浅析平面内常见曲线定义及性质的应用

平面内常见曲线有:线段的垂直平分线,角平分线,圆及圆锥曲线等.他们的定义分别如下:(1)线段的垂直平分线是平面内到两定点的距离相等的点的轨迹.(2)角平分线是平面内到角两边距离相等的点的轨迹.(3)圆是平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹.     

圆的又一定义

我们知道,圆的传统定义是:平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。这里我向读者介绍圆的另一定义。定义平面内与两个定点F_1、F_2的距离的平方和等于常数(大于1/2|F_1F_2|~2)的点的轨迹叫做圆。圆的这一定义完全可以和椭圆定义相媲美,其科学性是不难验证的,证明如下: 取过定点F_1、F_2的直线为x轴,线段F_1F_2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。设动点为P(x,y),|F_1F_2|=2c(c>0),P与F_1和F_2     

在创新思想指导下编制的一道解析几何开放题

椭圆、双曲线第一定义 :平面上到两个定点F1,F2 距离之和等于常数 ( >|F1F2 | )的动点的轨迹叫椭圆 ,两距离之差的绝对值等于常数 ( <|F1F2 | )的动点的轨迹叫双曲线 .圆锥曲线第二定义 :平面上到定点的距离与到定直线的距离的比等于常数e的动点的轨迹叫… ,换言之 :平面上到定点F的距离与定直线l的距离的e倍相等的点的轨迹叫… .在创新思想指导下 ,将第一、第二定义剪辑后再嫁接 ,提出开放的新问题 :若动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的e倍的和 (或差的绝对值 )等于常数 ,动点M的轨迹是什么呢 ?以定直线l为x轴 ,过定点F且与l垂…     

有限均匀质点系的定幂和球及其应用

有限均匀质点系的定幂和球及其应用苏鸿斌（湖北省数学会理事，湖北孝感师范学校４３２１２１）１系列联想下面是我们十分熟悉的三个命题：命题１平面上到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆．命题２平面上到线段两端点距离的平方和等于定值的点的轨...     

十年热考,题根研究——阿波罗尼斯圆

<正>上教版高二年级下学期数学练习册22页第4题:已知A,B两点相距10厘米,动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍,求点P的轨迹.公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在?平面轨迹?一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.     

利用GeoGebra探索一种新曲线

1问题提出平面解析几何中利用平面内到两定点的距离构造椭圆、双曲线、圆,这三种曲线的构造分别用动点到两定点的距离的和、差、商为定值的形式给出.在四种算术运算中,唯独没有积,那么平面内与两定点距离之积是常数的点的轨迹是怎样的呢?可以利用GeoGebra的绘制隐函数图象的功能进行探索!     

阿波罗尼斯圆的变式应用

<正>人教A版必修2第140页利用"几何画板"探究了动点轨迹的形状:已知点P(2,0)、Q(8,0),点M与点P的距离是它到点Q距离的1/5,探究点M的轨迹,并给出轨迹的方程.得到点M的轨迹是圆,即阿波罗尼斯圆.阿波尼斯圆的定义:平面内,若动点P到两定点A、B的距离之比为λ(λ>0,且λ≠1),则动点P的轨迹是圆,称之为阿波罗尼斯圆.     

重门深锁无寻处 疑有碧桃千树花——圆的第二定义探幽

1问题的提出 我们知道，“在平面内，到定点的距离等于定长的动点的轨迹是圆”☆，这是圆的定义．椭圆、双曲线都有第一、第二定义，类似地，圆有没有其它定义的方法呢？     

圆的基本问题(上)

<正>圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.这个定点是该圆的圆心,定长是该圆的半径.只要圆心与半径确定了,该圆也就确定了.因此,找圆心和确定半径是圆的基本问题.不共线的三点可以确定一个圆.圆是轴对称图形,也是中心对称图形.1.圆的基本问题例1在平面上设法找出2017个点,使这些点中的任何三点都不共线.分析由圆的定义及不在一直线上的三点决定一个圆的结论可知,一个圆上任何三点都不共线.因此,我们可得如下解法:     

椭圆

椭圆武汉市职工医学院许虹【基本概念】椭圆是平面内与两个定点Ｆ１、Ｆ２的距离的和等于常数（大于Ｆ１Ｆ２）的点的轨迹，这两个定点叫做椭圆的焦点，它们之间的距离叫做椭圆的焦距，椭圆与两坐标轴的交点叫做椭圆的顶点，在同一坐标轴上的两个交点之间的距离分别叫做椭...     

利用阿波罗尼斯圆解决“AP+nBP”型最值问题

<正>我们知道,平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0.且λ≠1)的点的轨迹是圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知两个定点A,A′,可以先在直线AA′上找到两点M、N,使得MA/MA′=NA/NA′=λ,然后作以MN为直径的圆,即得对应的阿氏圆,如图1,当λ>1时,点A在圆外,点A′在圆内;当0<λ<1时,点A在圆内,点A′在圆内.     

