代数特征值反问题Hermite情形可解的充分条件

１　引言及主要结果 本论文将要讨论如下问题［２,４］： 问题ＨＧ给定ｎ＋１个Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ和Ａｋ＝Ｓ和ｎ个实数　,求个实数ｃ１,…,ｃｎ,使得Ａ（ｃ）＝ ．的特征值为 对于上述问题,有解的充分条件已有许多研究结果,如［２,４,６］．下面将利用Ｂｒｏｕｗｅｒ不动点定理给出新的充分条件． 本文的符号和定义如下： 对任意ｎ阶Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ｂ＝（ｂｉｊ）,记Ｂ（０）＝Ｂ－ｄｉａｇ（ｂ１１,ｂ２２,…,ｂｎｎ）,ρ（Ｂ）表示Ｂ的谱半径, ｛λ（Ｂ）｝表示Ｂ的特征值（谱）集合,且设　表…     

厄米特矩阵的迹的几点性质

应用矩阵Ａ＝（ａｉｊ）∈Ｃｎ×ｎ的弗罗伯尼范数ＡＦ和谱范数ＡＳ，研究厄米特矩阵的迹的性质，得到几个结论：Ｔｒ（ＡＢ）＝∑ｎｉ＝１λｉ∑ｎｊ＝１ｔｉｊμｊ（λｉ，μｊ分别为Ａ，Ｂ的特征值，０≤ｔｉｊ≤１，且∑ｎｉ＝１ｔｉｊ＝１，ｊ＝１，２，…，ｎ）；Ｔｒ（ＡＢ）≤Ｔｒ（Ａ）ＢＳ；Ｔｒ（ＡＢ）Ｈ（ＡＢ）］≤Ｔｒ（ＡＨＡ）［ｍａｘ１≤ｉ≤ｎλｉ］２（λｉ是Ｂ的特征值）等．     

矩阵方程AX + XB=0求解初探

一、矩阵方程ＡＸ＋ＸＢ＝０解的判定命题＝设Ａ、Ｂ均为ｎ阶方阵,则矩阵方程ＡＸ＋ＸＢ＝０（＊）与矩阵方程Ｑ·Ｙ＝０等价;其中ＹＴ＝（ｘ１１,ｘ１２,…,ｘ１ｎ,ｘ２１,…,ｘ２ｎ,,ｘｎ１,ｘｎｎ）证明设Ａ＝（ａｉｊ）,Ｂ＝（ｂｉｊ）,Ｘ＝（ｘｉｊ）均为ｎ阶方务,则（＊）式等价于由矩阵相等关系知（＊＊）等价于下列ｎ组线性方程组现在就第（１’）式进行讨论,将（１’）展开为用矩阵表示为（ａ１１Ｅ＋ＢＴａ１２Ｅａ１３Ｅ…ａ１ｎＥ）Ｙ＝０（１’）其中ＹＴ＝（ｘ１１ｘ１２…ｘ１ｎ,ｘ２１…ｘ２ｎ…ｘｎ１…ｘ…     

一类矩阵的Drazin逆

本文得到了一类环上矩阵Ｄｒａｚｉｎ逆的一个定理：设Ｎ表有单位元环Ｒ中零元、可逆元集合与Ｒ的中心Ｚ（Ｒ）的交集，Ｍ表Ｒ的子域与Ｚ（Ｒ）的交集，Ａ∈Ｒｎ×ｎ．若ｆ（λ）＝ｃλｋ（１－λｑ（λ））是Ａ的化零多项式，其中ｑ（λ）的系数属于Ｎ，且ｃ∈Ｎ，则Ａ的Ｄｒａｚｉｎ逆存在，且Ｘ＝Ａｋ［ｑ（Ａ）］ｋ＋１是Ａ的唯一的一个Ｄｒａｚｉｎ逆．     

关于《矩阵正定性的进一步推广》一文的注记

关于《矩阵正定性的进一步推广》一文的注记黎奇升（湖南吉首大学数学系，吉首４１６０００）文［１］给出了下面定义并讨论了它们的一些性质．定义　设Ａ∈Ｒ￣（ｎ×ｎ），若对任何０≠Ｘ∈Ｒ￣（ｎ×１），都有正定矩阵Ｓ＝Ｓｘ，使Ｘ￣ＴＳｘＡＸ＞０，则称Ａ为广义正...     

