三角形新定义型中考题赏析及教学启示

一、引言在初中数学几何领域中,三角形作为一种最基本的几何图形,因它的变数不定而独具魅力.除了平时我们所熟悉的等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形等特殊三角形外.通过命题者的别具匠心,它在近几年的中考题中还多次"变身"成为其他特殊形态呈现在大家面前.由此,出现了一种有关三角形新题型——三角形新定义型问题,给人耳目一新的感觉,充分体现了新型思维能力考查的要求.所谓"新定义"型即     

探寻角含半角问题的类型及求解路径

新课标指出,数学教学应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想.“角含半角模型”是指过等腰三角形的顶点引两条射线,使这两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半的模型,解决的一般思路为:将半角两边的其中一个三角形通过旋转与其他图形拼到一起形成新的三角形,然后证明新三角形与半角形成的三角形全等,最后利用全等三角形的性质得到线段之间的数量关系,从而解决问题.     

由角平分线想到的

<正>角平分线定理及其逆定理在几何证明中应用十分广泛,有非常重要的地位,尤其为证明线段或角相等开辟了新的思路.当题设中出现角平分线时,如能联想到轴对称、全等三角形以及等腰三角形,往往可以很快沟通思路,提高解题效率.在此,我们把与角平分线有关的题型及作辅助线的方法分类归纳如下,与大家一起分享.     

图形的摆放与探究

1 教材分析1 新人教版八年级上册的几何部分包括三个方面:全等三角形、轴对称、等腰三角形. 平面几何是研究图形的形状、大小、位置关系的一门学科.设计几何复习课当然离不开图形.经统计,教材中<全等三角形>部分共有46个图形,其中含有等腰三角形的图形有20个;<等腰三角形>部分共有23个图形,其中含有全等三角形的图形有13个.分析发现:这些图形大都是由一对全等三角形按不同要求摆放而成.     

把握高考传统与创新题型 提高立体几何复习有效性

在新课标精神的指引下,高考题型也有了相应变化,笔者对高考立体几何题型进行综合分析. 一、三视图问题 三视图是高中新课标的新增内容.空间几何体的三视图能够使学生更好地把握几何体的形状和性质,可以培养学生的几何直观能力和空间想象能力.不仅可以单独考查,而且可以与其他知识交汇渗透考查;不仅可以考查选择、填空题,还可以考查解答题.考查的形式丰富,内容灵活,所以三视图问题也成为了近年高考的热点.     

例析如何添加辅助线构造等腰三角形

等腰三角形作为初中数学几何部分的重要知识点,不仅对解决几何问题具有重要作用,而且也是历年中考数学命题的热点,特别是如何添加辅助线构造等腰三角形,是对初中生数学思维能力的考查.基于此,本文在介绍等腰三角形性质的基础上,借助两道例题分析如何添加辅助线构造等腰三角形.     

例说一次函数的新题型

随着新课程的全面实施,如何在数学教学中体现新课标的教学理念,正是大家关注的热点问题.近几年的全国各地的中考数学试题中,正出现了这种体现课标新理念的新题型.这些新题型不仅很好地考查了数学的"基础知识"和"基本技能",而且还有效地考查了学生运用所学知识解决实际问题和创新思维的能力.     

等腰三角形的一个性质

<正>等腰三角形是初中几何中最重要的图形之一.笔者对等腰三角形做了一定的研究,发现了等腰三角形的一个非常美妙的性质,现给出它的几种证明方法,供读者参考.结论若等腰三角形外(内)有一条过顶点的直线,自底角顶点向该直线所作的两条垂线段的长度和(差)与两垂足间的距离之比为底角的正切.证明     

用赛瓦定理证明一道平面几何问题

<正>上文[1]对一道几何题及其拓展给出了构造旋转型全等的方法,本文运用赛瓦定理提供了三种方法,并添加了复数法,从多个角度对其几何结构进行解读,开阔思路.例如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=2x,∠MAN=x,在等腰三角形BPC中,PB=PC,     

中考有关对称新题型欣赏

轴对称图形和中心对称图形是几何的一个重要知识点,也是中考的必考题型.随着新课标和创新教育的日益深入,这类问题也发生了很大变化,以前的考题多是给出图形判断是否是轴对称图形或中心对称图形,而现在则更侧重了考查能力.     

