Uniformly maldistributed sequences in a strict sense

It is shown that the following three limits

Properties of kagi and renko moments for homogeneous diffusion processes

For a homogeneous diffusion process (X _t ) _t?0, we consider problems related to the distribution of the stopping times $\begin{gathered} \gamma _{\max } = \inf \{ t \geqslant 0:\mathop {\sup }\limits_{s \leqslant t} X_s - X_t \geqslant H\} ,\gamma _{\min } = \inf \{ t \geqslant 0:X_t - \mathop {\inf }\limits_{s \leqslant t} X_s \geqslant H\} , \hfill \\ \kappa _0 = \inf \{ t \geqslant 0:\mathop {\sup }\limits_{s \leqslant t} X_s - \mathop {\inf }\limits_{s \leqslant t} X_s \geqslant H\} . \hfill \\ \end{gathered} $ . The results obtained are used to construct an inductive procedure allowing us to find the distribution of the increments of the process X between two adjacent kagi and renko instants of time.     

Some Tauberian conditions for Cesàro summability method

Let u = (u _n ) be a sequence of real numbers whose generator sequence is Cesàro summable to a finite number. We prove that (u _n ) is slowly oscillating if the sequence of Cesàro means of (ω _n ^(m−1)(u)) is increasing and the following two conditions are hold:

Limit theorems in approximation theory

В РАБОтЕ ОпРЕДЕлЕНы У слОВИь, ОБЕспЕЧИВАУЩ ИЕ ВыпОлНЕНИЕ сООтНОшЕ НИИ ВИДА $$\begin{array}{*{20}c} {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } E(h_n ,B_n ,F_n ) = E(f,B,F),} \\ {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop {\sup }\limits_{h_n \in K_n } E(h_n ,B_n ,F_n ) = \mathop {\sup }\limits_{f \in K} E(f,B,F),} \\ \end{array}$$ гДЕE(g, H, M) — НАИлУЧшЕЕ пРИ БлИжЕНИЕ ЁлЕМЕНтАg ЁлЕМЕНтАМИ ИжH В МЕтР ИкЕ НОРМИРОВАННОгО пРОстРАНстВАM, K _n ,K — НЕк ОтОРыЕ МНОжЕстВА ЁлЕ МЕНтОВ. с пОМОЩьУ ЁтИх РАВЕНс тВ пОлУЧЕНы ВсЕ ИжВЕс тНыЕ пРЕДЕльНыЕ тЕОРЕМы Д ль НАИлУЧшИх пРИБлИжЕНИИ ФУНкцИИ АлгЕБРАИЧЕскИМИ И тРИгОНОМЕтРИЧЕскИМ И МНОгОЧлЕНАМИ И сплА ИНАМИ, А тАкжЕ ДОкАжАН РьД НО Вых РЕжУльтАтОВ. В ЧАс тНОстИ, пОлУЧЕНы пРЕДЕльНыЕ сООтНОшЕНИь МЕжДУ тОЧНыМИ ВЕРхНИ МИ гРАНьМИ НАИлУЧшИх пРИБлИжЕНИИ НА МНОгОМЕРНых клАсс Ах гЕльДЕРА.     

On best approximation of functions of two variables

$\mathop {\lim \sup }\limits_{r \to \infty } \frac{{E_{n_i ,m_i } (f)_L }}{{[E_{n_i ,\infty } (f)_L + E_{\infty ,m_i } (f)_L ]ln\{ 2 + min(n_i ,m_i )\} }}\underset{\raise0.3em\hbox{$\mathop {\lim \sup }\limits_{r \to \infty } \frac{{E_{n_i ,m_i } (f)_L }}{{[E_{n_i ,\infty } (f)_L + E_{\infty ,m_i } (f)_L ]ln\{ 2 + min(n_i ,m_i )\} }}\underset{\raise0.3em\hbox{     

HOW BIG ARE THE LAG INCREMENTS OF A 2-PARAMETER WIENER PROCESS? (II)

The author investigated how big the lag increments of a 2-parameter Wiener process is in [1]. In this paper the limit inferior results for the lag increments are discussed and the same results as the Wiener process are obtained. For example, if $\[\mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \{ \log T/{a_T} + \log (\log {b_T}/a_T^{1/2} + 1)\} /\log \log T = r,0 \leqslant r \leqslant \infty \] $ then $\[\mathop {\lim }\limits_{\overline {T \to \infty } } \mathop {\sup }\limits_{{a_T} \leqslant t \leqslant T} \mathop {\sup }\limits_{t \leqslant s \leqslant T} \mathop {\sup }\limits_{R \in L_s^*(t)} |W(R)|/d(T,t) = {\alpha _r},a.s.,\] $ $\[\mathop {\lim }\limits_{\overline {T \to \infty } } \mathop {\sup }\limits_{{a_T} \leqslant t \leqslant T} \mathop {\sup }\limits_{R \in {{\tilde L}_T}(t)} |W(R)|/d(T,t) = {\alpha _r},a.s.,\] $ where $\alpha _r=(r/(r+1))^{1/2}$, $L*_s(t)$ and $\tider L_T(t)$ are the sets of rectangles which satisfy some conditions. Moreover, the limit inferior results of another class of lag increments are discussed.     

