第五届全国大学生数学夏令营数学竞赛试题

<正> 1.xoy 平面上有两个圆C_1:(x-1)~2+(y-1)~2=1,C_2:(x+2)~2+(y+2)~2=4,求作一个在全平面连续,且满足0≤f(x,y)≤1的二元函数,f(x,y),使得,f(x,y)在C_1之内部取值1,在 C_2之内部取值零.2.你能否求出最小正数 k,使得下列不等式成立:     

有趣的数形结合

例 1.求函数y =x - 3-x - 1的值域解 :y =x - 3-x - 1=- 4　 (x 3)2 - 2x　 (- 1 x 3)4　 (x - 1)得　y∈ - 4,4 (如图 )变式 :已知 :a 相似文献   

用变换研究曲线间的位置关系

如果令u=mx,v=nx,则这个线性变换将x-O-y平面上的点P(x,y)变为u-O-v平面上的点Q(u,v),将x-O-y平面上的曲线P(x,y)=0变为u-O-v平面上的曲线Q(u,v)=0.这样的线性变换具有如下性质.1)如果P(x,y)=0为直线,那么Q(u,v)=0仍为直线;2)如果P(x,y)=0为曲线,那么Q(u,v)=0仍为曲线,并且变换     

从一道课本例题开始的研究性学习

在高中数学课本的《圆》这一章节中 ,有这么一道例题 :已知圆C的方程是x2 +y2 =r2 ,求证 :经过圆C上一点M(x1 ,y1 )的切线的方程是x1 x+y1 y=r2 .课本上给出的证明是 :方法一 :当OM与坐标轴都不垂直时 ,设直线OM的斜率为k1 ,切线斜率为k,根据圆的切线性质 ,得k=- 1k1 .因为k1 =y1 x1 ,所以k=- x1 y1 .于是经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是 y-y1 =- x1 y1 (x-x1 ) .经过整理 ,得xx1 +yy1 =r2 .当OM垂直于x轴时 ,经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是x =x1 ;当OM垂直于 y轴时 ,经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是 y=y1 .显然分别是在y1 =0或x1 =0时 ,方…     

与面积有关的反比例函数问题

<正>解决与反比例函数有关问题时,经常要用到反比例函数的面积的不变性,即反比例函数图1y=k x的本质特征,两个变量y与x的乘积是一个常数k,由此不难得到反比例函数的一个重要性质:如图1,过双曲线y=k x(k≠0)上一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得的矩形的面积S=PM·PN=|x||y|=|xy|=|k|.下面举例介绍一些与面积有关的反比例函数问题.图2例1如图2,Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上,斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E,双曲线y=k x(x>0)的图像经过点A,若△BEC的面积为4,则k     

7 直线和圆圆锥曲线

7 1　直线方程和简单的线性规划内容概述1 在平面直角坐标系中 ,常用的直线普通方程形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式Ax+By+C =0五种 ,求直线方程常用待定系数法 .2 过两点 (x1,y1)、(x2 ,y2 ) ,倾斜角为α(α ≠π2 )的直线的斜率可以用斜率公式k =tanα =y2 - y1x2 -x1求得 ,当α=π2 时 ,直线的斜率不存在 .3 若两条直线有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2 :y=k2 x+b2 时 ,则l1∥l2 　 　 k1=k2 ,b1≠b2 ;　l1⊥l2 　 　k1k2 =- 1;若两条直线至少有一条没有斜率时 ,它们的平行、垂直关系都容易根据它们的具体情况进行判断 .4 …     

直线方程x=my+a的重要功能

解析几何中关于直线过x轴上定点(a,0)的问题,一般同学都用常规的点斜式法设直线方程为y=k(x-a).这种设法会使运算较为繁琐,有时还会陷入僵局.例1　已知过定点P(2,0)的直线l交抛物线y2=4x于A、B两点,求△AOB(O为坐标原点)面积的最小值.图1解　设直线y=k(x-2)与抛物线方程y2=4x联立,　　y=k(x-2)y2=4x(1)(2)消去y得k2x2-4(k2 1)x 4k2=0.(3)因为　S△AOB=12|OC|.|AB|,而　|AB|=|x1-x2|k2 1=42k2 1k2k2 1,　　|OC|=|2k|k2 1,(这里运算量很大,中间过程已省略)所以　S△AOB=12.42k2 1k2k2 1.|2k|k2 1=42k2 1|k|=42 1k2→42.我们发现达不…     

与反比例函数有关的面积问题

如图1,过双曲线y=k/x(k≠0)上任意一点P 作x轴、y轴的垂线PA、PB,易证S△POA=S△POB=1/2|y·x|=1/2|k|.这是反比例函数图像的一个重     

用变换研究曲线间的位置关系

如果令u=mx，v=nx，则这个线性变换将x-O-y平面上的点P（x，y）变为u-O-v平面上的点Q（u，v），将x-O-y平面上的曲线P（x，y）=0变为u-O-v平面上的曲线Q（u，v）=0．这样的线性变换具有如下性质．     

2003年第四期初中数学问题解答

一、分解因式 :6x2 -5xy-4y2 -1 1x 2 2y -1 0 .解 :注意到 6x2 -5xy -4y2 =( 2x y) ( 3x -4y) .设 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0=( 2x y k) ( 3x -4y l) ,则 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0=6x2 -5xy -4y2 ( 3k 2l)x ( -4k l)y kl.比较对应项的系数得 :3k 2l=-1 1 ,-4k l=2 2 ,kl=-1 0 .　　解得 k =-5 ,l=2 .于是 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0　 =( 2x y -5 ) ( 3x -4y 2 ) .二、求函数y =|x2 -4|-3x在区间 -2≤x≤ 5中的最大值和最小值 ,并求当y为最大值时的x值 .解 :若x2 -4≥ 0 ,即 |x|≥ 2 ,则　　y=x2 -3x-4=(x-32 ) 2 -2 54.当 |x|≤ 2时 ,　　y=-x2 -3x 4 =-(x 32 ) 2 2 54.从而求得 :当x=-32 时 ,y最大值 =2 54;当x=...