单圈图的hyper-Wiener指标

令u（n）表示具有n个顶点的单圈图.在一个圈C3的一个顶点上悬挂n-3个悬挂边的n个顶点的单圈图记为U~＊（n-3,0,0）.本文证明了在u（n）中具有最小hyper-Wiener指数的单圈图是U~＊（n-3,0,0）.     

邻域并与泛圈图

本文中 ,我们用邻域并对泛圈图进行深入的研究 ,主要取得了“2连通 n( n≥ 3 )阶图 G,满足下列条件之一 ,则 G是泛圈图 : :δ≤ ( n-7) /3 ,N C≥ ( 2 n-3 ) /3 ; :( n-6) /3≤ δ≤ ( n+2 ) /3 ,N C≥ 2 n/3 ; :δ≥ ( n+3 ) /3 ,N C≥ ( 2 n-3 ) /3 .当 3≤ n≤ 14时 ,N C≥ 2 n/3”     

定向图的斜秩

定向图Gσ是一个不含有环(loop)和重边的有向图,其中G称作它的基图.S(Gσ)是Gσ的斜邻接矩阵.S(Gσ)的秩称为Gσ的斜秩,记为sr(Gσ).定向图的斜邻接矩阵是斜对称的,因而,它的斜秩是偶数.本文主要考虑简单定向图的斜秩,首先给出斜秩的一些简单基本知识,紧接着分别刻画斜秩是2的定向图和斜秩是4的带有悬挂点的定向图;其次利用匹配数给出具有n个顶点、围长是k的单圈图的斜秩表达式;作为推论,列出斜秩是4的所有单圈图和带有悬挂点的双圈图;另外研究具有n个顶点、围长是k的单圈图的图类中斜秩的最小值,并刻画了极图;最后研究斜邻接矩阵是非奇异的定向单圈图.     

On the Upper Bounds of the Numbers of Perfect Matchings in Graphs with Given Parameters

Let φ(G),κ(G),α(G),χ(G),cl(G),diam(G)denote the number of perfect matchings,connectivity,independence number,chromatic number,clique number and diameter of a graph G,respectively.In this note,by constructing some extremal graphs,the following extremal problems are solved:1.max{φ(G):|V(G)|=2n,κ(G)≤k}=k[(2n-3)!!],2.max{φ(G):|V(G)|=2n,α(G)≥k}=[multiply from i=0 to k-1(2n-k-i)[(2n-2k-1)!!],3.max{φ(G):|V(G)|=2n,χ(G)≤k}=φ(T_(k,2n))T_(k,2n)is the Turán graph,that is a complete k-partite graphon 2n vertices in which all parts are as equal in size as possible,4.max{φ(G):|V(G)|=2n,cl(G)=2}=n1,5.max{φ(G):|V(G)|=2n,diam(G)≥2}=(2n-2)(2n-3)[(2n-5)!!],max{φ(G):|V(G)|=2n,diam(G)≥3}=(n-1)~2[(2n-5)!!].     

两种度序列图的匹配等价图类

刻画了度序列为π(G) ={ 1,3,2 n-2 }和π(G) ={ n - 2 ,n - 4,(n - 3) n-2 }的图 G的匹配等价图类 .     

On strong metric dimension of graphs and their complements

A vertex x in a graph G strongly resolves a pair of vertices v, w if there exists a shortest x-w path containing v or a shortest x-v path containing w in G. A set of vertices S■V(G) is a strong resolving set of G if every pair of distinct vertices of G is strongly resolved by some vertex in S. The strong metric dimension of G, denoted by sdim(G), is the minimum cardinality over all strong resolving sets of G. For a connected graph G of order n≥2, we characterize G such that sdim(G) equals 1, n-1, or n-2, respectively. We give a Nordhaus-Gaddum-type result for the strong metric dimension of a graph and its complement: for a graph G and its complement G, each of order n≥4 and connected, we show that 2≤sdim(G)+sdim(G)≤2( n-2). It is readily seen that sdim(G)+sdim(G)=2 if and only if n=4; we show that, when G is a tree or a unicyclic graph, sdim(G)+sdim(G)=2(n 2) if and only if n=5 and G ～=G ～=C5, the cycle on five vertices. For connected graphs G and G of order n≥5, we show that 3≤sdim(G)+sdim(G)≤2(n-3) if G is a tree; we also show that 4≤sdim(G)+sdim(G)≤2(n-3) if G is a unicyclic graph of order n≥6. Furthermore, we characterize graphs G satisfying sdim(G)+sdim(G)=2(n-3) when G is a tree or a unicyclic graph.     