A class of inequalities for non-negative sequences

В работе для неотрица тельных последовате льностей (...,a _?1 ⁱ ), aa ₀ ⁱ ),a ₁ ⁱ ), ...), удовлетв оряющих условию \(0< \mathop {\sup }\limits_k a_k^{(i)}< \infty\) (i=1,...,т), доказ а но неравенство (1) $$\begin{gathered} \mathop \sum \limits_{k = - \infty }^\infty \mathop {\sup }\limits_{k \leqq k_1 + \ldots + k_m \leqq k + l} (a_{k_1 }^{(1)} \ldots a_{k_m }^{(m)} ) \geqq \hfill \\ \geqq \mathop \prod \limits_{i = 1}^m (\mathop {\sup }\limits_{ - \infty< k< \infty } a_k^{(i)} )\left[ {\mathop \sum \limits_{i = 1}^m \frac{{\mathop \sum \limits_{k = - \infty }^\infty (a_k^{(i)} )^{p_i } }}{{(\mathop {\sup }\limits_{ - \infty< k< \infty } a_k^{(i)} )^{p_i } }} + l - m + 1} \right], \hfill \\ \end{gathered}$$ гдеl произвольное не отрицательное целое число, 1≦p ₁, ...,p _m ≦∞ и \(\mathop \sum \limits_{i = 1}^m p_i^{ - 1} = 1\) . Это неравенство явля ется обобщением и уто чнением неравенств А. Прекопа, Ш. Данча и Л. Лейндлера. Доказано также, что ес ли все последователь ности содержат только коне чное число ненулевых членов, то н еобходимым условием для равенства в (1) является существование такого числа α>0, чтоa _k( ⁱ )=а илиa _k( ⁱ )=0 для всехi=1,...,m;?∞<k<∞.     

Асимптотические рав енства для интеграло в от модуля суммы кратн ого ряда из синусов

Assume that the coefficients of the series $$\mathop \sum \limits_{k \in N^m } a_k \mathop \Pi \limits_{i = 1}^m \sin k_i x_i $$ satisfy the following conditions: a) a_k → 0 for k₁ + k₂ + ...+k_m →∞, b) \(\delta _{B,G}^M (a) = \mathop {\mathop \sum \limits_{k_i = 1}^\infty }\limits_{i \in B} \mathop {\mathop \sum \limits_{k_j = 2}^\infty }\limits_{j \in G} \mathop {\mathop \sum \limits_{k_v = 0}^\infty }\limits_{v \in M\backslash (B \cup G)} \mathop \Pi \limits_{i \in B} \frac{1}{{k_i }}|\mathop \sum \limits_{I_j = 1}^{[k_j /2]} (\nabla _{l_G }^G (\Delta _1^{M\backslash B} a_k ))\mathop \Pi \limits_{j \in G} l_j^{ - 1} |< \infty ,\) for ∨B?M, ∨G?M,B∩G, where M={1,2, ...,m}, $$\begin{gathered} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta _1^j a_k = a_k - a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_{j + 1} } ,\Delta _1^B a_k = \Delta _1^{B\backslash \{ j\} } (\Delta _1^j a_k ), \hfill \\ \Delta _{l_j }^j a_k = a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_j - l_j } - a_{k_{M\backslash \{ j\} } ,k_j + l_j } ,\nabla _{l_G }^G a_k = \nabla _{l_{G\backslash \{ j\} } }^{G\backslash \{ j\} } (\nabla _{l_j }^j a_k ). \hfill \\ \end{gathered} $$ Then for all n∈N^m the following asymptotic equation is valid: $$\mathop \smallint \limits_{{\rm T}_{\pi /(2n + 1)}^m } |\mathop \sum \limits_{k \in N^m } a_k \mathop \Pi \limits_{i \in M} \sin k_i x_i |dx = \mathop \sum \limits_{k = 1}^n \left| {a_k } \right|\mathop \Pi \limits_{i \in M} k^{ - 1} + O(\mathop {\mathop \sum \limits_{B,{\mathbf{ }}G \subset M} }\limits_{B \ne M} \delta _{B,G}^M (a)).$$ Here \(T_{\pi /(2n + 1)}^m = \left\{ {x = (x1,x2,...,xm):\pi /(2n + 1) \leqq xi \leqq \pi ;i = \overline {1,m} } \right\}\) . In the one-dimensional case such an equation was proved by S. A. Teljakovskii.     

