Pell方程组x2-ay2=1和 z2-by2=1的解数

设a,b是不同的正整数,本文证明了当max(a,b)＞10126时,Pell方程组x2-ay2=1和z2-by2=1至多有2组正整数解(x,y,z).     

关于丢番图方程x~2+1=2y~2,x~2-1=2DZ

的解的研究,是一很有意义的问题.当 D=P 是一个奇素数时,Ljunggren 证明了(1)无正整数解(x,y,z).而当 D=2P 时,柯召、孙琦证明了除开 P=3,(x,y,z)-(7,5,2)外无其他的正整数解.作者曾证明,如果方程 u~2-Dv~2=-1有整数解,则(1)无正整数解.本文研究更为一般的 D,顺便给出丢番图方程 x~4-Dy~2=1的几个一般性结果.我们由(1)的第一式可得出     

关于不定方程组x-1=3py^2，x^2＋x＋1=3z^2

设P为素数，利用同余及高次丢番图方程的一些结果证明了不定方程组x-1=3py^2，x^2＋x＋1=3z^2仅有正整数解（p，x，y，z）=（7，22，1，13）。     

关于不定方程组x~2-12y~2=1与y~2-Dz~2=4的解

设p1,…,ps(1≤s≤3)是互异的奇素数,则当D=p_1…p_s,1≤s≤3时,不定方程组x~2-12y~2=1与y~2-Dz~2=4仅有正整数解D=195,(x,y,z)=(97,28,2).     

数学问题解答

20 0 4年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 471　求方程组 x+y =ztz+t =xy的非负整数解 .解　因为方程组中x与y ,z与t可以互换 ,所以可以先求满足 0 ≤x≤y ,0 ≤z≤t的整数解组 (x,y ,z,t) .( 1 )若x、z中有一个为零 ,不妨设x=0 ,则由原方程组消去t得 :y+z2 =0所以y =z=0 ,t= 0 .即 ( 0 ,0 ,0 ,0 )是原方程组求的一组解 .( 2 )若x ,z都不是 0 ,但是有一个为 1 ,设x=1 ,则由原方程组消去y得 :t+z=zt - 1所以 (z- 1 ) (t- 1 ) =2 ,因为z,t为正整数且z≤t,所以z - 1 =1t- 1 =2 得z=2 ,t =3,y=5即 ( 1 ,5 ,2 ,3)是原方程组的一组解 ,同…     

不定方程组{11x~2-9y~2=2,40y~2-11z~2=29}的正整数解的上界

运用Baker方法得到了不定方程组{11x~2-9y~2=2,40y~2-11z~2=29}的正整数解的上界.上界为(x,y,z)=(0.9×2118406,2118406,0.52×2118406).     

关于指数Diophantine方程2~x+p~y=z~2的解的个数的上界估计

设P是一个固定的奇素数.得到了方程2~x+p~y=z~2的所有正整数解(x,y,z)的一个分类.此外,证明了:如果P≡1(mod 4)并且P≠17,那么Diophantine方程2~x+p~y=z~2的全部正整数解(x,y,z)的个数N(p)满足估计N(p)≤4.     

Pell方程组x~2-(c~2-1)y~2=y~2-2p_1p_2p_3z~2=1的公解

设p_1,p_2,p_3为不同的奇素数,c1是整数.给出了Pell方程组x~2-(c~2-1)y~2=y~2-2p_1p_2p_3z~2=1的所有非负整数解(x,y,z),从而推广了Keskin (2017)和Cipu(2018)等人的结果.     

关于Pell方程组X~2-3y~2=1与y~2-Dz~2=1的解

设D=2p_1…P_s(1≤s≤4),P_1…,P_s是互异的奇素数.证明了:Pell方程组x~2-3y~2=1,y~2-Dz~2=1除开D=2×7,2×3×5×7×13外,仅有平凡解(x,y,z)=(±2,±1,0).     

如何求x~2-y~2=c的正整数解

我们知道,x2-y2=c(c为正整数),这是一个二元二次不定方程,如果不考虑别的条件,x、y可以有无数个解.现在我们来研究x、y的正整数解的条件和可能性.设x-y=n(n≥1),则y=x-n,代入原式得x2-y2=c,     

丢番图方程X~2-(a~2+1)Y~4=3-4a

设a≥2是正整数.本文证明了:当a=2时,方程X~2一(a~2+1)Y~4=3-4a仅有正整数解(X,Y)=(20,3);当a=3时,该方程仅有2组互素的正整数解(X,Y)=(1,1)和(79,5);当a≥4且4a+1非平方数时,该方程最多有4组互素的正整数解(X,Y);当a≥4且4a+1为平方数时,该方程最多有5组互素的正整数解(X,Y).     

广义Ramanujan-Nagell方程x~2-D=3~n的解数

设D是不能被3整除的正整数.本文证明了:当D>1012时,如果Pell方程U2-DV2=-1有解(U,V),则方程x2-D=3n至多有2组正整数解(x,n).     

广义Ramanujan-Nagell方程x~2+D~m=p~n的解数

设a是正整数,D=3a2+1,P=4a2+1,其中p是素数.本文证明了:如果a不是4的倍数,则除了当(D,p)=(4,5)时方程x2+Dm=pn恰有3组正整数解(x,m,n)=(1,1,1),(3,2,2),(11,1,3)以外,该方程恰有2组正整数解(x,m,n)=(a,1,1)和(8a3+3a,1,3).     

关于广义Ramanujan-Nagell方程x~2+D=k~n的解数

设D、k是互素的正整数．本文运用初等方法证明了：当D是素数时，方程x2＋D＝kn至多有8组正整数解（x，n）.     

关于指数Diophantine方程$x^3-1=2py^2$

设p是奇素数,本文证明了:当p=48t~2 1,其中t是正整数时,方程x~3-1=2py~2无正整数解(x,y).     

关于指数丢番图方程a~x+b~y=c~z的Terai猜想

本文证明了:当a=|m(m4-10m2+)|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,其 中m是偶数时,如果m≥542,则方程ax+by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).     

椭圆曲线y2=2px(x2+1)上正整数点的个数

设p是奇素数,N(p)是椭圆曲线E:y2=2px(x2+1)的正整数点(x,y)的个数.主要讨论了N(p)的性质,运用初等方法及四次Diophantine方程的性质,对某些特殊素数p,给出了N(p)的上界.证明了当p≡1(mod 8)且p=s2+32t,其中s,t是正整数时,N(p)≤3;当p≡1(mod 8)且p+s...     

Diophantine方程组a~2+b~2=c~r和a~x+b~y=c~z的一点注记

设r是大于1的正奇数,m是正偶数,V(r)+U(r)(-1)~(1/2)=(m+(-1)~(1/2))~r.本文证明了:当a=|V(r)|,b=|U(r)|,c=m~2+1时,如果r≡5(mod8),m>r~2且r<11500或者m>2r/π且r>11500,则方程a~x+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,r).