单圈图的伴随多项式的极小根（英文）

引入伴随多项式是为了从补图的角度研究色多形式,图的伴随多项式的极小根可用于判定色等价图.β（G）表示图G的伴随多项式的极小根.n表示n个顶点的单圈图的集合.分别确定了具有max{β（G）｜G∈Ωn}和min{β（G）｜G∈Ωn}的所有单圈图.     

有循环极大子群的素数幂阶群的作用是边传递的图(II)

假定Γ是一个有限的、单的、无向的且无孤立点的图,G是Aut(Γ)的一个子群.如果G在Γ的边集合上传递,则称Γ是G-边传递图.我们完全分类了当G为一个有循环的极大子群的素数幂阶群时的G-边传递图.结果为:设图Γ含有一个阶为pn(p是素数,n≥2)的自同构群,且G有一个极大子群循环,则Γ是G-边传递的,当且仅当Γ同构于下列图之一1)pmK1,pn-1-m,0≤m≤n-1;2)pmK1,pn-m,0≤m≤n;3)pmKp,pn-m-1,0≤m≤n-2;4)pn-mCpm,pm≥3,m＜n;5)2n-2K1,1;6)pn-1-mCpm,pm≥3,m≤n-1;7)2pn-mCpm,pm≥3,m≤n-1;8)2pn-mK1,pm,0≤m≤n;9)pn-mK1,2pm,0≤m≤n;10)pn-mK2,pm,0＜m≤n;11)C(2pn-m,1,pm);12)pkC(2pm-k,1,pn-m),0＜k＜m,0＜m≤n;13)(t-s,2m)C(2m 1/(t-s,2m),1,2n-1-m),其中0≤m≤n-1,2n-2(s-1)≡0(mod 2m),t≡1(mod 2),s(≠)t(mod 2m),1≤s≤2m,1≤t≤2n-1;14)∪p i=1 Ci p n-1,其中Ci p n-1=Ca1a1 [1 (i-1)pn-2]a 1 2[1 (i--1)p n-2]…a 1 (pn-1-1)[1 (i-1)p n-2]≌Cp n-1,i=1,2,…,p;15)∪2 i=1 Ci 2n-1,其中Ci 2n-1=Ca1a 1 [1 (i-1)(2n-2-1)]a1 2[1 (i-1)(2n-2-1)]…a1 (2n-1-1)[1 (i-1)(2n-2-1)]≌C2n-1,i=1,2.     

谱半径前六位的n阶单圈图

恰含一个圈的简单连通图称为单圈图。Cn记n个顶点的圈。△（i,j,κ）记C3的三个顶点上分别接出i,j,κ条悬挂边所得的图，其中i≥j≥κ≥0.Sl^n-l记Cl的某一顶点上接出n-l条悬挂边所得到的图。△（n-4 1,0,0)记△（n-4,0,0)的某个悬挂点上接出一条悬挂边所得到的图。本文证明了：若把所有n(n≥12）阶单圈图按其最大特征值从大到小的顺序排列，则排在前六位的依次是S3^n-3，△（n-4,1,0),△（n-4 1,0,0),S4^n-4,△（n-5,2,0),△（n-5,1,1)。     

解广义特征值反问题的同伦方法

1.引言 我们讨论下列广义特征值反问题: (G)已知B是n×n阶对称半正定矩阵,λ=(λ_1,…,λ_(2n-1))~T∈R~(2n-1),且{λ_i}~(n_3),和{λ_i}_(n+1)~(2n-1)严格交错。问题是欲求一个实对称三对角n×n阶矩阵A,使得λ_1…,λ_n是Ax=λBx的特征值,λ_(n+1),…,λ_(2n-1)是A_(n-1)x=λB_(n-1)x的特征值,其中A_(n-1),B_(n-1)分别是矩阵A,B的前n-1阶主子阵。     

单圈混合图的极大谱半径(英文)

设U*为一个未定向的n个顶点上的单圈混合图,它是由一个三角形在其某个顶点上附加n-3个悬挂边而获得.在文[Largest eigenvalue of a unicyclic mixed graph,Applied Mathematics A Journal of Chinese Universities(Ser.B),2004,19(2):140-148]中,作者证明了:在相差符号同构意下,在所有n个顶点上的单圈混合图中,U*是唯一的达到最大Laplace谱半径的混合图.本文应用非负矩阵的Perron向量,给出上述结论的一个简单的证明.     

