在所有强连通双圈有向图中达到最大或最小无符号拉普拉斯谱半径的唯一有向图. 此外,还证明了任意一个强连通双圈有向图是由它的无符号拉普拉斯谱所确定的.     

由H\"{o}rmander向量场构成的抛物方程的 $W_{\ast}^{1,p}$ 正则性

设 $X_{1},\cdots ,X_{q}\ (q相似文献   

A Hypothesis Testing Problem in the Linear Model (in English)

本文讨论了多元线性模型中的一个假设检验问题。假定 $\[{E(Y) = A\theta + B\eta }\]$ $Y的各行独立、正太、同协差阵V$ 现在要检验假设H_0:存在矩阵C使$\theta= C\eta$ 是否成立。首先可将问题化为法式的形式，对法式分两种情况进行讨论： （一）$[V = {\sigma ^2}I,{\sigma ^2}\]$未知，此时可求出 \theta,C，\sigma ^2的最大似然估计（当 H^0成立时）是 $[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat \theta = {{({I_p} + \hat C'\hat C)}^{ - 1}}({y_1} + \hat C'{y_2})}\{\hat C = - {{({{T'}_{22}})}^{ - 1}}{{T'}_{12}}}\{{{\hat \sigma }^2} = \frac{1}{{nk}}(\sum\limits_{j = p + 1}^{p + q} {\lambda _j^* + \sum\limits_{j = 1}^k {{d_j})} } } \end{array}} \right.\]$ 其中y_1,y_2是法式 $[E\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}\{{y_2}}\{{y_3}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \theta \\eta \0 \end{array}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} p\q\{n - (p + q)} \end{array}\]$ 中的资料阵y_1,y_2,d_1,\cdots，d_k是y^'_3y_3的全部特征根，$[\lambda _1^* \ge \cdots \lambda _{p + q}^*\]$是$[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}\{{y_2}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{y'}_1}}&{{{y'}_2}} \end{array}} \right)\]$的全部特征根，相应特征向量依$\lambda^*_i$的大小顺序从左到右排成矩阵T，T的分块子阵是T_ij，即 $[T = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_{11}}}&{{T_{12}}}\{{T_{21}}}&{{T_{22}}} \end{array}} \right)\begin{array}{*{20}{c}} p\q \end{array}\]$ 对H_0的广义似然比检验是 $[\Lambda = \sum\limits_{j = p + 1}^k {{\lambda _j}/\sum\limits_{j = 1}^k {{d_j}} } \]$ $=lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_k$是$y_1^'y_1+y_2^'y_2$的全部特征根。 （二）一般情形V未知，此时 \theta,C的估计量同前，可求出 $[\hat V = \frac{1}{n}({y_2}^\prime {T_{22}}{T_{22}}^\prime {y_2} + {y_2}^\prime {y_2})\]$ H_0相应的Lawley不变检验是 $[\sum\limits_{j = p + 1}^k {{\beta _j}} \ge {\alpha _1}\]$ 其中 $\beta_1 \geq \beta_2 \geq \cdots \beta_k$是$y'_1y_1+y'_2y_2$的相应于$y'_sy_s$的全部特征根。 有关$\Lambda \$的以及$[\sum\limits_{j = p + 1}^k {{\beta _j}} \]$的极限分布将在另外的文章中讨论。     

$k$-广义拟树的第一个leap Zagreb 指标

图$G$的第一个leap Zagreb指标定义如下: $LM_1(G)=\sum_(v\in v(G)}d_2(v/G)^2$, 其中$d_2(v/G)$是离点$v$的距离为2的顶点. 令$\mathcal{QT}^{(k)}(n)$是有$n$个顶点的$k$-广义拟树的集合.若$G\in \mathcal{QT}^{(k)}(n)$, 本文给出了图$G$的第一个leap Zagreb指标的范围.     

