Ceva定理与Menelaus定理的逆定理的推广

Ceva定理:O为△ABC内一点,直线AO、BO、CO分别与BC、CA、AB交于D、E、F,则AFFB·BDDC·CEEA=1.注:AF FB是指有向线段AF的数量与有向线段FB的数量之比,下同.其逆定理是:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上一点,若AFFB·BDDC·CEEA=1,则直线AD、BE、CF三线共点.显然,若AFFB·BDDC·CEEA≠1,则直线AD、BE、CF三线     

三角形的Brocard点的两个特征性质

设Ω为△ ABC内一点 ,若∠ BAΩ =∠ CBΩ =∠ ACΩ ω(如图 1 ) ,则称Ω为△ ABC的 Brocard点 ,ω为图 1△ ABC的 Brocard角 .名著 [1 ]记载了三角形的Brocard点与其 Brocard角的一系列性质 .本文旨在揭示三角形的 Brocard点的两个特征性质 .下面的讨论中 ,a、b、c、△分别表示△ ABC的三边长和面积 .定理 1　设 D、E、F分别为△ ABC的三边 BC、CA、AB上的点 ,则 AD、BE、CF三线共点于△ ABC的 Brocard点的充分必要条件是　 BDDC=c2a2 ,CEEA=a2b2 ,AFFB=b2c2 .证明　 (必要性 )设 AD、BE、CF三线共点于△ ABC…     

周界中点三角形的又两个性质

如图1,设D、E、F分别为边BC、CA、AB上的周界中点,且BC=a,CA=b,AB=c,s=a 2b c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为△、R、r,△DEF的面积为△1,则有图1定理条件如前所述,设△ABC与△DEF的三条高线长分别为ha、hb、hc,及ha1、hb1、hc1,则(i)hb2ac1 hca     

两个几何不等式的证明

文[1]中,胡如松先生提出了如下猜想,现予以证明.设△DEF为△ABC内接三角形(如图).并设△ABC的三内角为A,B,C;三边BC=a,CA=b,AB=c;EF=a0,FD=b0,DE=c0.分别设△ABC,△DEF,△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积依次为R,R0,R1,R2,R3;r,r0,r1,r2,r3;P,P0,P1,P2,     

一道三角形周长最小值竞赛题的解法

题目 在△ABC中,∠A=60°,∠C=75°,AB=10,D,E,F分别在AB,BC,CA上,则△DEF的周长的最小值为___．     

四边形的一个性质的推广

题目设D、E、F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则S△DEF=1/4S△ABC.     

一个三线共点命题的推广及简证

《中学数学》2007年第6期P37刊载了如下图1命题D、E、F为△ABC的周界中点,EF、FD、DE三边的中点分别为D1、E1、F1,AD1、BE1、CF1分别交BC、CA、AB于A1、B1、C1,则AA1、BB1、CC1相交于一点Z.本文给出如下推广命题D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点,D1、E1、F1分别是△DEF的边EF、FD、DE上的点,AD1、BE1、CF1分别交BC、CA、AB于A1、B1、C1.如果(BDDC·ECEA·FAFB)·(DFF1E1·EDD1F1·EF1ED1)=1(*),那么AA1、BB1、CC1三线共点.简证SS△△AABCAA11·SS△△AA11ECAA·SS△△FEAAAA11…     

也谈一个定值命题的推广

文 [1]证明了下面的命题 :命题 1　设P1、P2 、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点 ,且AP1=BP2 =CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线 ,则P1、P2 、P3三点到直线l的距离之和为定值 .文 [2 ]用解析法给出上面命题一个简洁证明 ,并将其“推广”为 :命题 2　设P1、P2 、P3分别是△ABC的三边AB、BC、CA上的点 ,且AP1∶P1B =BP2 ∶P2 C =CP3∶P3A =λ ,以△ABC的重心G为圆心 ,定长R为半径作⊙ (G ,R) ,直线l是⊙ (G ,R)的任意一条切线 ,则P1、P2 、P3三点到直线l的距离之和为定值 (3R) .笔者认为 ,命题 2是假…     

一个三角形不等式的加强

文[1]提出并证明了如下: 定理△DEF是△ABC的外角平分线构成的三角形,设BC=a,CA=b,AB=c,△BCD,△ACE,△ABF的内切圆半径分别为rA,rB,rC,则 (a/rA)+(b/rB)+(c/rC)≥6(√3).(1) 笔者要指出的是,不等式(1)可以加强为:     

复平面内任意多边形的面积公式

我们统称可凸可凹的平面多边形为任意多边形,并约定,沿任意多边形A1A2…An的边界行走一圈,如果图形总在行走者的左侧,则称此绕行方向为正向,多边形A1A2…An为正向多边形,正向n边形A1A2…An的面积记为SA1A2…An.文[1]给出了复数形式的正向△ABC的面积公式S△ABC=12Im〔(B-A)(C-A)〕1文[2]给出了复数形式的正向任意四边形ABCD的面积公式SABCD=12Im〔(A B-C-D)(B-D)〕2公式右边的大写字母A,B,C,D等既表示点,也表示这些点所对应的复数(下同).本文将给出复数形式的任意多边形的面积公式.1　两个面积公式的变形上述两个公式分别…