A Probe Method of Gradient Projection Type

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＷｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍ：（Ｐ）　　ｍｉｎｘ∈Ｘｆ（ｘ）（１）ｗｈｅｒｅＸ＝｛ｘ｜ｘ∈Ｅｎ,ｇｊ（ｘ）≤０,ｊ＝１,２,…,ｍ;ｇｊ（ｘ）＝０,ｊ＝ｍ＋１,…,ｍ＋ｌ｝,ｌｅｔＩ＝｛１,２,…,ｍ｝,Ｌ＝｛ｍ＋１,…,ｍ＋ｌ｝．Ｆｏｒｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍ（Ｐ）ｗｉｔｈＬ＝,ｍａｎｙｅｆｆｉｃｉｅｎｔｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｔｙｐｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ［１－１１］ｈａｖｅｂｅｅｎｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｉｎ［１２］,…     

1996年普通高等学校招生全国统一考试试题

１９９６年普通高等学校招生全国统一考试试题数学（理工农医类）１选择题（第１－１０题每小题４分，第１１－１５题每小题５分，共６５分）（１）已知全集Ｉ＝Ｎ，集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ＝２ｎ，ｎ∈Ｎ｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＝４ｎ，ｎ∈Ｎ｝．则（２）当ａ＞１时，在同一坐标系中...     

P.Turan问题XXXV的一个注记

本文给出了有关Ｐ．Ｔｕｒａｎ问题ＸＸＸＶ［关于逼过论的某些未解决的问题，Ｊ．Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，１９８０，２９（１）：２３－８５］的一个结果。设ｒｉｎ（ｘ）为（０，２）插值的第一类基函数，其插值节点为（１－ｘ）Ｐｎ＇（ｘ）之零点而Ｐｎ（ｘ）为ｎ次Ｌｅｇｅｎｄｒｅ多项式。那么ｍａｘ－１≤ｘ≤１∑ｉ＝１ｎ│ｒｉｎ（ｘ）│＝Ｏ（ｎ＾５／２ｌｎｎ）．但对ｆ＾＊＝ｘ＾２却有ｌｉｍ↓ｎ→     

多目标优化中的简化定理及其应用

１ 引言 设Ｘ是实的Ｂａｎａｃｈ空间,Ｓ 　 Ｘ是闭子集． 考虑下述多目标优化问题：其中ｆｋ,ｋ∈Ｎ≡｛１,…,ｎ｝,ｇｉ,ｉ∈Ｍ≡｛１,…,ｍ｝,ｈｉ,ｊ∈Ｐ≡｛１,…,ｐ｝均是定义在某开集（包含Ｓ）上的局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数． 集合Ｓ０＝｛ｘ∈Ｓ：ｇｉ（ｘ）≤０,ｉ∈Ｍ,,ｈｉ（ｘ）＝０,ｊ∈Ｐ｝称为（ＶＰ）的可行解集．（ＶＰ）的局部有效解和局部弱有效解的定义见［２］．设φ：Ｘ→Ｒ是局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数,则　φ（ｘ）称为φ在ｘ处的Ｃｌａｒｋｅ广义梯度［３］． 关于非光滑多目标优化问题（Ｖ…     

关于Jacobi矩阵逆特征值问题的扰动分析

１预备 若不特别说明,本文沿用［６］中记号． Ｈｏｃｈｓｔａｄｔ于１９６７年提出如下问题［１］： 问题Ⅰ　给定两组实数｛λ｝ｎｊ＝１＝１和｛μ｝ｎ＝１ｉ＝１,满足构造一个ｎ阶实对称三对角矩阵Ｊｎ,使得λ１,…λｎ为人的特征值,而Ｊｎ－１阶顺序主子阵的特征值为μ１,…,μｎ－１． 问题Ⅱ　给定一组实数｛λｊ｝ｎｊ＝１,满足构造一个ｎ阶全对称三对角矩阵Ｊｎ（ｓ）,使得Ｊｎ（ｓ）的特征值为λ１,λ２,…λｎ． ｄｅ Ｂｏｏｒ和Ｇｏｌｕｂ［４］提出如下问题： 问题Ⅲ　给定两组实数满足构造ｎ阶实对称三对角矩阵Ｊ…     

