回归平面几何视角，妙用角平分线定理

作为平面几何中的一个重要定理,三角形的角平分线定理在判断图形结构特征与构建线段比例关系等方面具有重要的作用.结合高中数学中解三角形、平面向量、平面解析几何等模块中的问题,借助三角形角平分线定理的应用,总结解题研究与技巧方法,全面培养学生数学核心素养.     

角平分线的一种向量形式及其应用

引入向量这一工具后，我们可以用它解决许多平面几何里的一些问题。本文借助向量表示角平分线，以提示向量的工具性作用。     

应用向量解决平面几何问题

向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简洁于一身，在解决平面几何问题中有着奇特的功效．利用向量法解答平面几何问题的一般步骤是：1)将题设和结论中的有关元素转化为向量形式；2)确定必要的基底向量，并用基底表示其他向量；3)借助于向量的运算解决问题。     

圆周向量定积定理

在平面几何中(如图1),我们知道“直径所对的圆周角为直角”.即M为⊙C上的动点,总有MA·MB=0为定值.起点⊙C圆周上的向量称为⊙C的圆周向量.图1图2定理设⊙C的半径为R,其同心圆⊙C′的半径为R′,R>R′,M是⊙C上的动点,AB是⊙C′的任一直径(如图2),那么MA·MB=R2-R′2为定值.证不     

一道平面几何题的向量论证

《数学通报》第 1 2 1 2问题如下 :如图 1设图 1　三角形△ABC的一边AB上有P1,P2 两点 ,另一边AC上有Q1,Q2 两点 ,若 ABAP1+ ACAQ1=ABAP2 + ACAQ2 =3,则P1Q1与P2 Q2 的交点G是△ABC的重心 .上述问题可概述为 :P ,Q为△ABC的两边AB ,AC上的两点 ,则PQ过△ABC的重心G的充要条件是ABAP+ ACAQ=3,本文将利用向量给出它的证明 .图 2　结论 1图结论 1　设OA ,OB ,OC为平面上不共线的三个非零向量 ,则A ,B ,C三点共线的充要条件是存在实数λ ,μ ,使得 OA =λOB + μOC ,其中λ + μ =1 .证　不妨设A在BC之间 ,若A ,…     

向量在平面几何中的应用

<正>由于向量具有几何形式和代数形式的"双重身份".其特殊的身份决定了其特殊的功能,灵活运用平面向量的"工具性",可以使很多相关问题简单化.本文就向量在平面几何中的具     

用向量法证明平面几何问题

向量的线性运算和数量积运算都具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,用向量法解决平面几何问题,不仅是一种全新的解题思路,对一些比较复杂的线段比例问题用向量法求解还是一种有效的捷径．     

定比分点向量式的推广

1问题提出如图1,若AC=λCB,则OC=OA+λOB/1λ.这个结论便是线段的定比分点的向量表达式笔者在研究向量的线性表示问题时,产生了将此结论推广到平面及空间的想法.于是提出了以下两个问题.问题1如图2,已知点M是不在△ABC三     

计算斜线与平面所成角的一种有效方法——向量法

在计算斜线与平面所成角时，若按定义来求解，则需要先找出或作出“三线”，即平面的斜线，平面的垂线和斜线在该平面内的射影，而“垂线”和“射影”是解题的关键．在实际问题中，有时“垂线”和“射线”难找或难作，若以平面的法向量为载体，以向量为工具，不仅能有效地处理难以作出线面角的复杂情形，也适用于可作出线面角的简单情形，而且思路清晰，程序固定．     

平面向量

1.本单元知识点向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,向量是沟通代数、几何的一种工具,有着极其丰富的实际背景.向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”,融数与形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点.本单元的学习重点是:理解平面向量的意义与实际背景,掌握平面向量的三种运算——加减运算、数乘运算、数量积运算及其运算法则,掌握平面向量的基本定理及坐标表示.     