Dichotomy laws for the behaviour near the unit element of group representations

A well known “zero-two law" shows that if is a strongly continuous one-parameter group of bounded operators on a Banach space X, and if then Here we discuss analogous problems for general unital representations θ of a topological group G on a unital Banach algebra A. Let 1 be the unit of G, and I the unit element of A. We show that either or if, moreover, θ admits “continuous division by any positive integer”, then, either or Our argument also gives automatic continuity results for representations of abelian Baire groups on a separable Banach algebra and representations of compact non abelian groups on a Banach algebra which are locally bounded and satisfy Received: 8 June 2005; revised: 13 October 2005     

On <Emphasis Type="Italic">T</Emphasis> points of algebroid functions

In this paper, we firstly give a new definition, namely, the T point of algebroid functions. Then by using Ahlfors’ theory of covering surfaces, we prove the existence of these points for any ν-valued algebroid functions in the unit disk satisfying $\mathop {\lim \sup }\limits_{r \to 1^ - } \frac{{T(r,w)}} {{\log \tfrac{1} {{1 - r}}}} = + \infty $\mathop {\lim \sup }\limits_{r \to 1^ - } \frac{{T(r,w)}} {{\log \tfrac{1} {{1 - r}}}} = + \infty . This extends the recent results of Xuan, Wu and Sun.     

Analytic solution of vector model kinetic equations with constant kernel and their applications

Exact solutions are obtained for the first time for the half-space boundary-value problem for the vector model kinetic equations

Evaluation of the limits of maximal means

It is proved that the limit $$\mathop {\lim }\limits_{\Delta \to \infty } \mathop {\sup }\limits_\gamma \tfrac{1}{\Delta }\int_0^\Delta {f(\gamma (t))dt} $$ , wheref: ? → ? is a locally integrable (in the sense of Lebesgue) function with zero mean and the supremum is taken over all solutions of the generalized differential equation γ ∈ [ω1, ω2], coincides with the limit $$\mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \mathop {\sup }\limits_{c \geqslant 0} \varphi _f (k,{\mathbf{ }}T,{\mathbf{ }}c)$$ , where $$\varphi _f = \frac{{(k - 1)\bar I_f (T,c)}}{{1 + (k - 1)\bar \lambda _f (T,c)}},k = \frac{{\omega _2 }}{{\omega _1 }}$$ . Here ¯λf = λf /T, ¯ I_f =If/T, and λf is the Lebesgue measure of the set $$\{ \gamma \in [\gamma _0 ,\gamma _0 + T]:f(\gamma ) \geqslant c\} = A_f ,I_f = \int_{A_f } {f(\gamma )d\gamma } $$ . It is established that this limit always exists for almost-periodic functionsf.     

On moments of the maximum of partial sums of moving average processes under dependence assumptions

Let {Y i;∞ < i < ∞} be a doubly infinite sequence of identically distributed-mixing random variables and let {a i;∞ < i < ∞} be an absolutely summable sequence of real numbers.In this paper we study the moments of sup(1 ≤ r < 2,p > 0) under the conditions of some moments.     

A conjecture of Erdős and Reddy and the rational approximation of Mittag-Leffler type functions

Пусть \(f(z) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k z^k ,a_0 \ne 0, a_k \geqq 0 (k \geqq 0)\) — целая функци я,π _n — класс обыкновен ных алгебраических мног очленов степени не вы ше \(n,a \lambda _n (f) = \mathop {\inf }\limits_{p \in \pi _n } \mathop {\sup }\limits_{x \geqq 0} |1/f(x) - 1/p(x)|\) . П. Эрдеш и А. Редди высказали пр едположение, что еслиf(z) имеет порядок ?ε(0, ∞) и $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (f)< 1, TO \mathop {\lim inf}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (f) > 0$$ В данной статье показ ано, что для целой функ ции $$E_\omega (z) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty \frac{{z^n }}{{\Gamma (1 + n\omega (n))}}$$ , где выполняется $$\lambda _n^{1/n} (E_\omega ) \leqq \exp \left\{ { - \frac{{\omega (n)}}{{e + 1}}} \right\}$$ , т.е. $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (E_\omega ) \leqq \exp \left\{ { - \frac{1}{{\rho (e + 1)}}} \right\}< 1, a \mathop {\lim inf}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (E_\omega ) = 0$$ . ФункцияE _ω (z) имеет порядок ?.     

