用直线与圆的位置关系解中考题

设⊙O的半径为r,圆心到直线的距离为d,则直线与圆的位置关系有以下三种:(1)直线与圆相交(?)dr.其中直线与圆相切,除上述d=r的判定外,还有切线的判定定理:经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.下面以近几年的中考题为例说明它们的应用.例1(2003年江苏省扬州市中考题)     

正确认识曲线的切线

<正>我们对切线的认识,最早的接触是在直线与圆的位置关系中:"直线与圆有且只有一个交点(?)直线与圆相切".这种定义是从交点个数的角度来区分直线与圆相切、相交、相离.那么,是否也可以这样认为呢:"直线与曲线相切(?)直线与曲线有且只有一个交点".     

直线与圆相切的判定

在直线与圆的位置关系中 ,相切关系很重要 .要掌握“切线证明”的思路和方法 ,首先要搞清切线的判定方法有哪些 ?切线的判定方法有 :①直线l与⊙O有且只有一个交点时 ,直线l与⊙O相切 .②圆心O到l的距离d =r ,则直线l与⊙O相切 .③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线 .综合起来有两类 :(1)已知垂直 ,证半径或作垂线证半径 .(2 )已知半径 ,证垂直或连半径证垂直 .现分别举例说明 :第一类 :已知垂直 ,只需证半径 .如果所给直线不知过不过圆上某点 ,其证明方法是“作垂直 ,证半径” .例 1如图 ,在Rt△ABC中 ,∠B =90° ,∠A的平分…     

证明某直线是圆的切线的常规辅助线作法

证明某直线是圆的切线的主要证题依据是 :(一 )切线的判定定理 :经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ;(二 )圆心到直线的距离ｄ与圆的半径的数量关系 :直线ｌ和⊙Ｏ相切 ｄ =ｒ,即当ｄ =ｒ 直线ｌ和⊙Ｏ相切 .这一证题依据的实质就是 :若圆心到某直线的距离等于半径 ,则此直线是圆的切线 .在大量有关切线判定的题型中 ,常规辅助线的作法通常有以下两种 :一 .连线得半径要证明某直线是圆的切线 ,若此直线与圆有一个明确的交点而经过此点的半径未作出时 ,则连结圆心和此交点 ,得到圆的半径 ,再利用第一个证题依据 ,即切线的判定…     

切线的判定方法

在直线与圆的位置关系中,相切这一特殊关系显得尤为重要.其中,切线的判定方法是中考命题的热点,这类试题在近几年各地中考中频频出现.中考考查切线的判定主要有下面两类题型.(以下例题均为2010年中考试题)题型一待证直线与圆有公共点解题方法证明待证直线垂直于过公共点的半径(或直径).     

两圆相切的判定及应用

初中教科书在介绍圆和圆的位置关系时,给出了两圆相切的判定方法,即:设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,若d=R+r,则两圆外切;若d=R-r(R>r),则两圆内切.本文不妨统称为"圆心距法".下面介绍另一种判定方法,这里统称为"公切线法".一、两圆相切的判定1.两圆外切的判定过两圆的公共点作     

直线与圆锥曲线位置关系的向量判定与应用

众所周知,直线与圆的位置关系可以通过解直线与圆的方程组,从求根的个数这种通法来判断,也可以简单的通过计算圆心到直线的距离与半径相比较来判断.而对于一般的圆锥曲线,我们只能通过第一种通法来判断,这往往需要复杂的运算.那么对于圆锥曲线,是否也可以找到一种类似于直线与圆的第一种判定方法呢?笔者结合新教材中的向量运算,给出一种简捷、统一的判定方法.     

直线与椭圆、双曲线位置关系的一种新的判定方法

我们知道 ,针对圆的特殊几何性质 ,可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定直线和圆的位置关系 .实际上 ,结合椭圆和双曲线的第一定义 ,直线和椭圆、双曲线的位置关系的判定也有类似的结论 .引理 1　平面上 ,两点 F1 、F2 在直线 l的同侧 ,点 F′1 和点 F1 关于直线 l成轴对称 ,点 P在直线 l上 ,则 | PF1 | + | PF2 |≥ | F′1 F2 | (如图 1) .(证明略 )图 1　　　　图 2定理 1　直线上一点到椭圆两焦点的距离的和的最小值( 1)小于长轴长 ,则直线与椭圆相交 ;( 2 )等于长轴长 ,则直线与椭圆相切 ;( 3 )大于长轴长 ,则直线与…     

证直线和圆相切的策略方法

在直线和圆的位置关系中,相切这一特殊关系最为重要,中考和各类升学考试中,考题常常在此产生.而一条直线只有满足:经过半径的外端点且与该半径垂直这两个条件,才能判断其为圆的切线,这样切线的判定就可归纳为:     

直线与圆位置关系解题探索

直线与圆位置关系有三种:相离、相切、相交,关于直线与圆位置关系的题目较多,知识综合较强.研究这类型题目的常用方法有:代数方法,即讨论直线与圆方程组成的方程组实数解的个数;几何方法,即由圆心到直线的距离与半径作比较.下面就这类型问题的解法具体分析,以供参考.     

