不定方程组{11x~2-9y~2=2,40y~2-11z~2=29}的正整数解的上界

运用Baker方法得到了不定方程组{11x~2-9y~2=2,40y~2-11z~2=29}的正整数解的上界.上界为(x,y,z)=(0.9×2118406,2118406,0.52×2118406).     

关于不定方程组x~2-12y~2=1与y~2-Dz~2=4的解

设p1,…,ps(1≤s≤3)是互异的奇素数,则当D=p_1…p_s,1≤s≤3时,不定方程组x~2-12y~2=1与y~2-Dz~2=4仅有正整数解D=195,(x,y,z)=(97,28,2).     

关于Pell方程组X~2-3y~2=1与y~2-Dz~2=1的解

设D=2p_1…P_s(1≤s≤4),P_1…,P_s是互异的奇素数.证明了:Pell方程组x~2-3y~2=1,y~2-Dz~2=1除开D=2×7,2×3×5×7×13外,仅有平凡解(x,y,z)=(±2,±1,0).     

关于不定方程组x~2-96y~2=1与y~2-2~qz~2=25的公解

设q∈Z~+,则不定方程x~2-96y~2=1与y~2-2~qz~2=25有且仅有平凡公解(x,y,z)=(±49,±5,0).     

关于Pell方程x~2-30y~2=1与y~2-Dz~2=4的公解

设p_1,…,p_s(1≤s≤4)是互异的奇素数.利用同余、递归序列、Pell方程的解的性质等证明了:当D=2p1…p_s,1≤s≤4时除开D为2×241外,Pell方程x~2-30y~2=1与y~2-Dz~2=4仅有平凡解(x,y,z)=(±11,±2,0).     

关于不定方程x~2-5ly~2=1与y~2-Dz~2=49的公解

设p_s(1≤s≤4)是互异的奇素数,D=2~tp_1~(a_1)p_2~(a_2)p_3~(a_4)p_4~(a_4)(a_i=0或1,1≤i≤4,t∈Z~+)时,不定方程x~2-51y~2=1与y~2-Dz~2=49仅当D=2~t×4999(t=1,3,5)时有非平凡公解(x,y,z)=(±50,±7,0).     

关于不定方程x~2+4~n=y~(13)(n=4,5,6)的整数解

在高斯整环中,利用代数数论与同余理论的方法,讨论了不定方程x~2+4~n=y~(13)(n=4,5,6)的整数解问题,得出了当n=4,5时无整数解;n=6是仅有整数解(x,y)=(64,2)和(x,y)=(-64,2)的结论,推进了不定方程整数解的研究.     

联立Pell方程组x~2-ay~2=1和y~2-bz~2=1的解数

设a,b是正整数.我们研究了联立Pell方程组x~2-ay~2=1,y~2-bz~2=1的正整数解(x,y,z)的个数.本文利用Bennett关于联立Padé逼近的一个结果,证明了该方程组至多只有两组正整数解(x,y,z),从而改进了Bennett(1998),袁平之(2004)等人的结论.     

椭圆曲线y~2=x~3+27x-62的整数点

根据四次Diophantine方程的已知结果,运用初等数论方法证明了:椭圆曲线y~2=x~3+27x-62仅有整数点(x,y)=(2,0)和(28844402,±154914585540).     

椭圆曲线y~2=x(x-p)(x-q)的整数点(Ⅰ)

设p,q为奇素数,m为正奇数,且p+2~m=q,p≡3(mod4).证明了:当m=1或3时,椭圆曲线y~2=x(x-p)(x-q)(xq)至多有1对整数点(x,y);当m≥5时,该椭圆曲线至多有2对整数点(x,y).同时具体给出了(p,q)=(71,103)时椭圆曲线的全部整数点.