Optimal methods for the approximate calculation of functional on classesW r L ∞

Пусть T_n(f)={L₁(f), ..., L_n(f)} — набор линейных функционал ов, заданных на простран стве \(C_{(r - 1)} (\parallel f\parallel _{C_{(r - 1)} } = \mathop {\max }\limits_{0 \leqq i \leqq r - 1} \parallel f^{(i)} \parallel _C );A_{n,r}\) — множество всех так их наборов функцио налов; С_{2n, 2} — множество всех н аборов из 2n функциона лов вида $$T_{2n} (f) = \{ f(x_1 ), \ldots ,f(x_n ),f'(x_1 ), \ldots ,f'(x_n )\}$$ и s: Е_n→Е₁. Доказано, что е слиW _∞ ^r множество всех 2π-периодических функ цийfεW∞0, 2π_r, то приr=1,2,3,... ирε(1, ∞) и $$\begin{gathered} \mathop {\inf }\limits_{T_{2n} \in A_{2n,r} } \parallel \mathop {\inf }\limits_s \mathop {\sup }\limits_{f \in W_\infty ^r } |f( \cdot ) - s(T_{2n} ,f, \cdot )|\parallel _p = \parallel \varphi _{n,r} \parallel _p \hfill \\ \mathop {\inf }\limits_{T_{2n} \in C_{2n,2} } \parallel \mathop {\inf }\limits_s \mathop {\sup }\limits_{f \in W_\infty ^r } |f( \cdot ) - s(T_{2n} ,f, \cdot )|\parallel _p = \parallel \parallel \varphi _{n,r} \parallel _\infty - \varphi _{n,r} \parallel _p , \hfill \\ \end{gathered}$$ где ?_n,r —r-й периодичес кий интеграл, в средне м равный нулю на периоде, от фун кции ?_n, 0t=sign sinnt. При этом указан ы оптимальные методы приближенного вычис ления.     

Precise asymptotics in Chung’s law of the iterated logarithm

Let X, X1, X2,... be i.i.d, random variables with mean zero and positive, finite variance σ^2, and set Sn = X1 ＋... ＋ Xn, n≥1. The author proves that, if EX^2I{｜X｜≥t} = 0（（log log t）^-1） as t→∞, then for any a〉-1 and b〉 -1,lim ε↑1/√1＋a（1/√1＋a-ε）b＋1 ∑n=1^∞（logn）^a（loglogn）^b/nP{max κ≤n｜Sκ｜≤√σ^2π^2n/8loglogn（ε＋an）}=4/π（1/2（1＋a）^3/2）^b＋1 Г（b＋1）,whenever an = o（1/log log n）. The author obtains the sufficient and necessary conditions for this kind of results to hold.     

CONSTRUCTIVE PROPERTIES OF A KIND OF UNIFORMLY ALMOST PERIODIC FUNCTIONS

In this paper,we have discussed constructive properties of a kind of uniformly almost periodic functions, of which the sequence of its Fourier exponents has unique limit point at infinity. \[\begin{gathered} f(x) \sim \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{A_k}} {e^{i{\Lambda _k}x}} \hfill \ {\Lambda _0} = \alpha ,0 < \alpha \leqslant {\Lambda _k} < {\Lambda _{k + 1}}(k = 0,1,2,...) \hfill \ \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {\Lambda _k} = \infty ,{\Lambda _k} = - {\Lambda _k} \hfill \ |{\Lambda _k}| + |{\Lambda _{ - k}}| > 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (k \ne 0) \hfill \\ \end{gathered} \] Analogons to the approximation theory of periodic functioiis, we get some theorems similar to the Jackson theorem, Bernstein theorem and Zygmund theorem of periodio functions.     

Un critère sur les petites boules dans le théorème limite central

We show that a Banach space valued random variableX such that t} \right\} = 0$$ " align="middle" border="0"> satisfies the central limit theorem if and only if the following criterion on small balls is fulfilled:

An asymptotic method for calculating limits of maximal means

For a continuous almost periodic function , we show that the function

On the convergence rate of the partial sums of positive entire Dirichlet series

Пусть Λ=(λ_n) — возрастаю щая к+∞ последователь ность неотрицательных чис ел, λ₀=0, а S₊(Λ) — класс абсолют но сходящихся в С рядо в Дирихле вида $$F\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k \exp \left\{ {z\lambda _k } \right\},$$ где a₀=1 и a_k>0 (k∈N). Положим $$\begin{gathered} S_n \left( z \right) = \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty a_k \exp \left\{ {z\lambda _k } \right\}, \hfill \\ \sigma _n \left( F \right) = \max \left\{ {\frac{1}{{S_n \left( x \right)}} - \frac{1}{{F\left( x \right)}}:x \in R} \right\}. \hfill \\ \end{gathered} $$ Доказано, что для того, чтобы для любой функц ии F∈S₊(Λ) выполнялось равенст во $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\ln n}}\ln \frac{1}{{\sigma _n \left( F \right)}} = + \infty ,$$ необходимо и достато чно, чтобы $$\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \frac{1}{{n\lambda _n }}< + \infty .$$ Аналогичные результ ы получены для различ ных подклассов классаS ₊ (Λ), определяемых условиями на убывани е коэффициентова _n.