这样证3~(1/2)是无理数更简捷

《中学生数学》2004年3月上(高中版第3期)给出了~3(1/2)是无理数的证明,但过程繁琐.现给出它的简捷证法. 证明用反证法:假设~3(1/2)是有理数,则可设~3(1/2)=m/n(m∈Z,n∈N )且m,n互质. ∴3=m2/n2(?)m2=3n2, ∴m必为3的倍数,可设m=3k(k∈Z),     

数列{(1+1/n)~n}单调性的证明

本文打算给出数列{(1+1/n)~n}单调性的两个证明,这两种证法都可为中学生掌握。证一:(利用算术——几何平均不等式) 对于(n+1)个正数1,1+1/n,……,1+1/n,易知不全相等,由重要的不等式(a_1+a_2+…+a_n)/n≥(a_1a_2……a_n)~(1/n)(当且仅且a_1=a_2=……=a_n时取等号)可得=n+2/n+1=1+1/n+1 两边(n+1)次方,得     

用a b/2≥(ab)~(1/2)证a b c/3≥(abc)~(1/3)

本刊1987年第二期P39上给出了一种用二元均值不等式证明三元均值不等式的巧妙证法。它与教学参考书中给出的证法,就证明的基本思路来说完全类似(都是通过“添项”,使奇数项的和变为偶数项的和,从而使二元均值不等式的应用成为可能),只不过添凑的项不同而已(一个添加三个正数的几何平均数,另一个添加三个正数的算术平均数)。这种采用“添项”思想的证明方法,技巧性较强,学生难以想到。在下面笔者给出的新的证明中,除了注意到恒等     

完全多部图K_(a_1n_1,a_2n_2,…,a_sn_s)的拉普拉斯谱

研究Laplace整图的存在性问题,通过研究完全多部图K_(a_1n_1,a_2n_2,…a_sn_s)的Laplace特征多项式,得到所有完全多部图K_(a_1n_1,a_2n_2,…a_sn_s)都是拉普拉斯整图.     

∑(a/(b c))~(1/2)<1 2(3~(1/2)/3)的初等证明

本刊文 [1 ]中用导数方法证明了 :在△ ABC中 ,有　　 ∑ ab c<1 2 33 . (1 )本文给出一个初等的证明 .证明　由对称性 ,不妨设 a≥ b≥ c=1 ,易知 a b≥ 2 ,a 相似文献   

連乘積(x+a_1)(x+a_2)…(x+a_n)的一種算法

由實際乘法,自然可展開(x+a_1)(x+a_2)…(x+a_n),下面討論一個計算這種連乘積的公式爲以後叙述簡便計,茲約定: 1) R_K~((O))=1,K=1,2,…,n。 2) 當i≠0時,R_K~((i))代表所有可能的al_1,al_2…al_i;型之項(即共為i個a之積)之和,但須:     

不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)的几种证法

为什么要证明不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)下面通过实例来说明,高中数学第三册P.147.3(4)题:求证1/1~(1/2)+1/2~(1/2)+…+1/n~(1/2)>n~(1/2)(n>1)。我们用数学归纳法来证明。 (1)当n=2时不等式左边=1/1~(1/2)+1/2~(1/2)=(2+2~(1/2))/2右边=2~(1/2)=(2~(1/2)+2~(1/2))/2,显然不等式成立。 (2)假设当n=k(k>1)时不等式成立,     

不等式(x+y)/2≥(xy)~(1/2)的一点应用

众所周知,当a、b为实数时有(a-b)~2≥0,而有a~2+b~2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立。进一步引伸,不难得到: x+y/2≥(xy)~(1/2)≥2/(1/x+1/y) (*) 这里,x>0,y>0,当且仅当x=y时等号成立。不等式(*)有着广泛的运用,在很多书刊上     

根式(A±(B~(1/2)))~(1/n)的化简

本文给出根式■与■及其和、差■与■的化简方法,揭示出化简这类根式与解n次方程的内在联系。设,则u_u~(?)+v~n=2A,uv=(A~2-B)~(1/n)。根据对称式的基本性质(见文[1]),对称式u~n+v~n可用基本对称式(u+v)和(uv)的一个n次多项式表示,即     

min{max|x~n a_1 x~(n-1) a_2 x~(n-2) … a_(n-1) x a_n|}(x∈A)问题

引理1设n∈N,且n≥2则cosnθ=12n-1cosnθ q1·cos(n-2)θ q2·cos(n-4)θ …(1)(其中q1,q2,……均为与n有关的常数)说明:文[1]给出了余弦的n(n≥2,n∈N)次降幂公式:cosnθ=12n-1nk=0Ckncos(n-2k)θ.将上式整理即有:cosnθ=12n-1cosnθ 12n-1C1ncos(n-2)θ 12n-1C2ncos(n-4)θ     