单圈图的极小能量

For a simple graph G, the energy E(G) is defined as the sum of the absolute values of all eigenvalues of its adjacency matrix. Let Undenote the set of all connected unicyclic graphs with order n, and Ur n= {G ∈ Un| d(x) = r for any vertex x ∈ V(Cl)}, where r ≥ 2 and Cl is the unique cycle in G. Every unicyclic graph in Ur nis said to be a cycle-r-regular graph.In this paper, we completely characterize that C39(2, 2, 2) ο Sn-8is the unique graph having minimal energy in U4 n. Moreover, the graph with minimal energy is uniquely determined in Ur nfor r = 3, 4.     

具有五个不同于0和1的Laplacian特征值的单圈图

设$U$是$n$阶单圈图, $m_{U}(1)$是$U$的拉普拉斯特征值1的重数.众所周知,0是连通图重数为1的拉普拉斯特征值.这意味着如果$U$有五个不同于0和1的拉普拉斯特征值,那么$m_U(1)=n-6$.本文完整刻画了$m_U(1)=n-6$的所有单圈图.     

双圈图的Laplacian Spread(英文)

Laplacian spread的概念在刻画图的整体性质方面非常重要.近年来,Fan等分别刻画了树中具有极大和极小Laplacian spread的图.另外Bao等确定了在所有单圈图中具有极大Laplacian spread的图.边数减去顶点数目为1的连通图称为双圈图.令B_n是所有有n个顶点构成的双圈图集合.对n≥11,本文确定了B_n中所有具有极大Laplacian spread的那些图.     

单圈图和双圈图的最大无符号拉普拉斯分离度

设G是一个n阶简单图,q_1(G)≥q_2(G)≥…≥q_n(G)是其无符号拉普拉斯特征值.图G的无符号拉普拉斯分离度定义为S_Q(G)=q_1(G)-q_2(G).确定了n阶单圈图和双圈图的最大的无符号拉普拉斯分离度,并分别刻画了相应的极图.     

含偶圈图的Laplacian 谱刻画

设 H(K_{1,5},P_n,C_l)是由路 P_n的两个悬挂点分别粘上星图K_{1,5}的悬挂点和圈 C_l的点所得的单圈图. 若两个二部图是关于Laplacian 矩阵同谱的, 则它们的线图是邻接同谱的, 两个邻接同谱图含有相同数目的同长闭回路. 如果任何一个与图G关于Laplacian 同谱图都与图G 同构, 那么称图G可由其Laplacian 谱确定. 利用图与线图之间的关系证明了H(K_{1,5},P_n,C_4)、H(K_{1,5},P_n,C_6) 由它们的Laplacian谱确定.     

单圈图生成的凯莱图UG_n在PMC模型和MM~*模型下的1好邻诊断度

多处理系统的诊断度是一个重要的研究课题.一种新的系统故障诊断方法称为g好邻诊断度,它是限制每个无故障点至少包含g个无故障的邻点.单圈图生成的凯莱图UG_n作为一种极好的互联网络拓扑结构有许多好的性质.现证明了当n≥4时,单圈图生成的凯莱图UG_n在PMC模型下的1好邻诊断度是2n-1;当n≥5时,UG_n在MM~*模型下的1好邻诊断度是2n-1.     

图有[a,b]因子的邻域条件

不含有图K1，R的图称为K1,r-free图，设G是一个具有顶点集V（G）的图，设n(≥3),a和b是整数，使得b≥a≥1，若b是奇数，设b≥n-1。我们证明了每个连通的K1,r-free图G在b|V(G)|为偶数，它的最小度至少是a n-1,|V(G）≥ （2(a b)-1)(a b-1)/b，以及|NG(x）∪NG（y)|≥a|V(G)|a b对V的任意两个不邻接的点x和y都成立时，G有一个[a,b]因子。