算术根与根式的基本性質

关于算术根问題,在中学代数課本里根本沒有得到很好的闡明,至于習題那就更不用談了。为了使学生熟悉算术根的概念並正确地运用,就不能局限于算术根的概念上,必須达到理論联系实际,作足够的練習。現在我想就有关算术根的几个問題,提供給大家作参考。     

“不等式”的練习題

下面介紹的练习題是我們的工作經驗的結果,其中一部分是果尔坚科在莫斯科市教师进修学院听課时作的学年作业的內容。 絕大部分练习题作者們在十年級复习八、九年級代数課时运用过。如果讀者认为在自己的工作中这些綜习題可用,他們还可以毫不費事地自編若干类似的练习题。方括弧里的是答案。 1.算术根第一組练习題是用来巩固算术根的概念的。这里研究的是从根号內提出因式和根式乘除的练习題。下面举的例子可以作为証明題用,证明时必須回答:当字母取哪些值时:給定的恆等式才能成立。这些练习題还可以作为根式运算題用,在进行根式运算时要指出,字母取哪些值时才能进行变換。     

中学三角教学中的两个問題

一、三角学中的恒等变換 我們知道,加法定理以及由加法定理推出的各种公式(指簡化公式,倍角半角公式,积化和差、和差化积公式等等)与基本三角恆等式是三角恆等变換的基础。这些恆等变換就其作法来說不尽相同,因而很难給出一般的法则,也很难預知各种能以簡化的因素。要作到合理变换,除必須依靠不断实践和树立頑强学习精神外,还必須相应地掌握一些解題的技能和技巧。下面就用倍角的正弦和余弦的代数和表示正弦和余弦的方冪公式(或簡称‘降冪公式’)以及积化和差等問題談談自己的一些体会: 1.关于用倍角的正弦     

导出若当法型的一个簡单方法

对于一个綫性变換,如何来取一个适当的坐标系,使得它的不变量明显地出現在所表示的矩陣中,这就是若当(Jordan)法型所解决的問題。这样一个显然重要的問題,在文献中很少有从头到尾很一般的表述。本文的目的是在給出一个尽可能簡捷而明了的方法来导出一个綫性变換的若当法型。本文只要求讀者具备賴性变換理論中最簡单的知識。     

談談中学数学教学中的函数和函数概念的教学

加强函数概念的教学是提高中学数学教学貭量的一个重要問題,因而如何理解函数教学在中学数学教学中的意义,它的教学要求是什么,在教学中应該注意什么問題就成为每一个数学教师所关心的問題。本文拟就对这些問題談談个人的一些极其粗浅的看法,請同志們批評指正。一、函数教学在中学数学教学中的重要性函数是中学代数課程中的重要概念之一,这一概念之所以重要,不仅在于它是中学代数教学內容的中心,而且它是从初等数学过渡到高等数学的基本枢紐。众所周知,数的概念、恆等变形、方程、函数构成了中学代数的基本內容,其中对于方程的教学,基本上不外是两个方面:一方面是列方程,另一方面是解方程。布列方程就是求出反映某些量与量之間的函数表示式,并使之等于某个已知的数值;或者使某两个函数关系式相等。而解方程是找出这些量中未知量的数值,     

“冪和方根”的教学

在这一部分內容以前的教材里,包括了下面几部分主要內容:1.有理数;2.有理式的恆等变形;3.一次方程,为了进一步学习二次或者更高次的方程,就必然涉及到开方問題和根式問题;同时,也必須涉及到实数問題。所以这部分教材、主要介紹了方根;把数的概念由有理数扩张到了实数;研究了根式的变形,从而完成了代数式的恆等变形。这一部分教材包括有:乘方、方根、实数和根式等四个单元。下面分四部分来談。     

复合函数的极限問題

复合函数的极限問題是在討論某些函数的极限时所必然产生的問題,也正如大家所知道的,它是一个具有現成答案的問題,但是今天在某些教科书中在討論有关函数的极限問題时却常将此一問題置于不应有的忽视地位,本文的目的在于試图闡明这一問題的意义与作用。     