3~(1/2)是无理数的证明

一些同学对无理数的证明很感兴趣,并从不少的资料中也看到了2~(1/2)是无理数的详尽证明。然而又如何去证明3~(1/3)是无理数呢? 证明假设3~(1/3)是有理数,则存在互质数p、q使得3~(1/3)=q/p。两边平方得3=q2/p2,     

不等式∑(a/(b+c))~(1/2)<1+23~(1/2)/3的初等证明

文 [1 ]利用多元函数的偏导数分四种情况证明了 :在△ ABC中 ,若 a,b,c为其边长 ,则有ab+ c+ bc+ a+ ca + b　　 <1 + 2 33 . ( 1 )之后 ,文 [2 ]给出了不等式 ( 1 )的一个初等“证明”,但文 [3]指出 [2 ]的证明是错误的 .本文将给出不等式 ( 1 )的一个初等证明 .引理 1　若正数 x,y满足0 相似文献   

|A B|~(1/n)≥|A|~(1/n) |B|~(1/n)的一个证明

文[1]、[2]用两种方法证明了命题:设A,B是n阶正定矩阵,则有|A B|~(1/n)≥|A|~(1/n) |B|~(1/n)等号成立当且仅当A=kB(k>0)。本文用矩阵迹的概念给出一个不同的证明。我们首先证明下面两个引理。     

用“最小数原理”证明2~(1/2)是无理数

《中学生数学》2004年3月(上)和2004年8 月(上)分别给出了3~(1/2)是无理数的两种证明,开阔 了同学们的视野．本文用最小数原理证明2~(1/2)是无 理数． “在任何一个自然数集合里．必定存在一个 最小的数．”这就是最小数原理． 下面证明2~(1/2)是无理数． 证明 只须证n·2~(1/2)对任何正整数n都不 是整数． 设S是所有使n·2~(1/2)为整数的正整数n的     

an＋1=anq与an＋1／an=q等价吗

在证明等比数列的操作中常会看到这样一种现象:在一定条件下,推得递推公式a_(n 1)=a_nq(q为常数)(1)那么就认为数列{a_n}是等比数列了.为对照说明方便,下面列出等比数列的定义:a_(n 1)/a_n=q(n∈N~*)(2)以下以新教材高中数学第一册(上)参考题三一习题为线索来探讨(1)式与(2)式的等价性问题.     

均值不等式的两个(对称的)简证——《不等式选讲》教学札记

1问题的缘起新教材《不等式选讲》(人教A版选修4—5)介绍均值不等式是分两步进行的,先用数学归纳法证明引理:如果n(n为正整数)个正数a_1,a_2,…,a_n的积a_1a_2…a_n=1,那么它们的和a_1+a_2+…+a_n≥n.(P_(52)例4)再作一个代换(P_(53)探究2)得到.     

y′=(a_0x~n+a_1x~(n-1)y+…+a_ny~n)/(b_0x~n+b_1x~(n-1)y+…+b_ny~n)的积分曲綫的拓扑結构

<正> 設Y_n=a_ox~n+a_1x~(n-1)y+…+a_ny~n,X_n=b_ox~n+b_1x~(n-1)y+…+b_ny~n.其中Y_n,X_n无公因子.微分方程 y′=Y_n/X_n(1)只有一个奇点(0,0).当n=1时,Poincare决定了(1)的积分曲綫的拓扑結构.当n=2时,决定了(1)的积分曲綫的結构.当n=3时,张棣决定了(1)的积分曲綫     

sum from i=1 to ∞(1/(i~2)=(π~2)/6)的一个初等证明

求级数∑∞i=11i2 和的问题是由瑞士数学家伯努力在 1 8世纪 2 0年代首先提出的 ,但他未能解决 ,欧拉将三角函数方程与代数方程进行了大胆的类比 ,猜测结果应该为π26 ,后来人们用傅立叶级数的理论验证了欧拉的猜测 ,并为欧拉的这种大胆类比而惊叹不已 .本文将给出这一问题的初等证明 .引理 1　若 0 相似文献   

(二)用排列组合公式求数列的和

已知m,n∈N,且m相似文献   

对“2~(1/2)不是有理数”证明的延伸

<正>在苏教版数学书选修1-2《推理与证明》一章中,有这样一道例题:证明:2~(1/2)不是有理数.课本给出的证明如下:"证:假设2~(1/2)是有理数,则可设2~(1/2)=q/p,①其中p,q为互素的整数,q>0,将①式的两边平方,变形后得2p~2=q~2,②