含中点的几何综合题的解题策略

涉及中点的综合问题是初中几何中一类比较普遍的问题,而且在近几年的中考中也较为常见.那么我们又该如何利用"中点"这一条件,得到几何综合问题的解决呢?下面我就举例来说说"含中点的几何综合题"的解决策略.     

反证法证题漫谈

给定一条线段AB,大家都会用尺规画出它的中点M,这在数学上只表明线段AB中点的存在性.还能画出线段AB的另一个中点吗.大家会说不能了!线段AB的中点只有一个.再追问一下:你如何敢肯定线段AB的中点只有一个呢?我们的回答:可以如下来证明.     

对《也谈"点差法"的改进》例1的再思考

看到文[1]的例1的解法后,笔者思考在双曲线中能否直接根据点的坐标所满足的条件判断出以该点为中点的弦的存在性呢?经过一番探索后,笔者得到如下的结论.     

沿墙角滑动的木棒的轨迹图形是什么?

<正>一个木棒沿着直墙角滑动,木棒的中点滑动所形成轨迹是什么?想必同学们大都遇到过这个问题,也能回答轨迹是一段圆弧,但有一位同学提出了新问题:如图1,整个木棒在滑动过程中扫过的区域是什么图形呢?今天,我们就一起用所学过的知识解决这个问题．     

又见“中点”——从基本图形出发寻找结论与条件的连接

<正>去年,老师带着同学们一同赏析了2022年北京中考数学的几何综合题,再看今年的相同板块,发现围绕不同的条件和基本图形,“中点”的变化都是巧妙且灵活的.为什么偏偏是“中点”呢?从宏观来讲,图形的轴对称性、中心对称性离不开中点;从微观看,特殊图形的性质中,总有与中点或中线有关的结论.所以,在几何的学习中,中点总是一个绕不开的“结”,它连接着所有我们熟悉的几何图形,也能变化出许多有趣的结论.     

二次曲线中点弦存在条件统一证明

中数期刊近十年来发表了一系列讨论二次曲线中点弦的文章．然而“外中点弦存在条件”［１］未能“统一证明”［２］．本文用初等方法给出一般二次曲线中点弦存在条件统一证明（含外中点弦）;并给出一般二次曲线内、外部,内、外角域的形式判定条件,实际上直接作为“定义...     

用“对称坐标法”解二次曲线中点弦问题

用“对称坐标法”解二次曲线中点弦问题陈具才（甘肃渭源一中７４８２００）二次曲线人。，９）＝０的中点弦问题，常见题型有：求弦适合某种条件时中点坐标或轨迹；求中点适合某种条件时弦所在直线方程或弦长；对称问题；有关中点弦的极值问题．人们一般是用韦达定理结合...     

用好中点巧解几何题

近几年的中考,几何题难度有所增大,错综复杂的已知条件和图形变换,让学生望而生畏.其实,分析题目的核心条件,用好关键条件,可以起到事半功倍的效果.现就日照市的一道中考几何题来看,紧紧抓住条件中的"中点"进行联想,挖掘中点的意义和功用,巧解此题.     

四边形的中位线定理

三角形有中位线定理,梯形有中位线定理,那么一般的四边形有无中位线定理呢? 首先,我们给四边形定义中位线:一组对边中点的连线,称四边形的中位线。而且有以下的四边形的中位线定理。命题 a,b为四边形的一组对边的长,其延长线的夹角为a(平行视为0°),则另一组对边中点的连线长为     

一道三角形面积最值问题的解法探究

<正>1题目再现在△ABC中,AB=AC,D为线段AC的中点,若BD的长为定值l,则△ABC面积的最大值为_____(用l表示).2解法探究不少同学面对此题时,不知道该如何下手.对于这个三角形面积最值问题,第一步,我们要清楚已知条件是什么?未知是什么?已知和未知如何建立联系?也就是△ABC面积如何和已知条件建立起联系,然后求最值.对于本题已知条件的转化方式有三种:代数化、几何化及向量化.     

