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1.
20 0 2年全国高中数学联赛试题第 15题 :设二次函数 f(x) =ax2 +bx +c  (a ,b ,c∈R ,a≠ 0 )满足条件 :(1)当x∈R时 ,f(x -4 ) =f(2 -x) ,且f(x)≥x ;(2 )当x∈ (0 ,2 )时 ,f(x)≤ (x + 12 ) 2 ;(3)f(x)在R上的最小值为 0 .求最大的m(m >1) ,使得存在t∈R ,只要x∈ [1,m ] ,就有 f(x +t)≤x .解 f(x -4 ) =f(2 -x) ,∴ 函数 f(x)的图象关于直线x =-1对称 ,∴  -b2a=-1,即b =2a①令 g(x) =(x + 12 ) 2 ,则直线 y =x与抛物线 g(x) =(x + 12 ) 2图 1相切于点A(1,1) .又当x∈…  相似文献   

2.
题 1  ( 2 0 0 2年全国统一高考 (理科 )第2 1题 )设a为实数 ,函数f(x) =x2 + |x -a|+ 1 ,x∈R .1 )讨论函数 f(x)的奇偶性 ;2 )求 f(x)的最小值 .评析 第 1 )问 (答案略 ) ;第 2 )问答案是 :当a≤ - 12 时 ,f(x) 最小 =34-a ;当 - 12 <a <12 时 ,f(x) 最小 =a2 + 1 ;当a≥12 时 ,f(x) 最小 =34+a .下面给出该答案的几何解释 :设 g(x) =x2 + 1 ,h(x) =- |x -a| ,那么 f(x) =g(x) -h(x) ,y =g(x)的图象是开口向上的抛物线 ,y =h(x)的图象是从点A(a ,0 )发出的两条射线 (以下简称“角形线”) …  相似文献   

3.
我们知道 ,综合性命题一般都具有隐含条件 .初看比较困难 ,难以入手 ,若能用心思考 ,认真分析 ,隐含条件一旦发现 ,问题便迎刃而解 ,这里仅举二例 ,供同学们借签 .例 1  (1992年上海高考试题 )已知二次函数 y =f(x)在x =t+ 22 处取得最小值- t24 (t>0 ) ,且 f(1) =0 .1)求 y =f(x)的表达式 ;2 )若对任意实数x都有等式 f(x)·g(x) +anx +bn=xn +1(g(x)为多项式 ,n∈N) ,试用t表示an 和bn.分析与解答 1)由已知条件可知二次函数开口向上 ,故设f(x) =a x - t+ 222 - t24 (a >0 ) .∵ f(1) =0 ,∴ 0 =…  相似文献   

4.
二次函数是高中数学的重要内容之一 ,图象的直观特点常被数学竞赛命题者青睐 .设f(x) =ax2 bx c(a≠ 0 )性质 1 ) 当a>0时 ,f(x)的图象特点是下凸的 ,则有 :f(x1 ) f(x2 ) … f(xn)n≥f(x1 x2 … xnn ) .当a<0时 ,f(x)的图象特点是上凸的 ,则有 :f(x1 ) f(x2 ) … f(xn)n≤f(x1 x2 … xnn ) .性质 2 ) 若f(x) ≥ 0时 ,x∈R恒成立 ,则f(x)的图象开口向上 ,且图像全在x轴上方 (含x轴上 ) ,这等价于a>0△ ≤ 0若f(x) ≤ 0时 ,x∈R恒成立 ,类似有a <0△ ≤ 0性质 3) …  相似文献   

5.
本刊 2 0 0 1年 18期刊出的《解一类“恒成立”问图 1 解答用图题的五种方法》 ,读后很受启发 ,使我增长不少知识 .认真思考后 ,我又得到一种解法 ,请大家指正 .题目 已知当x∈[0 ,1]时 ,f(x) =x2 +ax+ 3-a >0恒成立 ,求a的取值范围 .解 原式即 f(x) =(x - 1)a + (x2 + 3) >0 ,把x看成常数 ,考虑关于a的一次函数 :t(a) =(x - 1)a + (x2 + 3) ,它的图象是直线 ,令斜率k =x - 1,则k∈ [- 1,0 ],又设截距b =x2 +3,有b∈ [3,4 ],作直线系 .t=ka +b ,k∈ [- 1,0 ],b∈ [3,4 ].当x =1,k =0 ,b =4 ,如图 1中…  相似文献   

