Going-down pairs of commutative rings

Résumé  D'après D. E. Dobbs, Houston J. Math. 23 (1997), 1–11, nous disons que l'anneau (commutatif)A est un anneau-“going-down” siA/P est un domaine-“going-down” pour chaque idéal premier deA. Etant donné une extension,R⊆T, nous disons que (R, T) est une paire d'anneaux-“going-down” (respectivement, une paire “going-down”) siS est un anneau-“going-down” pour chaque anneau tels queR⊆S⊆T (resp., si “going-down” est satisfait par chaque extension d'anneauxA⊆B tels queR⊆A⊆B⊆T). On montre que siR est un anneau de la dimension 0 (au sens de Krull), alors (R, T) est une paire d'anneaux-“going-down” si et seulement sitr.deg. _R/(P∩R) T/P≤1 pour chaque idéal premier minimalP deT. Des résultats partiels sont obtenus quandR n'est pas de dimension 0. En outre, si (R, T) est une paire d'anneaux-“going-down” tel queT ait un seul idéal premier minimal, alors (R, T) est une paire “going-down”. Des résultats dans l'esprit ci-dessus sont également obtenus pour quelques autres types de paires.

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This paper is taken from the author's doctoral dissertation of May 2000, written under the direction of Professor David E. Dobbs of the University of Tennessee, Knoxville.     

Extensions of commutative rings in which trees of prime ideals contract to trees

Résumé  Une extensionA⊂B des anneaux (commutatifs) satisfait à la propriété si tout arbre dans Spec(B) couvre un arbre dans Spec(A). Il est possible qu'une extension entière d'un anneau Noethérien ne satisfait pas à . SiA⊂B soit unei-extension satisfaisante à soit “going-up” soit “going-down”, alorsA⊂B satisfait à . Cependant, une extension d'anneaux satisfaisante à “going-up”, “going-down”, et peut être nonunibranche dans hauteur >1. Un anneau intègreA a le spectre d'un arbre si et seulement siA⊂B satisfait àP pour tout anneau intègreB contenantA (resp., suranneau de BézoutB deA). De plus, si un anneau intègreA n'ait pas de spectre d'un arbre mais soit localement de dimension finie, (par exemple, tout anneau intègre Noethérien de dimension au moins 2), alors il existe un suranneau de BézoutB deA et un arbre saturé dans Spec(B) de sorte que card=4 et l'image de à l'égard de la flèche canonique Spec(B)→Spec(A) est un ensemble saturé tel que card =3 mais n'est pas d'arbre. On donne également des caractérisations associées des classes desi-domaines et des ai-domaines.      

Lifting chains of prime ideals to paravaluation rings

Résumé  SoitR ⊂T une extension des anneaux commutatifs et soit {P _α :α ∈I} une cha?ne croissante des idéaux premiers deR (I étant un ensemble totalement ordonné, peut-être infini). Alors il existe un anneau de paravaluationV deT et une cha?ne {Q _α} des idéaux premiers deV de sorte queR ⊂V etQ _α ∩R =P _α pour toutα ∈I. Tout d’abord, on établit le cas spécial dans lequelT est un corps; dans ce cas, on trouve en effet un tel anneau de valuationV deT. Ensuite, l’assertion ci-dessus pour le cas général découle comme conséquence. Dans le cas général, on peut aussi remplacer le mot “paravaluation” avec le mot “valuation” siR est un anneau de Marot etT est son anneau total de fractions.      

On chain morphisms of commutative rings

Résumé  On dit qu’un homomorphismef :A →B d’anneaux commutatifs est un morphisme de cha?ne (resp., den-cha?ne pour un entiern ≥ 1) si toute cha?ne d’idéaux premiers (resp., d’au plusn idéaux premiers) deA se relève en une cha?ne d’idéaux premiers deB. Sif est un morphisme den-cha?ne, alorsf n’est pas forcément un morphisme de (n + 1)-cha?ne, même siA etB sont des anneaux intègres, doncf n’est pas un morphisme de cha?ne. Sif est un morphisme den-cha?ne pour toutn, alorsf est un morphisme de cha?ne. Un morphisme de cha?ne n’est pas forcément un morphisme de cha?ne universel. Pour tout entiern ≥ 2,f est universellement un morphisme den-cha?ne si et seulement sif est universellement un morphisme de cha?ne. Un morphisme qui est universellement de cha?ne et universellement incomparable n’est pas nécessairement entier, même siA etB sont des anneaux intègres de dimension 1 (au sens de Krull).      