曲线的相切及其应用

在中学,相切问题起源于直线(圆)和圆的位置关系.在直线向圆逐渐移动的过程中他们的位置关系分别是相离、相切、相交,其中的相切是关键,它是临界位置,起着过渡的作用,而且相切问题始终是中学数学研究的主要内容.将问题一般化,在两条光滑曲线逐渐靠近的过程中,它们的位     

圆与椭圆只有一个公共点是相切的什么条件

1 研究背景 上教版九年级第二学期教材中,在讨论直线与圆、圆与圆的位置关系时,根据公共点的个数分为三种情况,其中只有一个公共点,被称为相切. 上教版高二第二学期教材“圆锥曲线”一章中,通过联立直线和圆锥曲线方程,讨论方程组解的个数,来解决直线与圆锥曲线公共点个数问题,但是并未给出类似“只有一个公共点,被称为相切”的定义,这是为什么?例如,直线y=1与抛物线y2=2x(如图1)只有一个公共点,但不相切,可是为什么不相切?什么是相切?     

用类比法解决直线与圆相交问题

我们在学习数学知识的同时,更要体会和掌握其中的数学思想方法.比如,近年来直线与圆相交的有关问题成为数学中考题的一大热点,虽然相交与相切属于圆的不同位置关系,但它们之间有着密切的联系,相切是相交     

直线与椭圆位置关系的一种判别法

中学解析几何很重要的一部分内容是讨论直线与曲线的位置关系 ,包括直线与直线、直线与圆、直线与圆锥曲线 ,其中以直线与圆锥曲线的位置关系讨论最为困难 ,特别对于含参数的情形 .本文仅讨论直线与椭圆的位置关系 ,给出一个简单的判别法 ,并以例说明其应用 .我们知道 ,直线与圆的位置关系判别方法为 :设圆的方程为x2 + y2 =r2 (r >0 ) ,直线的方程为 y=kx +l(k≠ 0 ) ,那么圆心到直线的距离为d =|l|k2 + 1,圆的半径为r .若d >r ,则直线与圆相离 ;若d 相似文献   

摆线教学中的一个问题

在讨论摆线的时候,常常要涉及到一个圆在一条直线或一条曲线上的滚动.我们知道,圆可以在一条直线上滚动,圆也可以在另一个圆的外面保持相切而滚动,但一个圆未必一定能在另一个圆的内部保持相切而滚动,又例如单位圆就不能在抛物线y=x~2的     

怎样想数学问题

问题　已知以点Ｃ(2,0)为圆心的圆Ｃ与两射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)相切,动直线ｌ与圆Ｃ相切且与射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)分别交于Ａ,Ｂ两点,求ＡＢ的中点的轨迹方程.分析:1)首先细审题意,分清已知条件与求解目标,明确问题结构.已知几何条件有三点:①圆心为Ｃ(2,0)的圆与两射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)相切;②直线ｌ与圆Ｃ相切;③ｌ与两射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)分别交于Ａ,Ｂ两点.所求是适合上述三个几何条件的线段ＡＢ中点的轨迹2)充分运用综合分析法.首先从求解目标出发逆推:①动点Ｍ的确定依赖于线段ＡＢ两端点Ａ与Ｂ的位置.若考虑到ＡＢ与圆Ｃ相切,则可知若Ａ,Ｂ两…     

一个作图题的讨论

(一)人民教育出版社出版的“初中几何课堂教学计划”(译本)一书中的七年级几何讲授计划第五十一课有下面这样一个作图题:用已知半径作一圆,使这个圆与一已知直线及一已知圆相切.     

直线x_0x y_0y=r~2与圆x~2 y~2=r~2

设圆G的方程为x~2 y~2=γ~2,则经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线的方程是x_0x y_0y=γ~2,从这条切线的唯一性出发,可得上述命题的三个逆命题:(1)若点M(x_0,y_0)在圆G上,则直线l与圆G相切;(2)若直线l与圆G相切,则点M是切点;(3)若圆心在原点的圆与直线l切于M,则圆为圆G.例1 (课本《解析几何P69第12题)判断直线3x 4y=50与圆x~2 y~2=100     

在运动中相切

2011年各地数学中考题命题中,与圆有关的考题很多.有些考题虽然没有复杂的背景材料和冗长的叙述内容,但却具有较强的探索性,开放性和综合性等特点.现在举几例"在运动中相切"的考题供同学们学习参考.一、动圆与直线相切     

切线长定理的演绎

在人教版九年级数学教材中,讲述了直线和圆的三种位置关系,相切是其中的一种．经过圆外一点可以向圆作两条切线．如图1所示,当直线PA、PB分别与⊙O相切于M、