1.|a b|>|a| |b|

有众所周知}a bl(la! !b{,在这里我们却}a bl》ial }b}.诸肴如下证明:*为一且二_八亘万_压二画三二一’一’I口 bl可(a 吞)1心(a b)(a b) ︼一人U. 一t,一,一.办 一.︸︺叭一办一 一‘U一之一al一一叭U李,一b 叼a︸ 一a_旦口十石 。 b不),雌 !b}}a b}篇-_I,口。、乓乏‘石不十石落j, (l) (2)得{a} }b}}a b} a-下-r十a十O:}a bl》}a! b。 b}bl...‘l,‘ ‘1.|a b|>|a| |b|@曹存富$宁波市北仓区教研室~~…     

用不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|解题

（事实上，也成立，证明略）在高中《代数》下册不等式一章给出，教材主要研究了它在绝对值不等式证明中的运用．而在其它方面的运用几乎没有涉及．有关资料一般也未作探讨，为了强化《考试说明》中提及的这一重要基础，下面就其运用举例说明．1证明不等式例1用数学归纳法证明：（1985年全国高考上海试题）证明（1）n=1时，不等式显然成立．（2）假设成立，那么n＝k十1时，＜Silk。OSSI＋ICOSk。i。l＜ksinxl＋Dsinx【＝（k＋1）Isinx【．不等式成立．综合（1）、（2）有lsinn6I。nlsin8I．NZ已知a、b、c是实数，函数（1996年全国（3…     

数形结合解含|x a|、|x b|的不等式

例1 解不等式|x 3|-|X-1| 3>O.解令F(X)=|x 3|-|x-1|, g(x)=-3.由x 3=0,x-1=0分别得x=-3,x=1.     

关于|a+b|=|a|+|b|及|a-b|=|a|-|b|的应用

1.在重要不等式|a+b|≤|a|+|b|中,当且仅当a≥0,b≥0或a≤0,b≤0时等号成立,即|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0。因此|a+b|<|a|+|b|的充要条件是ab<0。同样,等式|a_1+a_2+…+a_n|=|a_1|+|a_2|+…+|a_n|成立的充要条件是a_1,a_2,…,a_n有相同符号。这一简单事实,在数学中有着重要的应用。 1)在解方程中的应用解方程|lg(2x-3)+lg(4-x~2)|==|lg(2x-3)|+|lg(4-x~2)|。解:根据|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0,所以原方程等价于不等式 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0。解这个不等式: lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 2x-3>0 4-x~2>0     

活用|a·b|≤|a|·|b|解题举例

向量不等式|a·b|≤|a|·|b|是向量的一个重要性质,本文例谈它的应用.例1若a,b∈R且a1-b2 b1-a2=1.求证:a2 b2=1.证明记a=(a,b),b=(1-b2,1-a2),由已知条件知a·b=1,又|a|=a2 b2,|b|=2-a2-b2,由|a·b|≤|a||b|得(a2 b2)(2-b2-a2)≥1,化简得(a2 b2-1)2≤0,故a2 b2=1.例2(1957年北     

利用|z_1 z_2|~2 |z_1-z_2|~2=2|z_1|~2 2|z_2|~2解题

关于复数模的有关性质之一有公式|z_1 z_2|~2 |z_1-z_2|~2=2|z_1|~2 2|z_2|~2其几何意义是:平行四边形两对角线的平方和等于四边平方和,利用它解决一类有关复数模的问题不但有效,而且解题过程简单,方法新颖。例1 已知|z 3 4i|~2 |z-3-4i|~2=80求|z|:并说明z点的轨迹表示的图形。分析若设z=x yi代入已知整理,则会步骤冗长,利用     

|x|的有理插值

正~~     

|a-b|≥||a|-|b||的几何意义

若·,。。*,贝。}一。.、{}一}。.},它是有广泛应用的不等式,下面给出它的一个有趣的几何解释,}一。,、){一,”,…当一“时显然成立· 于是构造函数f(x)一}x卜从图像上易见线段MN所在直线的斜率Ik删}簇1,不等式得证.当a共b时,它等价于 }1 al一lb}a一b簇1(责审张思明)|a-b|≥||a|-|b||的几何意义@齐行超$山东省单县二中!274300~~     

|sinx|原函数的直接计算法

利用变限积分函数和周期函数的性质,给出了求|sinx|原函数的一种直接计算法.     