Fragmented domains have infinite Krull dimension

Résumé  On dit qu'un anneau intègreR est fragmenté si pour tout élément non-inversibler deR, il existe un élément non-inversibles deR tel que r∈∩Rs ⁿ. On montre, pour un anneau intègreR qui n'est pas un corps, qu'il existe un idéal maximal deR qui contient une cha?ne strictement croissante d'idéaux premiers deR. Si, de plus,R n'ax qu'un nombre fini d'idéaux maximaux, alors on peut reformuler l'affirmation précédente pour tout idéal maximal deR. Il découle que toute anneau intègreR, qui n'est pas un corps et qui possède un idéal premierP tel queR+PR _p soit fragmenté, doit être de dimension infinie (au sens de Krull). On donne un exemple d'un tel anneauR qui n'est pas fragmenté.      

Anneaux noethériens de hilbert

Résumé Soit D un anneau intègre noethérien. On etudie le radical hilbertien de D (ensemble des èlèménts f tels que D_f est un anneau de Hilbert) et on donne des conditions pour que D tout un anneau de Hilbert, en relation avec son radical dimensionnel. Enfin, on caracterise les anneaux de Hilbert par diverses conditions de chaine. On montre en particulier que D est un anneau de Hilbert si et seulement si, pour tout ideal premier 𝔅 de D[X], de trace 𝔭 dans D, la cohauteur de p dans D est majoree par celle de 𝔅 dans D[X].     

Sur les anneaux hereditaires ou semi-hereditaires

Les anneaux considérés sont unitaires ; on entend par idéal d'un anneaú A un idéal bilatère de cet anneau. On utilisera les notations l et r ou, plus précisement l _A et r_A,pour désigner les annulateurs à gauche au à draite pris dans l'anneau A.

On dira qu’un A-module à gauche, au à draite, M est semihéréditaire (resp. héréditaire) si tout sous-A-module de type fini (resp. quelconque) de M est projectif.     

Some magnetohydrodynamics of a thin body in perpendicular fields

Résumé Dans cet article, on considère le mouvement d'un fluide compressible non visqueux dans un champ magnétique perpendiculaire, en présence d'un corps cylindrique dont la section dans le planx 0y forme un profil mince. La conductivité électrique est infinie. Les forces qui agissent sur le corps ont été calculées.Les équations magnéto-hydrodynamiques sont du type hyperbolique pourB ²<0 et du type hyperliptique pourB ²>0, avecB ² étant défini parB ²A ²+M ²–A ² M ² tandis queA etM représentant respectivement les nombres Alfvén et Mach. On démontre qu'il y a une discontinuité infinie dans les forces qui agissent sur le corps pour quelques valeurs deA etM, à moins qu'on ne transfère la condition Kutta du bord de fuite au bord d'attaque du corps.On démontre également que siB ² est négatif et tend vers zéro, les forces développent une discontinuité infinie, mais que siB ² est positif et tend vers zéro, les forces sont finies pour toutes les valeurs finies deA.     

Type des orbites périodiques des flots associés à des lagrangiens optiques homogènes

Résumé. Soit L : T M → ℝ un lagrangien optique et homogène dans la fibre défini sur le fibré tangent d’une variété orientable de dimension n et γ un lacet régulier 1-périodique qui est un point critique non dégénéré d’indice p de l’action lagrangienne associée à L (il lui correspond alors un point périodique (x, v) du flot d’Euler-Lagrange (φ_t )). Soit T une transversale en (x, v) au champ de vecteurs dans la surface d’énergie et P l’application de premier retour de Poincaré dans cette transversale; on montre alors que le nombre de Lefschetz pour P en (x, v) est (−1)^n−1+p. On en déduit que si 2n_h est le nombre de multiplicateurs de Floquet réels strictement positifs et non nuls, alors: n_h = n − 1 + p (mod 2). On explique comment déduire qu’un lagrangien optique quelconque défini sur le fibré tangent d’une variété orientable compacte de dimension paire de π₁ non trivial a une une orbite périodique qui est soit dégénérée, soit a un exposant de Floquet hyperbolique dans tout niveau d’énergie au dessus du niveau critique de Ma?é.      