浅谈双曲线的定义及应用

课本指出 :平面内与两个定点F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数 (小于 |F1F2 |)的点的轨迹叫双曲线 ,这两个定点叫双曲线的焦点 .对此定义的理解时应注意以下三点 :1)注意点到两定点的距离差的绝对值是常数 ,且常数小于 |F1F2 |.没有绝对值 ,其轨迹只能是双曲线的一支 .2 )注意定义的可逆性 .若P是双曲线上一点 ,F1,F2 是焦点 ,则 |PF1|- |PF2 |为常数 .它表明双曲线上一点到两个定点的距离之差可转化为常数 ,可大大简化运算 .3)注意双曲线的定义与方程之间的对应关系 ,若动点到两定点的距离之差的绝对值为常数 (小于两定点的距离 ) ,…     

从两道与阿波罗尼斯圆有关的试题谈起

<正>众所周知,平面内到两定点的距离之比为一个常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆,并且称为阿波罗尼斯圆.自然的我们也许会思考:如果给定具体的一个圆,那么能否找到两个定点及相应的常数λ?这是一个有趣的问题.笔者将结合最近教学中碰到的两道与阿波罗尼斯圆有关的试题,尝试对该问题做部分解答.     

平面内到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹一定是椭圆吗?

考察一道选择题.满足|z-1| |z 1|=1在复数Z在复平面内对应的点(A)轨迹是椭圆;(B)轨迹是双曲线;(C)轨迹是圆;(D)轨迹是一条线段;(E)轨迹不存在。 不少同学这样分析:根据复数的几何意义,方程|z-1| |z 1|表示动点到两个定点的距离之和等于常数。再根据椭圆的定义,该动点的轨迹是椭圆。故应选(A)。 其实,选(A)是错误的。 证明:(反证法)若(A)正确,那么椭圆的两焦点是F,     

对一道高考题的探究

北京2011年高考14题:曲线C是平面内与两个定点F(1-1,0)和F(21,0)的距离的积等于常数a(2a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则     

圆的一个性质的探求

一、问题的提出在高级中学课本《平面解析几何》(必修 )第 68页上有这样一道例题 :已知一曲线是与两个定点Ｏ(0 ,0 )、Ａ(3 ,0 )距离的比为12 的点的轨迹 ,求这个曲线的方程 ,并画出曲线 .课本中给出本题的答案是 :所求的轨迹方程为 (ｘ+ 1) 2 +ｙ2 =4,它是以Ｃ(-1,0 )为圆心 ,ｒ =2为半径的圆 (如图 ) .一般地 ,我们还可以证明 :与两个定点Ｍ1 、Ｍ2 距离的比是一个常数ｍ(ｍ >0 ,ｍ≠ 1)的动点轨迹是一个圆 (证明从略 ) .现在我们要思考的问题是 ,这两个定点及定比与所得的圆是什么关系 ?对于一个圆 ,是否一定存在一对点 (唯一还是无穷多…     

到两定直线距离之和(差积商)为定值的点的轨迹

<正>平面上到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆,这一轨迹概念有各种各样的推广.本文讨论了平面内到两相交直线距离之和、差、积、商为定值的点的轨迹,可供中学生及老师参考.为研究方便,不妨设两相交直线为l_1:y=kx,l_2:y=-kx(k>0),动点P(x,y)到l_1、l_2的距离分别记为d_1,d_2,且d_1与d_2之和(差、积、商)m为定值且不等于0.     

趣说阿波罗尼圆与高考

众所周知,平面内到两定点的距离之比为常数(≠1)的点的轨迹是圆,这个圆就是阿波罗尼(希腊,Apollonius of Perga,260-190B.C.)圆.阿波罗尼与阿基米德(Archimedes,287-212B.C.)、欧几里德(Euclid,330-275B.C.)齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠.阿     

圆与椭圆

在圆锥曲线中,通常都是以平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两定点长度）的点的轨迹叫椭圆,其标准方程为x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a,b〉0）。特别地,当a=b时,椭圆的方程就成为了圆的方程．从这个角度来讲,圆可以看作一类特殊的“椭圆”．而且对上述椭圆方程,     

再谈阿波罗尼斯圆

<正>阿波罗尼斯圆是近年高考的一个热点,已有老师运用代数方法对该圆作了有关研究.现在我们从几何的角度,对该圆及它的几个要素之间的关系作一探讨,供同学们参考.若一个动点到两个定点的距离之比是一个不等于1的常数,则这个动点的轨迹是圆,即阿波罗尼斯圆.几何证明如下: