抽象控制不等式的理论基础

用公理化的方法,提出了抽象平均、抽象凸函数和抽象控制等概念,它们分别是平均、凸函数和控制等概念的相应推广．通过逻辑演绎,建立了抽象控制不等式的基本定理：对任意的抽象平均∑和∑＇,以及区间I上任意的抽象∑→∑＇严格上凸函数f（x）,如果xi,yi∈I（i=1,2,…,n）满足（x1,x2….,xn） n^∑（y1,y2…．,yn）,则有∑＇{f（x1）,f（x2）…．,f（xn））≥∑＇{f（y1）,f（y2）…．,f（yn））,它是控制不等式基本定理的延伸和推广．另外通过提出抽象向量平均等概念,将这个基本定理推广到n维空间,建立了抽象向量平均的基本控制不等式：对于任意对称凸集S包含R^n和S上的n元抽象对称∑^-→∑＇严格上凸函数φ（x^-）,如果x^-,y^-∈S满足x^- n^∑,则有φ（x^-）≥φ（y^-）;如果向量组xi^-,yi^-∈S（i=1,2…．,m）满足{x1^-,x2^-…．,xm^-} n^∑{y1^-,y2^-,．．．,ym^-）,则有∑＇{φ（x1^-）,φ（x2^-）,…．,φ（xm^-）}≥∑＇{φ（y1^-）,φ（y2^-）,…,φ（ym^-）}．     

用符号刻划多变量加细函数向量的精度

假定ｆ（ｘ）＝（ｆ１（ｘ）,…,ｆｒ（ｘ））Ｔ,ｘ∈Ｒｄ是一个满足矩阵加细方程ｆ（ｘ）＝的向量函数,其中Ａ是Ｚｄ中的有限集,ｃｋ是ｒ×ｒ,矩阵．由小波分析的多尺度分析方法可知,加细向量ｆ的性质需要由符号叫ｍ（ξ）来反映．本文,我们给出了用符号来刻划多变量加细向量ｆ具有Ｐ阶精度的充分必要条件．     

多小波采样定理的拓展

采样定理在数字信号通讯中发挥了十分重要的作用,因为信号通常由它的离散采样数据来恢复.Han Bin等人在[J.Comput.Appl.Math.,2009,227:254-270]中构造了广义插值加细函数向量.本文研究与广义插值加细函数向量有关的采样定理的拓展问题.具体而言,对于已知的广义插值d-加细函数向量φ=(φ_1,…,φ_r)~T,即φe(m/r+k)=δ_kδ_(e-1-m),k∈Z,m=0,1,…,r-1,e=1,…,r我们将构造一组函数{φ_(r+1),…,φ_(dr)},使得φ~ロ=(φ~T,φ_(r+1),…,φ_(dr))~T也是d-加细的,而且满足φ_e(m/(dr)+k)=δ_kδ_(θ_(d,r(e)-m))k∈Z,m=0,1,…,dr-1,e=r+1,…,dr,其中θ_(d,r(e))=e-r+R_(e-1-r,d-1),R_(e-1-r,d-1)=「(e-1-r)/(d-1)」.我们建立与φ~■有关的采样定理.显然,φ的多小波子空间采样定理的适用范围得到了拓展.给出φ~■的多小波子空间采样级数的截断误差估计.     

Meyer型正交小波基的构造与性质

本文基于多分辨分析理论与A．W．W方法将Meyer正交小波的构造规范化,给出其设计方法,并证明此类Meyer型小波母函数ψ（x)及相应的尺度函数ψ(x)具有优良的性质,如速降性O（│x│^-N-1(│x│→∞）、N阶消失矩、线性相位、对称性、频谱有限性、并且双尺度序列（滤波器）hn=ψ（n/2）等,并给出N＝2时构造小波函的具体实例。     

具有多项式衰减面具的向量细分格式

具有多项式衰减面具的向量细分方程在刻画小波Riesz基和双正交小波等方面有着重要作用.本文主要研究这类方程解的性质.向量的细分方程具有形式：Ф=∑α∈Zsa（α）（2·-α）,其中Ф=（Ф1,...,Фr）T是定义在Rs上的向量函数,a：=（a（α））α∈Zs是一个具有多项式衰减的r×r矩阵序列称为面具.关于面具a定义一个作用在（Lp（Rs））r上的线性算子Qa,Qaf：=∑α∈Zsa（α）f（2·α）.迭代格式（Qanf）n=1,2,...称为向量细分格式或向量细分算法.本文证明如果具有多项式衰减面具的向量细分格式在（L2（Rs））r中收敛,那么其收敛的极限函数将自动具有多项式衰减.另外,给出了当迭代的初始函数满足一定的条件时的向量细分格式的收敛阶.     