A field-theoretic invariant for domains

SoientR ?T des anneaux intègres. D’après Dobbs-Mullins, on pose Λ(T/R) ? sup{λ(k _Q (T)/k _Q∩R (R)) |Q ∈ Spec(T)} où, pour des corpsK?L,λ(L/K) est la longueur maximale d’une chaîne de corps contenus entreK etL. On introduitσ(R):=sup{Λ(T/R)|T est un suranneau deR\. On détermineσ(R) siR′, la clôture intégrale deR, est un anneau de Prüfer et également siR est un anneau de pseudo-valuation. On considère le cas oùσ(R)=1, en particulier siR′ est une extension minimale deR. Plusieurs calculs sont facilités par un résultat sur les carrés cartésiens, et il y a des exemples divers.     

Germes d’ensembles analytiques dans une hypersurface algébrique

Résumé Dans ce papier, nous nous intéressons au problème suivant : soit a _N une suite de points d’une hypersurface algèbrique convergeant vers a∈H ; supposons que pour tout N, il existe un germe de disque holomorphe en a _N , γ _N , contenu dans H. Alors, d’après des résultats classiques (voir [5] et [6]) le point a n’est pas un point de 1-type fini et donc, il existe un germe de disque holomorphe en a vivant dans H (voir [5]). Dans ce qui suit, nous proposons une méthode effective pour reconstruire, à partir de la suite a _N et des γ _N , un germe d’ensemble analytique en a contenu dans H.     

Sur les anneaux tels que tout produit de copies d'un module quasi-injectif soit un module quasi injectif. — II

Résumé On étudie dans cet article les anneaux noethériens commutatifs tels que tout produit de copies d'un module quasi injectif soit un module quasi-injectif, un tel anneau est produit fini d'anneaux locaux vérifiant certaines propriétés. On étudie également des anneaux noethériens commutatifs un peu plus généraux: les C1-anneaux, qui sont caractérisés comme étant des produits finis d'anneaux locaux A_i,1≤i≤n tels que tout idéal ′ du complété R(A_i)-adique ?_i de A_i vérifie ′ = ( ′∩A_i)?_i. On donne des exemples de tels anneaux. Entrata in Redazione il 12 febbraio 1975.     

Connexions affines et projectives sur les surfaces complexes compactes

Soit (S, ∇) une surface complexe compacte connexe munie d’une connexion affine holomorphe sans torsion. Nous démontrons que ∇ est localement modelée sur une connexion affine invariante par translations sur C ² (en particulier, ∇ est localement homogène), sauf si S est un fibré elliptique principal au-dessus d’une surface de genre g ≥ 2, de premier nombre de Betti impair et ∇ est une connexion affine holomorphe sans torsion générique sur S, auquel cas l’algèbre de Lie des champs de Killing locaux est de dimension un, engendrée par le champ fondamental de la fibration principale. Nous en déduisons que toute connexion projective holomorphe normale sur une surface complexe compacte est plate.     

Calcul Fonctionnel Holomorphe en Dimension Infinie dans une Algebre de Banach Quotient

L. Waelbroeck a montré dans [10] que le calcul fonctionnel holomorphe de plusieurs variables dans une algèbre de BanachA se généralisait à une algèbre de Banach quotientA|α (i.e:α un idéal de Banach deA tel que l’injectionα→A soit continue) et que c’est dans ce cadre qu’il est naturel et a de nombreuses applications. Dans [13], [1] et [4] les auteurs ont construit des calculs fonctionnels holomorphes en dimension infinie dans une algèbre de Banach. Nous étendons ici leurs calculs au cas d’une algèbre de Banach quotient ainsi que le théorème d’Arens-Calderon.      

Sur le problème de Plateau pour un quadrilatère variable qui peut acquérir un point double

Résumé Soit Γ un quadrilatère variable, dont deux c?tés opposés A₂A₃, A₁A₄ sont dans les plans x₃=c, x₃=−c. Quand c tend vers0, Γ tend vers un quadrilatèreΓ ⁰ présentant un point double, A⁰. Le travail étudie la représentation conforme sur le demi-plan R(ix)<0 (ou sur le cercle - unité) de la surface minimale ∑ passant par Γ. Il montre (§ I) que si les affixes x de A₁, A₂, A₄ sont 0, 1, ∞, l'affixe de A₃ sera ɛ⁻², où ɛ tend vers 0 avec c. Il étudie (§ II) l'allure pour ɛ tendant vers 0 des intégrales canoniques de l'équation linéaire du problème. La forme de la relation entre ɛ et c est indiquée au n^o 19; on montre que dans la région de striction ɛ |x| reste borné et que la surface ∑ y est assimilable à une surface minimale simple: la surface de vis à filet carré. La représentation conforme de l'une des deux régions de ∑ qui tendent à se séparer l'une de l'autre tend à envahir tout le demi-plan (ou tout le cercle-unité). Les représentations conformes de ∑ pour c>0 et c<0 ne sont pas analytiquement distinctes (n⁰ 20). A titre d'exemple, on étudie (n⁰ 21) le cas où ∑ possède un axe de symétrie. A M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique     