一类反对称正交反对称矩阵逆特征值问题

设P为一给定的对称正交矩阵,记AARnP={A∈Rn×n‖AT=-A,(PA)T=-PA}.讨论了下列问题:问题给定X∈Cn×m,Λ=diag(λ1,λ2,…,λm).求A∈AARPn使AX=XΛ.问题设A~∈Rn×n,求A*∈SE使‖A~-A*‖=infA∈SE‖A~-A‖,其中SE为问题的解集合,‖.‖表示Frobenius范数.研究了AARPn中元素的通式,给出了问题解的一般表达式,证明了问题存在唯一逼近解A*,且得到了此解的具体表达式.     

矩阵方程AX=B的双反对称最佳逼近解

本文主要讨论下而两个问题并得到相关结果:问题Ⅰ:给定A ∈ R~(k×n),B ∈ R~(k×n),求X ∈ BASR~(n×n),使得AX=B.问题Ⅱ:给定X* ∈R~(n×n),求X使得‖X-X~*‖=minX∈S_E‖X-X~*‖,其中S_E是问题Ⅰ的解集合,‖·‖是Frobenius范数.通过对上述问题的讨论给出了问题Ⅰ解存在的充分必要条件和其解的一般表达式同时给出了问题Ⅱ的解,算法,和数值例子.     

一类线性流形上矩阵方程X^TAX=B的反问题

设Ω={A∈ASR^nxn｜Ax=C，↓Ax∈RT（S），SS^＋C=0，T2^TC2=-C2^TT2，C2T2^＋72=C2}，考虑问题Ⅰ：给定X∈R^nxm，B∈R^mxm求A∈Ω，使得f（A）=｜｜X^TAX—B｜｜=min；问题Ⅱ：给定A^＋∈R^nxm，求A∈SE，使得｜｜A^＋-A｜｜=minA∈SE｜｜A^＋-A｜｜，SE是问题Ⅰ的解集。本文给出了问题Ⅰ、Ⅱ的解的通式，并给出了问题Ikf（A）=0成立的充分必要条件。     

Hermitian非自反矩阵的两类反问题

记J为一广义反射矩阵,HAJn×n为关于J的n阶Hermitian非自反矩阵的集合.本文考虑如下两个问题:问题Ⅰ给定X,B∈n×m,求A∈HAJn×n,使得‖AX-B‖=min.问题Ⅱ给定X∈n×m,B∈n×n,求A∈HAJn×n,使得XHAX=B.首先利用奇异值分解讨论问题Ⅰ的解的通式,然后利用广义奇异值分解得到了问题Ⅱ有解的充分必要条件和解的通式,最后给出问题Ⅰ和Ⅱ的逼近解的具体表达式.     

COMPUTING THE NEAREST BISYMMETRIC POSITIVE SEMIDEFINITE MATRIX UNDER THE SPECTRAL RESTRICTION

Let A and C denote real n × n matrices. Given real n-vectors x1, ... ,xm, m ≤ n, and a set of numbers L = {λ1,λ2,... ,λm}. We describe (I) the set (?) of all real n × n bisymmetric positive seidefinite matrices A such that Axi is the "best" approximate to λixi, i = 1,2,...,m in Frobenius norm and (II) the Y in set (?) which minimize Frobenius norm of ||C - Y||.An existence theorem of the solutions for Problem I and Problem II is given and the general expression of solutions for Problem I is derived. Some sufficient conditions under which Problem I and Problem II have an explicit solution is provided. A numerical algorithm of the solution for Problem II has been presented.     