线性过程关于大数律的精确渐近性

该文主要讨论的是滑线性过程 $X_k=\sum\limits_{i=-\infty}^\infty a_{i+k}\varepsilon_i$,其中 $\{\varepsilon_i; -\infty$\varphi$ -混合或负相伴随机变量序列,$\{a_i;-\inftyp$, 若 $E|\varepsilon_1|^r<\infty$$\lim_{\epsilon\searrow 0}\epsilon^{2(r-p)/(2-p)}\sum\limits_{n=1}^\infty n^{r/p-2}P\{|S_n|\geq \epsilonn^{1/p}\}=\frac{p}{r-p}E|Z|^{2(r-p)/(2-p)},$ 其中 $Z$ 是服从均值为零,方差为 $\tau^2=\sigma^2\cdot(\sum\limits_{i=-\infty}^\infty a_i)^2$的正态分布.     

一类n-阶m-点奇异边值问题的正解

研究$n$-阶$m$-点奇异边值问题$$\left\{\aligned& u^{(n)}(t)+ h(t)f(t,u(t),u'(t),\cdots,u^{(n-2)}(t))=0,\ \ 0<t<1,\\& u(0)=u'(0)=\cdots=u^{(n-2)}(0)=0,\ u^{(n-2)}(1)=\sum_{i=1}^{m-2}k_{i}u^{(n-2)}(\xi_{i}), \endaligned\right.$$其中$h(t)$允许在$t=0,\ t=1$处奇异, $f(t,v_0,v_1,\cdots,v_{n-2})$允许在$v_{i}=0\ (i=0,1,\cdots,n-2)$处奇异.利用锥拉伸与压缩不动点定理得到了上述奇异边值问题正解的存在性.     

一类二元相关威布尔分布的可靠性问题

本文考虑生存函数为${\ol{F}(x_{1},x_{2})}=\exp\{-[(x_{1}^{1/\alpha}/\theta_{1})^{1/\delta}+(x_{2}^{1/\alpha}/\theta_{2})^{1/\delta}]^{\delta}\},\;x_{i}>0,\;\alpha>0$, $1\geq\delta>0,\;\theta_{i}>0\;(i=1,2)$的二元威布尔分布的两种可靠性问题, 提出可靠度$\pr$的估计并讨论了它们的渐近性, 最后还作了模拟计算.     

多元统计分析中一类矩阵迹函数最小化问题的有效算法

研究来源于多元统计分析中的一类矩阵迹函数最小化问题$\min c+ tr(AX)+\sum\limits_{j=1}^{m}tr(B_j X C_jX^{T}),\ \ {\rm s. t.} \ X^TX=I_p,$其中$c$为常数, $A\in R^{p\times n}\ (n\geq p)$, $B_j\in R^{n\times n}, C_j\in R^{p\times p}$为给定系数矩阵. 数值实验表明已有的Majorization算法虽可行, 但收敛速度缓慢且精度不高. 本文从黎曼流形的角度重新研究该问题, 基于Stiefel流形的几何性质, 构造一类黎曼非单调共轭梯度迭代求解算法, 并给出算法收敛性分析.数值实验和数值比较验证所提出的算法对于问题模型是高效可行的.     

图的Augmented Zagreb 指数的界

Let G =(V, E) be a simple connected graph with n(n ≥ 3) vertices and m edges,with vertex degree sequence {d₁, d₂,..., d_n}. The augmented Zagreb index is defined as AZI =AZI(G)=∑ij∈E(didj/di+dj-2)³. Using the properties of inequality, we investigate the bounds of AZI for connected graphs, in particular unicyclic graphs in this paper, some useful conclusions are obtained.     

一类上三角矩阵环$W_{n}(p, q)$的斜Armendariz性质

设α是环R的一个自同态,称环R是α-斜Armendariz环,如果在R[x;α]中,(∑_(i=0)~ma_ix~i)(∑_(j=0)~nb_jx~j)=0,那么a_ia~i(b_j)=0,其中0≤i≤m,0≤j≤n.设R是α-rigid环,则R上的上三角矩阵环的子环W_n(p,q)是α~—-斜Armendariz环.     