斯坦纳——雷米欧司定理的证明及推广

两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形.这就是著名的斯坦纳——雷米欧司定理.这是一个充满诱惑力的几何命题,是一道脍炙人口的几何名题.1840年德国数学家雷米欧司在给斯图姆的一封信中提到,几何题在没有证明之前,很难说它是难还是容易.等腰三角形两底角平分线相等,初中生都会证明;可是反过来,已知三角形两内角平分线相等,要证它是等腰三角形却不容易了,我至今还没有想出来,斯图姆向许多数学家提到了这件事,请求给出一个纯粹的几何学的证明,首先回答这个问题的是瑞士的几何学家斯坦纳(1796—1863),所以这个问题就以斯坦纳——雷米欧司定理而闻名于世.     

构造等腰三角形解题

将一般图形转化为特殊图形,利用特殊图形具有的性质解决问题是数学中常用的思想方法.等腰三角形是一种特殊的三角形,它的性质有着极其重要和广泛的应用,很多几何问题都可以通过构造等腰三角形来解决.     

对一道“新定义”型探究题的解法探析与拓展

《新课标》中明确指出,数学在应用方面需要大力加强,鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识的形成过程".新定义"型试题是考查学生数学能力的最好题型之一,它既能考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力,又能考查学生的自学能力,以及信息的收集、迁移和应用能力.此类题型新颖别致,颇具魅力,已成为中考试题中的一朵奇葩,其中对     

等腰三角形的构造与作图

等腰三角形是一种特殊的三角形,在初中几何中占有极其重要的地位．有关等腰三角形的性质和判定在教材中有详尽的分析．等腰三角形的边角计算在分类思想的指导下,通过适当训练可以很快掌握．但是等腰三角形的作法教材未系统给出,导致对于构造等腰三角形的综合题常常束手无策或严重漏解,丢分现象普遍．下面我们就一起系统地来解决这类问题．     

与中点有关的直线形问题

<正>与中点有关的问题频繁出现.例如,2023年九年级上期末练习,西城、海淀等区都以中点为背景,通过利用等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线、倍长与中点有关的线段或构造中位线等方法构造新图形,解决几何问题.初三学生面临复习时间紧、知识点多等诸多学考压力,因此帮助同学们建立与中点有关知识体系是事半功倍的复习方法.我们需要知道如何添加适当的辅助线解决这一几何问题.     

学习绝对值要掌握的几种题型

新课标下,绝对值题型有了发展和创新,出现了一批旨在考察数学思想方法、学生自主学习能力、实际应用能力的好题型.本文拟对这些题型进行探讨,希望能开拓同学视野,增强同学的适应能力.     

Steiner——Lehmus定理的代数证法

每个初学平面几何的学生都曾证明过这样一个十分简单的几何命题“等腰三角形的两个底角的平分线相等”,这个命题早在2000多年前欧几里得的《几何原本》中就已经出现.然而令人惊讶的是它的逆命题“如果一个三角形的两个内角的平分线相等,那么这个三角形一定是等腰三角形”,却要迟至1840年才由雷米欧斯(Lehmus)给瑞士著名数学家斯图姆(Sturm)的一封信中提出来,信中请求给出这个命题的纯几何证明,斯图姆竟然一下子解决不了,于是就在数学界广泛地征求解答,瑞士几何学家斯坦纳(Steiner)首先给出了它的证明,此后就把这个命题叫做Steiner-Lehmus定理.     

圆域内两类三角形的运动测度

本文研究了圆域内两类三角形的运动测度问题. 利用欧氏积分几何理论,给出了三角形在圆域内的运动测度一般积分公式,得到了等腰三角形在圆域内的运动测度.     

函数几何综合题解析

函数几何综合问题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型.这类试题,将几何问题与函数知识有机地结合起来,重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何的有关知识,通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合问题的能力.下面以中考试题为例,对此作一归类解析,供参考. 一、几何元素间的函数关系问题 这类问题以几何图形为依托,研究几何元素间的函数关系问题.它的求解步骤一般是:     

正三角形综合练习(上)

<正>三条边长相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形.正三角形每个内角都等于60°.正三角形是特殊的等腰三角形,它有三条对称轴.它的内心、外心、重心、垂心是同一点,叫做正三角形的中心.正三角形的性质极为丰富,因此在几何练习题中经常出现.注意:等腰三角形中有一个内角为60°,这个三角形是正三角形.例1 P为正三角形ABC内任一点,则P点到正三角形三边距离的和等于定值