对称正交反对称矩阵反问题

设P为一给定的对称正交矩阵, 记SAR\+n\-P={A∈R\+\{n×n\}|A\+T=A,(PA)\+T=-PA}. 该文考虑下列问题问题Ⅰ〓给定X∈R\+\{n×m, Λ=diag(λ\-1,λ\-2,…, λ\-m)∈R\+\{m×m\}, 求A∈SAR\+n\-P使AX=XΛ,问题Ⅱ〓给定X,B∈R\+\{n×m, 求A∈SAR\+n\-P使  ‖AX-B‖=min.问题Ⅲ设[AKA～]∈R\+\{n×n\},求A\+*∈S\-E使 ‖[AKA～]-A\+*‖=inf[DD(X]A∈S\-E[DD)]‖[AKA～]-A‖, 其中S\-E为问题Ⅱ的解集合, ‖·‖表示Frobenius范数.该文得到了问题Ⅰ有解的充要条件及解集合的表达式, 给出了解集合S\-E的通式和逼近解A\+*的具体表达式.     

关于四元数矩阵的最佳逼近问题

通过使用四元数矩阵的广义奇异值分解,给出了四元数矩阵最佳逼近问题‖AHXA-C‖2F+‖BHXB-D‖2F=min, s.t. XH=X的一般表达式.     

线性流形上双对称阵逆特征值问题

１．引言 令Ｒ表示所有ｎ×ｍ阶实对称阵集合,Ｒ＝Ｒ,Ｒ表示Ｒ中秩为ｒ的子集; ＯＲ是ｎ阶正交阵之集; Ａ＋表示Ａ的Ｍｏｏｒｓ－ｐｅｎｒｏｓｅ广义逆;Ｉｋ表示ｋ阶单位阵; ＳＲ表示 ｎ×ｎ表示ｎ阶实对称阵的全体; Ｒ（Ａ）表示 Ａ的列空间; Ｎ（Ａ）表示 Ａ的零空间; ｒａｎｋ（Ａ）表示 Ａ的秩,对 Ａ＝（ａｉｊ）, Ｂ＝（ｂｉｊ） Ｒ, Ａ＊ Ｂ表示 Ａ与 Ｂ的 Ｈａｄａｍａｒｄ乘积,其定义为 Ａ＊ Ｂ＝（ａｉｊ　ｂｉｊ）,并且定义 Ａ与 Ｂ的内积为（Ａ,Ｂ）＝ｔ,（ＢＡ）,由此内积导出的范数为（Ａ,Ａ）＝（ｔ,（Ａ…     

线性流形上Hermite-广义反Hamilton矩阵反问题的最小二乘解

1.引言 令Rn×m表示所有n×m实矩阵集合,Cn×m表示所有n×m复矩阵集合,Cn=Cn×1,HCn×n表示所有n阶Hermite矩阵集合,UCn×n表示所有n阶酉矩阵集合,AHCn×n表示所有n阶反Hermite矩阵集合,R(A)表示A的列空间,N(A)表示A的零空间,A+表示A的Moore—Penrose广义逆,A*B表示A与B的Hadamard积,rank(A)表示矩阵A的秩.tr(A)表示矩阵A的迹.矩阵A,B的内积定义为(A,B)=tr(BHA),A,B∈Cn×m,由此内积诱导的范数为||A||=√(A,A)=[tr(AHA)]1/2,则此范数为Frobenius范数,并且Cn×m构成一个完备的内积空间,In表示n阶单位阵,i=√-1,记OASRn×n表示n×n阶正交反对称矩阵的全体,即     

A Class of Constrained Inverse Eigenproblem and Associated Approximation Problem for Symmetric Reflexive Matrices

Let S∈Rn×n be a symmetric and nontrival involution matrix. We say that A∈E R n×n is a symmetric reflexive matrix if AT = A and SAS = A. Let S R r n×n(S)={A|A= AT,A = SAS, A∈Rn×n}. This paper discusses the following two problems. The first one is as follows. Given Z∈Rn×m (m < n),∧= diag(λ1,...,λm)∈Rm×m, andα,β∈R withα<β. Find a subset (?)(Z,∧,α,β) of SRrn×n(S) such that AZ = Z∧holds for any A∈(?)(Z,∧,α,β) and the remaining eigenvaluesλm 1 ,...,λn of A are located in the interval [α,β], Moreover, for a given B∈Rn×n, the second problem is to find AB∈(?)(Z,∧,α,β) such that where ||.|| is the Frobenius norm. Using the properties of symmetric reflexive matrices, the two problems are essentially decomposed into the same kind of subproblems for two real symmetric matrices with smaller dimensions, and then the expressions of the general solution for the two problems are derived.