紧支撑正交插值的多小波和多尺度函数

本文给出一类伸缩因子为α的紧支撑正交插值多尺度函数和多小波的构造方法.设{Vj}是尺度函数Φ(x)=[φ1(x),φ2(x),…,φa(x)]T生成的多分辨分析,Vj(?)L2(R)是{a-j/2φ(?)(ajx-k),k∈Z,(?)=1,2,…,a)线性扩张构成的子空间,其插值性是指φ1(x),φ2(x),…,φa(x)满足φj(k+(?)/a)=δk,0δj,e,j,(?)∈{1,2,…,a).当Φ(x)是正交插值的,则多分辨分析的分解或重构系数能用采样点表示而不需要用计算内积的方法产生.基于此,我们建立多小波采样定理,即如果一个连续信号f(x)∈VN,则f(x)=∑i=0a-1∑k∈Zf(k/aN+i/aN+1)φi+1(aNx-k),并给出对应多小波的显式构造公式.更进一步,证明了本文构造的多小波也有插值性.最后,还给出一个构造算例.     

高维紧支撑正交对称的小波

基于仿酉矩阵的对称扩充方法,该文提出了一种尺度因子为3的紧支撑高维正交对称小波构造算法.即设φ(x)∈L~2(R~d)是尺度因子为3的紧支撑d维正交对称尺度函数,P(ξ)是它的两尺度符号,p_(0,v)(ξ)为P(ξ)的相位符号.首先提出一种向量的对称正交变换,应用对称正交变换对3~d维向量(p_(0,v)(ξ))_v,v∈E_d的分量进行对称化.通过仿酉矩阵的对称扩充,给出了3~d-1个紧支撑高维正交对称小波构造.这种方法构造的小波支撑不超过尺度函数的支撑.最后给出一个构造算例.     

具有高逼近阶和正则性的双向加细函数和双向小波

引入了双向加细函数和双向小波的概念,并研究双向加细方程 的分布解(或L²稳定解)的存在性, 其中整数m≥2. 基于正向面具{p_k⁺} 和 负向面具{p_k^-} , 建立了确保双向加细方程具有紧支撑分布解或L²稳定解所需要的条件. 更进一步地, 给出了双向加细方程的L²稳定解能产生一个MRA所需要的条件. 充分讨论了φ(x) 的支撑区间. 给出正交双向加细函数和双向小波的定义, 建立了双向加细函数的正交准则. 给出一类正交双向加细函数和正交双向小波 的构造算法. 另外,也给出了具有非负面具的、高逼近阶和正则性的双向加细函数的构造算法. 最后,构造了两个算例.     

对一道习题的思考

从相关习题出发，借助夹逼定理可证明：lim n→∞（b1a^n1＋b2a^n2＋…＋bma6n m）1/n=max{a1,a2,…,am}；设函数φ（x）,f（x）在[a,b]上都是正连续函数，则有lim n→∞{∫^b aφ（x）[f（x）]^n dx}^1/n=max a≤x≤b{f（x）}     

小波树逼近及其应用

利用“构造性贪婪算法(CGS)”构造目标函数的小波树逼近. 首先定义了一个函数类, 对此函数类中的每个函数, 由CGS生成的分片多项式逼近都具有给定的收敛阶. 其次通过研究所定义函数类的嵌入性质讨论了该函数类和其他已知函数空间的关系. 在小波树逼近领域, 给出了使小波树逼近达到最优收敛阶的一个充分条件. 最后证明, 如果树结构是用CGS生成的, 则相应的小波树逼近具有最优收敛阶.