不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的补注

“|ａ| -|ｂ|≤ |ａ±ｂ|≤ |ａ| + |ｂ|”是高中数学中的一个重要不等式定理 ,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具 .课本主要介绍它在证明不等式中的应用 ,而其它方面很少涉及 ,且何时取等号也未指明 ,但在高考中却多次考查到 .为此本文加以补充并例谈其应用 .一、定理的补注1.等号成立的条件|ａ +ｂ| =|ａ| + |ｂ| ａｂ≥ 0 ;|ａ -ｂ| =|ａ| + |ｂ| ａｂ≤ 0 ;|ａ| -|ｂ| =|ａ +ｂ| (ａ +ｂ)ｂ≤ 0 ;|ａ| -|ｂ| =|ａ -ｂ| (ａ -ｂ)ｂ≥ 0 .2 .字母ａ ,ｂ的范围其实ａ ,ｂ不仅在实数中成立 ,且在复数集中也成立 .同时右边不等式…     

|x|~α的有理插值

本文研究了Newman-α型有理算子逼近|x|~α(1≤α2)收敛速度的问题,取插值结点组为X={x_i=b~i,b=m~(-1/ n~(1/2))}_i~n=1,其中emn.利用基本不等式以及放缩法,获得了逼近阶为3e-αn~(1/2) /logm.     

转换法求|PA|+|PB|最小值

<正>解析几何中有一类求|PA|+|PB|最小值问题,用距离公式直接求解比较复杂,本文介绍两种常见转换方法.经过转换后,再利用"两点间线段最短"或"点到直线垂线段最短"来解决问题.一、动点过直线,对称转换例1动点P在直线l:y=2x-5上,点A(1,2),点B(2,4),求|PA|+|PB|最小值.解B关于直线l的对称点B′(6,2),     

通向面积之桥——|k|

一、重要结论反比例函数y=k/x(k≠0)中的比例系数k有以下几何意义：如图1,过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足分别为M、N,所得矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|     

向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…     

THE EXACT ORDER OF |x-x_k|~s|I_k(x)|~t

In this paper we give the exact order of丨x-x_k丨~丨l_k(x)丨~for any fixed nonnegativeintegers s and t,which is n~(-s),n~(-s)lnn and n~(1-)for s≤t-2,s=t-1 and s≥t,respectively.     

不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|取等号的充要条件

高中数学课本证阴了不等式!。}一}川《1。一卜日《卜!理l划,但没有指出何时才能取得‘“”号,本文指出其‘二’号成立的充要条件,并给出应用. 定理1.不等式la+bl《卜l+lb}(。,b〔R)取‘二”号的充要条件是。b>0. 证明:卜一:一6!二扣}+!乙}令今!。十bl忍二·(卜卜!b!)s令冷,十2}。}lb!十b’二。:+:卜b!+bZ令今:b》0. 用数学归纳法可证明推论:不等式l::十。:十…+口。I《!。:卜卜:卜…+}。。】取‘=”号的充要条件是所有a。a;》o(‘,j=l,2,…,。) 定理2.不等式}口{一}b】《】a+‘}(a,b, ‘刃)取“~’号能充妥系件是口二b=。或一l《b/:‘〔. …     

巧用|m·n|~2≤|m|~2|n|~2简解三类分式型三角函数最值问题

我们知道,根据向量的数量积公式,可以得到向量的一个性质:|m·n|~2≤|m|~2|n|~2.这个性质看起来非常简单,却有着十分广泛的用途.可利用它来解决三类分式型三角函数的最值问题,并且解答过程简洁、明了、快捷、容易理解,便于学生掌握.为了便于表述,在这里把此性质称为命题.     

“|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|”的补注及应用

“|a| - |b|≤ |a±b|≤ |a| + |b|”是高中数学新教材第二册 (上 )第 2 0页的一个重要不等式定理 ,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具 ,课本限于篇幅 ,主要介绍它在证明不等式中的应用 ,而其它方面很少涉及 ,且何时取等号也未指明 ,本文对此加以补充并例谈其应用 .1　定理的补注1)等号成立的条件|a +b| =|a| + |b|当且仅当ab≥ 0 ;|a -b| =|a| + |b|当且仅当ab≤ 0 ;|a| - |b| =|a +b|当且仅当 (a +b)b≤ 0 ;|a| - |b| =|a -b|当且仅当 (a -b)b≥ 0 .2 )不等号成立的条件|a +b| <|a| + |b|当且仅当ab <0 ;|a -b| <|a| + |b|当且仅当ab …     

不等式“|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|”应用例析

不等式“|a|- |b|≤ |a b|≤ |a| |b|[1] ”(以下简称 [1])是高中数学的一个重要知识点 ,考试大纲说明中对此有明确要求 :会应用不等式“|a|- |b|≤ |a b|≤ |a| |b|”.事实上 ,如何有效地、灵活地应用不等式 [1]证明有关综合性代数推理题是高中数学的难点 .以下简述知识要点     

|·■|≤||·|■|的应用

设向量a,b夹角为θ(0°≤θ≤180°),根据向量数量积的定义·■=||·|■| cosθ,易