6.
题 4 3 已知 f(x) =-x3+ax在 (0 ,1)上是增函数 ,1)求实数a的取值范围A ;2 )当a取A中最小值时 ,定义数列 {an}满足a1=b∈ (0 ,1) ,且 2an +1=f(an) ,试比较an 与an +1的大小 .3)在 2 )的条件下 ,问是否存在正实数c ,使得 0<an+can-c<2对于一切n∈N恒成立 ?若存在 ,求出c的取值范围 ,否则说明理由 .解  1)设 0 <x1<x2 <1,则 f(x1) - f(x2 ) =-x31+ax1+x32 -ax2=(x2 -x1) (x21+x1·x2 +x22 -a) .由题意知 f(x1) - f(x2 ) <0且x2 -x1>0 ,∴x21+x1·x2 +x22 -a <0而x21+x1…  相似文献   

7.
20 0 0年第 4 2届IMO的第 2题是 :设a ,b ,c∈R ,且abc =1.求证 :(a - 1 1b) (b - 1 1c) (c - 1 1a)≤ 1( 1)此题是一道陈题的变形 .事实上 ,由abc =1,不妨设a =xy ,b =yz ,c=zx (x ,y ,z∈R )代入 ( 1)式 ,得( xy - 1 zy) ( yz - 1 xz) ( zx - 1 yx)≤ 1 (x z - y) (x y -z) ( y z -x)≤xyz . ( 2 )( 2 )式是 1983年瑞士国际数学竞赛题之一 .关于它的证明较多 .其中最简单的莫过于如下证法 :由 x2 ≥x2 - ( y -z) 2=(x y -z) (z x - y) ,y2 ≥ ( y z -x) (…  相似文献   

8.
函数 f(x) =∑ni=1(aix -bi) 2 =(a1x -b1) 2 + (a2 x -b2 ) 2 +… + (anx -bn) 2 是关于x的二次函数且具有特点 :①二次项系数大于 0 ;②函数值 f(x)≥ 0 .则有其判别式Δ≤0 .某些不等式证明题 ,若能根据已知条件和结论的特点 ,巧构函数 f(x) =∑ni=1(aix -bi) 2 ,从而利用 f(x)≥ 0 ,Δ≤ 0可轻松获解 .例 1 已知a ,b ,c∈R且a + 2b + 3c=6 ,求证 :a2 + 2b2 + 3c2 ≥ 6 .证 构造函数 f(x) =(ax - 1 ) 2 + ( 2·bx - 2 ) 2 + ( 3cx - 3) 2 =(a2 + 2b2 + 3c2 )·x2 - 1 2x + 6…  相似文献   

9.
张荣堂 《数学通报》2002,(11):25-26
函数是高中数学的重点内容之一 ,函数问题的多变体现了函数的特点 .研究函数图象的对称特点 ,对更进一步理解函数的性质是十分重要的 .1 图象关于点对称问题的相关命题定理 奇函数y=f(x) ,x∈R的图象关于原点对称 .(证明见教材 ,略 .)奇函数满足f(-x)= -f(x)可写为f(0 +x) +f(0 -x) =0 ,x∈R .由以上关系式拓展得如下命题 .命题 1 若一个函数y =f(x)对任意x∈R满足f(a -x) +f(a+x) =2b,当且仅当它的图象关于点 (a,b)成对称图形 .证明 设点M(m ,n)为函数f(x)图象上任意一点 ,它关于点 (a ,b)的对称…  相似文献   

10.
例题  (1)已知 |a| <1,|b| <1,求证 :a +b1+ab <1.(2 )设a ,b∈R+ ,且b <2a ,求证 :ab <2 <2a +ba +b .分析 将 (1)中的结论改写为 -1<a +b1+ab<1,与 (2 )中的结论比较易发现 ,两题的结论都具有P <N <M的形式 ,于是我们对两个问题作统一的一般化处理 (构造二次函数证明不等式 ) .设 f(x) =x2 -(M +P)x +M·P =(x -M) (x -P) ,则有P <N <M f(N)<0 ,故要证P <N <M ,只须证 f(N) <0即可 .证明 (1) 令P =-1,M =1,N =a +b1+ab,构造函数 f(x) =x2 -1.∵ f(a +b1+ab) =(a +b…  相似文献   

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