用拉普拉斯变換求解拋物型或双曲型方程混合問題出現的一类求根问題

§1.問題的提出在国內編写的一些数学物理方程教科书(例如,[1],[2])上,在介紹用拉普拉斯(Laplace)变換(以下简称拉氏变換)来求抛物型或双曲型偏微分方程混合問題时,解題程序大致可以分成三步(以一維情形为例):(Ⅰ)假定未知函数u(x,t)經过拉氏变换变成U(x,p),利用拉氏变換把要     

关于定积分换元法則中的若干問題

在讲到定积分換元法則时,由于較不定积分的換元法要求的条件多,在实际計算中偶一疏忽往往容易产生錯誤,因而很自然地提出以下的几个問題: 問題1.在計算定积分时,既然有牛頓-萊布尼茲公式作为依据,而且在不定积分求原函数的过程中也介绍过換元法則,     

周期羣的伯恩賽德問题

1902年英国数学家W.伯恩賽德提出了关于周期羣理論的一个問題。随后,这个問題在代数学家們中間获得了广泛的声名,因为羣論的許多問題看来都是与这个問題有关的(参閱[1],[2])。尽管有过許多尝試,这个問題只对几种特殊情况才获得了正面的解答。只是到1959年由諾維柯夫院士发展了早先他在解决一系列羣論算法問題(恆等問題,共軛問題和同构問題)中所采用的方法,才获得了这个問題的反面解答(参閱[3])。为了論述这个問题和所得到的結果,我們来复习有关羣論的若干定义。所謂羣是指由任意性貭的元素所組成的一个非空集合G,其中定义了一种运算,叫做“乘法”,它滿足以下的要求:     

三角复习的一些作法

在党提出教学必須改革的号召下,三角期末复习工作,必須贯彻教学改革的精神,更进一步提高教学质量。出色的复习工作必須是:使学生对新旧知識作更深入而明确的联想,从而更完善地掌握知識的內在联系,提高学生解决实际問題的技能技巧;切实弥补知識上的缺陷。根据几年来的教学实践和期末复习体会,在深入教学改革的今天,我們认为三角期末复习应该注意以下几点。茲就教材程序介紹如下,議供同志們复习时参考。一、加法定理我们知道,加法定理及由它推导出的各种公式与同角三角函数基本关系式是三角恆等变換的基础。复习这段教材,必須加强公式之間的內在联系、解題技能技巧、解决学生存在解題困难的教学:并且注意和物理、技术等的联系。     

最佳控制的数学問题(Ⅲ)

本文前两部分已用动态規划和最大原則方法討論了最佳控制的数学問題;这两种方法以及变分学方法是現時解决这类問題的基本工具。然而,近年来有些作者又提出另一些办法;文献是其中之一。n阶线性系統的离散最佳控制問題可以变換为一个非线性規划问題,因此,非线性規划方法为这类問題的数值解提供一个算法;同时他引出利用解-空間来分析最佳控制問題的观点。以下的討論引用了这位作者的一部分工作。     

关于拟线性椭圓型偏微分方程组同胚解的存在定理

<正> 的解所构成的同胚变換,目的在于:建立把一般有限連通域映射为某种典型域的解的存在定理.所获得的結果,也相当于解决了多連通域上的拟保角变換的存在問題. 曾有許多作者,就单連通域的情况証明过:对方程組(*)黎曼存在定理成立.在具有重要实际意义的拟保角变換的理論中,这个基本定理首先为所建立     

改进中学数学教材教法的几点意见

数学通报编者在1957年3月号上提出了“进一步研討中学数学教材教法”問題,要中学教师們結合实际提出意見,充分商討。这一問題的提出,我認为是非常必要和适时的。的确,在目前的中学数学教学中存在着呆板地运用教学     