Sur le spectre du laplacien d’une métrique invariante à gauche sur un groupe de Lie

On montre que le spectre du laplacien d’une métrique invariante à gauche sur un groupe de Lie non compact, unimodulaire, est un intervalle [σ, ∞] avec, éventuellement, des valeurs propres de multiplicité infinies. Dans certains cas particuliers, on montre aussi qu’il est absolument continu; en général l’intervalle [σ, ∞] est le spectre essentiel. Cette étude a débuté pour la première fois avec le travail Furutani et al. (Commun Part Differ Equ 18, 1993).     

Invariants de classes : exemples de non-annulation en dimension supérieure

The so-called class-invariant homomorphism ψ measures the Galois module structure of torsors—under a finite flat group scheme G—which lie in the image of a coboundary map associated to an isogeny between (Néron models of) abelian varieties with kernel G. When the varieties are elliptic curves with semi-stable reduction and the order of G is coprime to 6, it is known that the homomorphism ψ vanishes on torsion points. In this paper, using Weil restrictions of elliptic curves, we give the construction, for any prime number p > 2, of an abelian variety A of dimension p endowed with an isogeny (with kernel μ _p ) whose coboundary map is surjective. In the case when A has rank zero and the p-part of the Picard group of the base is non-trivial, we obtain examples where ψ does not vanish on torsion points.

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Résumé  Le class-invariant homomorphism permet de mesurer la structure galoisienne des torseurs—sous un schéma en groupes fini et plat G—qui sont dans l’image du cobord associé à une isogénie, de noyau G, entre des (modèles de Néron de) variétés abéliennes. Quand les variétés sont des courbes elliptiques à réduction semi-stable et que l’ordre de G est premier à 6, on sait que cet homomorphisme s’annule sur les points de torsion. Dans cet article, en nous servant de restrictions de Weil de courbes elliptiques, nous construisons, pour tout nombre premier p > 2, une variété abélienne A de dimension p munie d’une isogénie (de noyau μ _p ) dont le cobord est surjectif. Si A est de rang nul, et si la p-partie du groupe de Picard de la base est non triviale, nous obtenons ainsi un exemple où le class-invariant homomorphism ne s’annule pas sur les points de torsion.

     

Mesure invariante pour l’équation stochastique d’un modéle de compétition limitée entre des espéces avec une diffusion spatiale

On considére l’équation stochastique decrivant un systéme den espéces avec une perturbation stochastique du type environnemental et une diffusion dans un territoire de chaque espéce. On suppose la compétition avec un effet limité entre le espéces différentes, tandis que l’effet logistique pour chaque espéce est supposé quadratique. Sous une condition convenable pour les coefficients, on démontre l’existence d’une mesure invariante pour cette équation stochastique, oú la densité de population de chaque espéce est presque surement positive.      

Dimension de Krull,Nullstellensätze et évaluation dynamique

Résumé. Nous démontrons un Nullstellensatz qui établit une équivalence entre l'existence d'une identité algébrique d'un certain type, d'une part, et l'impossibilité de trouver une suite croissante de variétés irréductibles répondant à certaines contraintes d'autre part. De ce point de vue le Nullstellensatz usuel correspond au cas des variétés réduites à un point. Nous établissons aussi un Nullstellensatz formel du même type, en relation avec les suites croissantes d'idéaux premiers. Un cas particulier important est donné par la notion de suite pseudo régulière, plus générale que la notion de suite régulière. Nous obtenons de cette manière une nouvelle caractérisation de la dimension de Krull d'un anneau : un anneau a une dimension de Krull si et seulement si il existe une suite pseudo régulière de longueur dans l'anneau. Dans les cas où ces résultats peuvent avoir une signification constructive précise, nos preuves y aboutissent constructivement. Nous pensons avoir donné ainsi quelques éléments en vue d'une interprétation constructive de la théorie de la dimension de Krull des anneaux commutatifs. Notre méthode utilise la notion de structure algébrique dynamique introduite dans des articles précédents. Received: 4 October 1999; in final form: 11 October 2000 / Published online: 25 June 2001