单圈图的最大特征值的上界的改进

Let G（V, E） be a unicyclic graph, Cm be a cycle of length m and Cm G, and ui ∈ V（Cm）. The G - E（Cm） are m trees, denoted by Ti, i = 1, 2,..., m. For i = 1, 2,..., m, let eui be the excentricity of ui in Ti and ec = max{eui ： i = 1, 2 , m}. Let κ = ec＋1. Forj = 1,2,...,k- 1, let δij = max{dv ： dist（v, ui） = j,v ∈ Ti}, δj = max{δij ： i = 1, 2,..., m}, δ0 = max{dui ： ui ∈ V（Cm）}. Then λ1（G）≤max{max 2≤j≤k-2 （√δj-1-1＋√δj-1）,2＋√δ0-2,√δ0-2＋√δ1-1}. If G ≌ Cn, then the equality holds, where λ1 （G） is the largest eigenvalue of the adjacency matrix of G.     

矩阵环中的一类极大的广义的Armendariz子环

An associative ring with identity R is called Armendariz if, whenever （∑^m i=0^aix^i）（∑^n j=0^bjx^j）=0 in R[x],aibj=0 for all i and j. An associative ring with identity is called reduced if it has no non-zero nilpotent elements. In this paper, we define a general reduced ring （with or without identity） and a general Armendariz ring （with or without identity）, and identify a class of maximal general Armendariz subrings of matrix rings over general reduced rings.     

单圈图H(p,tK_(1,m))的Laplacian谱刻画

设图H(p,tK_(1,m))是一个顶点数为p+mt的连通单圈图,它是由圈C_p的依次相邻的t(1≤t≤p)个顶点、每一个顶点分别与星K_(1,m)的中心重合而得到的单圈图.证明了单圈图H(p,pK_(1,4)),H(p,pK_(1,3)),H(p,(p-1)K_(1,3))是由它们的Laplacian谱确定的,并证明了当p为偶数时,单圈图H(p,2K_(1,3)),H(p,(p-2)K_(1,3)),H(p,(p-3)K_(1,3))也是由它们的Laplacian谱确定的.     

以仿正规算子为参数的初等算子的性质

若对x∈H,‖Tx‖~2≤‖T~2x‖‖x‖,则称T是仿正规算子.d_(AB)表示δ_(AB)或△_(AB),其中δ_(AB)和△_(AB)分别表示Banach空间B(H)上的广义导算子和初等算子,其定义为δ_(AB)X=AX-XB,△_(AB)X=AXB-X,X∈B(H).若A和B~*是仿正规算子,则可证d_(AB)是polaroid算子,f∈H(σ(d_(AB))),f(d_(AB))满足广义Weyl定理,f(d_(AB)~*)满足广义a-Weyl定理,其中H(σ(d_(AB)))表示在σ(d_(AB))的某邻域上解析的函数全体.     

图的剖分点-边冠运算下的规范拉普拉斯谱

A subdivision vertex-edge corona G_1~S?(∪ G_3~E) is a graph that consists of S(G_1),|V(G_1)| copies of G_2 and |I(G_1)| copies of G_3 by joining the i-th vertex in V(G_1) to each vertex in the i-th copy of G_2 and i-th vertex of I(G_1) to each vertex in the i-th copy of G_3.In this paper, we determine the normalized Laplacian spectrum of G_1~S?(G_2~V∪ G_3~E) in terms of the corresponding normalized Laplacian spectra of three connected regular graphs G_1, G_2 and G_3. As applications, we construct some non-regular normalized Laplacian cospectral graphs. In addition, we also give the multiplicative degree-Kirchhoff index, the Kemeny's constant and the number of the spanning trees of G_1~S?(G_2~V∪ G_3~E) on three regular graphs.