“恆等式”与“条件等式”,“絕对不等式”与“条件不等式”的教学

中学課程中“恆等式”与“条件等式”,“絕对不等式”与“条件不等式”等概念,对于各年級的學生来說,往往不是十分清楚的,教师在教学中应該赋予应有的注意。本文試就这些問题,举一些簡单的例子来阐明这些概念,而不作詳尽的论述。一、对于“恒等式”与“条件等式”人民教育出版社出版的高級中学代数課本第二册(1957午第1版)复习题七中第8題是这样一个很好的问題:问下列各式是不是恆等的? (1):(log ax)~2和2log ax;     

高阶线性积分微分方程边界問題解的逼近决定中的多項式法

<正> 作者最近这几年已做出許多工作,涉及边界問題解法,即或者是对于某些类常微分积分微分方程初值問題解法或者是对于“全导数”問题解法. 最近,完全依賴C.魏尔斯特拉斯关于用多項式逼近連續函数的古典定理,作者已做出对于高阶积分微分方程的积分一种多項式法,在其中从所考虑的問題到等价的积分方程輔助系的变換起着重要作用.     

高二三角复习提綱

在总路线的光輝照耀下,我們目前教学工作出現了新的跃进局面。为了更进一步提高教学貭量,做好期終复习工作是非常重要的。通过复习,可以帮助学生把新学知識系统化、补充知識上的缺陷和进一步培养学生解題的技能和技巧。我們充分发动了羣众,深入了解了学生的問題和要求,根据下述精神制订了高二三角复习提網: (一)加深基本概念的讲解,揭露教材內在联系,把知識系統化。我们把本学期教材(課本一至四章)分为三角函数定义和基本性质;三角函数式的恆等变換两部分。前者以三角函数线为中心貫穿全部内容,就可以由三角函数定义,进一步研究三角函数符号、定义域、容許值范围、周期、图象,使学生能完整清晰地掌握教材系統。 (二)学生最感困难的是解題,看到问题不知如何下手。因此,我们在复习中应充分揭露公式间的內在联系,帮助学生在理解的基础上記忆;同时,着重于解题能力的培养。我們把同角三角函数相互关系、誘导公式、加法定理等合为一部分。做些問題类型的分析。指出应如何根据题目的类型找出解題的途径,并多做些綜合性題目的练习。 (三)着重复习学生过去学得不牢固的地方,如周期、图象等。下面是具体复习提綱。     

浙江省临海县中等学校数学教学座談会紀要

为了交流各中等学校数学教学的情况,对当前数学教学中存在的主要問題进行比较深入的討論与研究,总結教学經驗,推动下一阶段的数学教学工作,我局于一九六三年五月三日至五日,召开了中等学校数学教学座談会,着重討論了以下两个問題:(一)钻研教材与使用教材問題;(二)精耕多练問題,此外对培养学生的邏輯思維能力和毕业班的复习問題,也交換了一些意見。 現把座談     

改进教学方法,減輕学生学习负担,提高教学貭量,全面、正确地貫彻执行党的教育方針——座談会报导

本刊編輯部于五月十日邀請了北京市部分中学数学教师开了一个座談会,会上針对如何改进教学方法,减輕学生学习負担,提高教学貭量,全面、正确地貫彻执行党的教育方針的問題交換了意見、交流了經驗。参加这次座談会的数学教师有刘健(一中)、韓本如(二中)、陈继仁(三中)、     

展开对中学数学課程現代化問题的热烈討論

本刊这期发表了“当前中学数学教育中存在的問题”与“探討数学課程革新的座談会报导”两篇文章,它們給我們提出了一个很有意义也很重要的问题:中学数学現代化問題,卽如何根据我国社会主义建設蓬勃发展,高速攀登科学文化頂峯的要求,改革当前中学数学課程。这个問題已經不再是議論一下,而是提到日程上迫切需要解决的問題了。我們知道,我国人民在党的領导下依靠社会主义建设的总路线,以大跃进的发展速度和人民公社的組織形式,开創了我国社会主义建設按比例又高速度发展的持續跃进局面,我国社会主义建设已經进入了新的历史阶段;我国人民正在实現党所提出的十年內在主要工业产品产量方面赶上和超过英国,农业要四化