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设 x、y、z∈ R ,证明 :y2 - x2z x z2 - y2x y x2 - z2y z ≥ 0 .此题就是著名的 W .Janoux猜想 ,最初发表在加拿大《数学难题》杂志 ,他本人没给出证明 .我国《中等数学》转载后引起关注 ,并给出了若干证法 ,但多数较烦 .下面给出一个简明 .证明 ∵ x、y、z∈ R ,∴ y2 - x2z x z2 - y2x y x2 - z2y z =y2 - x2z x (x - y) z2 - y2x y (y - z) x2 - z2y z (z - x) =(y - x) (y - z)z x (z - y) (z - x)x y (x - z) (x - y)y z .但 (y - x) (y - z)z x (z - y) (z- x)x y =(y- z) [(y- x) (y… 相似文献
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众所周知(x y)(y z)(z x)=xy(x y) yz(y z) zx(z x) 2xyz=x2y xy2 y2z yz2 z2x zx2 2xyz (*)这是一个十分重要的代数恒等式,由(*)立即得到(x y)(y z)(z x)=(x y z)(xy yz zx)-xyz(1)(x y)(y z)(z x)=x(y z)2 y(z x)2 z(x y)2-4xyz(2)(x y)(y z)(z x)(x y z)=xy(x y)2 yz(y z)2 zx(z x)2 4xyz(x y z)(3)(x y)(y z)(z x)(xy yz zx)=x2y2(x y) y2z2(y z) z2x2(z x) 2xyz(x y z)2(4)……(*)及(1),(2),(3),(4)……在证明关于三角形不等式方面有极其广泛的应用.这是因为:图1任一三角形总有内切圆(图1),总可以作变换a=y z,b=z x,c=x y(x,y,z∈R )… 相似文献
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李林 《Annals of Differential Equations》1997,(3)
1IntroductionandConclllsionIntheplallalrPolynomialdifferentialsystem$~p.(x,y) of(x,y)=X(x,y),Z~q.(x,Y) '()(x,y)~I'(x,y)(l)wherep.(x,y),q.(x,y)arehomogenouspolynomialsinigyofthedegreen>1,(x,y)ER',withq:(x,7/) p:(x,y)/0,andof(x,y),,of(x,]j)arepolynomialinx,… 相似文献
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全微分方程的不定积分解法及其证明 总被引:1,自引:0,他引:1
0 引言一个一阶微分方程写成P( x,y) dx +Q( x,y) dy =0 ( 1 )形式后 ,如果它的左端恰好是某一个函数 u=u( x,y)的全微分 :du( x,y) =P( x,y) dx +Q( x,y) dy那么方程 ( 1 )就叫做全微分方程。这里 u x=P( x,y) , u y=Q( x,y)方程 ( 1 )就是 du( x,y) =0 ,其通解为 :u( x,y) =C ( C为常数 )可见 ,解全微分方程的关键在于求原函数 u( x,y)。因此 ,本文将提供一种求原函数 u( x,y)的简捷方法 ,并给出证明。1 引入记号为了表述方便 ,先引入记号如下 :设 M( x,y)为一个含有变量 x,y项的二元函数 ,定义 :( 1 )“M( x,y)”表示 M(… 相似文献
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设函数 f ( t)在 [a,b]上连续 ,对任意 x,y∈ [a,b],x≠ y,定义Φ( x,y) =1x -y∫xyf ( t) dt则下面结果成立 :( 1 )若 f( t)是关于 t的单调不减函数 ,则 Φ( x,y)是关于 x和 y的单调不减函数 ;( 2 )若 f″( t)≥ 0 ,则 2 Φ x2 ≥ 0 , 2 Φ x y= 2 Φ y x≥ 0 , 2 Φ y2 ≥ 0 证明 ( 1 ) Φ x=( x -y) f ( x) -∫xyf ( t) dt( x -y) 2 =f ( x) -f (ξ)x -y ≥ 0 ,ξ∈ [x,y]或ξ∈ [y,x]由 x,y的对称性知 Φ y≥ 0 ,因此 Φ( x,y)是关于 x和 y的单调不减函数。( 2 ) 2Φ x2 =( x -y) 2 f′( x) -2 ( x -y) f ( x) +2 ∫xyf ( t) d… 相似文献
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设函数 y=f ( x)的反函数存在 ,且 f′( x)≠ 0 ,则其反函数 x=f- 1( y) (或记 x=φ( y) ,此处φ=f- 1)的导数也存在。在同一坐标系中函数与其反函数的图象是同一条曲线 ,如下图。关于函数 y=f ( x)在点 x处的导数 f′( x) ,其几何意义是曲线 y=f( x)在点 ( x,y)处的切线 l关于 x轴的斜率 ,从而有 dydx= f′( x) =tanα,其中α是切线 l与 x轴正向的夹角 ,同时记切线与 y轴正向夹角为 β。关于函数 x=f- 1( y) ( x=φ( y) ) ,在相应点 y处的导数为 φ′( y) ,其几何意义是曲线 x=f- 1( y) ( x=φ( y) )在点 ( x,y)处的切线 l,关于 y轴正向的… 相似文献
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文 [1]提出如下猜想 :设λ≥ 1,x,y,z >0 ,则xλx +y+yλy +z+zλz +x ≤ 3λ+1(1)文 [2 ]用导数证明了 (1)式 ,本文给出简明的初等证明 .证明 由已知得 xλx +y,yλy +z,zλz +x三式中必有两个同时不大于 (或不小于 ) 1λ +1,不妨设为 xλx +y 和yλy +z.于是有(xλx +y - 1λ +1) (yλy +z -1λ+1)≥ 0即 xλx +y+yλy +z≤(1+λ) xy(λx +y) (λy +z) +1λ +1(2 )由柯西不等式有(λx +y) (λy +z)≥ (λ xy +yz) 2 .代入 (2 )得 xλx +y +yλy +z ≤(λ+1) xλ x +z +1λ+1(3)又 (λz +x) (λ+1)≥ (λ z +x ) 2(4)于是 ,由 (3)、(… 相似文献