平面向量解题初探

“向量”的概念现已引入中学 .“平面向量”已成为高中数学试验教科书中独立成章的内容 ,它的引入给传统的中学数学内容注入了新的内涵 .不仅如此 ,“平面向量”所蕴含的丰富的数学思想方法 ,如 :数形结合、构造建模、化归转换、平移变换等 ,有益于发展学生的思维能力 ,激发其创新活力 .本文就如何利用“向量”这个有力工具 ,简捷而富有创意地解决中学数学的某些问题作初步探讨 .1　平面向量在平面几何中的“简”用平面几何中有的证明是很繁琐的 ,如线共点、点共线的问题 ,若用向量法证之 ,则比较简便 ,也无需添加辅助线 ,证线共点的问题只…     

平面向量基本定理可以这样用

1．定理的呈现如果a,b是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量p,存在唯一一对实数入,弘,使得P=λa＋μb     

向量在平面几何中的应用

由于向量融数、形于一体,因而成为中学数学知识的一个交汇点．向量作为一种工具,为解决平面几何问题提供了新的思路,进一步拓宽了思维渠道．向量作为一种有向线段,其本身就是直线上的一段,因而向量与平面几何保持着某种天然的联系．利用向量的运算性质能把某些几何问题的研究从“定性”转向“定量”,使推证变得简单．应用向量解题的思想方法,可以把以前的某些平面几何问题产生新的解法,简化了思维过程,显得新颖、别致、灵巧．笔者以若干问题为例并对其进行了相关推广,这些题对比过去的解法,可以体会用向量知识解题的思想方法．     

平面向量的运算及其应用

在高中数学中，平面向量的运算主要包括两类，一是向量的线性运算，二是向量的数量积．这些运算都有明确的几何意义，因此学好向量可以为研究数学的其它问题(特别是平面几何)带来很大的方便．     

巧用平面向量基本定理解题

由平面向量基本定理容易推出下列结论：若两个向量a与b不共线。λ、u都是实数，则λa=ub→←λ=u=0．     

巧思维多方法,妙拓展众变式—— 一道向量题的探究

平面向量自身兼备“形”的特征与“数”的性质,为平面向量相关问题的巧妙设置与思维切入提供了更多的应用与空间.结合平面向量的问题实例,多层次问题剖析,多思维解决切入,多技巧方法解决,多变式角度拓展,多规律应用总结,引领并指导数学教学与解题研究.     

向量的夹角概念在高维欧氏空间E^n中的推广

本文给出了Ｅ＾ｎ中不同维数平面之间多维角、单维角的定义，它们是向量的夹角概念的推广其几何意义非常明显，在此基础上还给出了ＱＡＢＰ＾－１Ａ的特征多项式各项系数的几何意义，这些结论对于研究各类曲率非常有用。     

用向量法证明平面几何问题

向量的线性运算和数量积运算都具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,用向量法解决平面几何问题,不仅是一种全新的解题思路,对一些比较复杂的线段比例问题用向量法求解还是一种有效的捷径.下面是用向量法证平面几何题的几种常见类型,供同学们学习过程中参考.     

平面向量基本定理的面积表示及其应用

在三角形ABC所在平面内有一点O,由平面向量基本定理知,向量AO可以用三角形的边向量表示为AO=λ1AB λ2AC,其中λ1,λ2是唯一确定的.如何确定系数λ1,λ2是用好用活平面向量基本定理的关键.我们在教学中反思、研究、总结发现:在三角形中平面向量基本定理可以用面积表示.定理O为∠ABC所在区域内一点,SB,SC,S分别表示△AOC,△AOB,△ABC的面积,则AO=图1三角形SBSAB SSCAC.证当点O不在直线AB,AC上时,如图1,延长(或连接)AO交BC于D,过D点分别作AC和AB的平行线交AB和AC边所在的直线于E,F.因为AO=||AAOD||AD,又AD=AE …     

平面向量基本定理的相关性质及应用

平面向量的基本定理是平面向量坐标表示的基础，说明了同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．即：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a.