构造圆 巧解题

<正>我们在做几何题目时,往往要作辅助线.作什么样的辅助线,要根据具体的条件.比如直角三角形中,出现了斜边的中点,我们会想到作斜边的中线;三角形中出现了两边的中点,我们会想到作中位线;出现30°、45°、60°的角,我们会想到作垂直构造直角三角形;出现圆的切线,我们会想到把圆心和切点连接起来,得到垂直……那什么条件下,应该作圆呢?来看看下面几种情况.一、遇到旋转构造圆例1如图1,正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm.如果正方形AEFG绕点A旋转一周,设C、F两点之间     

中点四边形的探究

顺次连接四边形四边中点所得的四边形,我们称为中点四边形.中点四边形的形状由原四边形对角线之间的数量和位置关系决定,下面分类进行说明: 一、对角线的数量关系和位置关系为任意 如图1,已知:四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.四边形EFGH是什么特殊四边形?为什么? 探究:连接AC、BD.因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,所以EF、GH分别是△ABC、△ADC的中位线,则EF// AC,GH//AC,所以EF∥GH,用同样的方法可得EH∥FG.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得,四边形EFGH是平行四边形.     

交轨法解圆锥曲线弦中点问题

有关圆锥曲线弦的中点问题解法不少。但不论什么条件,中点一定是此弦与此弦平行的弦的中点轨迹(印圆锥曲线直径,见注)的交点,用此观点解题,可使问题得以简单而明确的解答。诚为大家所熟知的,对斜率为m的平行弦中点的轨迹有以下结果:     

任意四边形面积的簡便求法及其应用

初等几何学中对于正多边形求面积方法是用正多边形规则的性质,直接就可以求出它们的面积来,很方便。然而对于不规则的任意多边形,要想求出它们的面积,目前还没有直接的和简便的方法,往往是把它分成若干个三角形分别求出它们的面积来,再把这些面积相加而得出该任意多边形面积来,这种求任意多边形面积的方法是非常麻烦的。那么对于不规则的任意多边形是否可以找出它们的规律和性质而能直接和简便的求出它们的面积来呢?现在说明如下: 定理:任意四边形面积等于两相隣边中点间之线段与另一边中点至该线段的距离乘积的二倍。     

巧用几何画板 探索优美等式

《中学生数学》杂志2001年11月下期的“智慧窗”栏目刊登过这样一道题目:如右图,E、F、G、H是正方形ABCD各边的中点,不用计算,你能看出四边形PQRS的面积是正方形的几分之几? 今用几何画板探究,得到正方形的又一完美的性质. 打开几何画板,利用旋转工具绘制好右图,同时,设置好以下按钮:     

一道中考面积问题的解答及拓展

<正>遵义市2015年中考数学第18题.如图1,在圆心角为90°的扇形OAB中,半径OA=2cm,C为的中点,D、E分别是OA、OB的中点,则图1中阴影部分的面积为_cm².怎样解决这个问题呢?一般地,解决不规则图形的面积问题,多采用割补法.一、原中考题的多种解答为使解答精炼,减少篇幅,我们先把各种解答中要用到数据,提前一起给出,后面解答     

浅议双曲线的“盲区”

在解决与圆锥曲线的弦的中点有关的问题时,常常用到结论:(1)抛物线y2=2px(p<0)的弦的中点不可能到达抛物线y2=2px(p<0)上和其左边的点;(2)椭圆的弦的中点不可能到达椭圆上和椭圆外部.上述两个区域我们暂且称之为“抛物线的盲区”和“椭圆的盲区”.那么“双曲线的盲区”是什么呢?是双曲线两支之间,还是两支之外?由“特殊化思想”发现“双曲线的盲区”既不是双曲线两支之间,也不是两支之外,那么如何找到双曲线的弦的中点的“盲区”?图1我们先来看下面的问题:已知双曲线的方程为ax22-by22=1(a>0,b>0),定点M(p,q)在双曲线与其渐近线围成的区域(…     

生活中的一两问

买连号好,还是买不连号好? 日常生活中,我们常常可以见到各种各样的奖券、彩票,比如体育彩票、福利彩票、有奖储蓄奖券,等等.购买奖券时到底是买连号好,还是买不连号好呢?到底哪一种中奖概率会大一些呢? 解答疑问前,我们先来看一个简单的例子.     

抓住中点,搭桥引线,好解中考几何题

近几年的中考,几何试题不但份量有所增加,难度也有所增大,错综复杂的已知条件和图形变换往往让学生望而生畏,不知从何处入手.其实,分析题目的核心条件,抓住其中的关键点,努力用好它们,就可以起到事半功倍的效果.现就如何抓住试题中的"中点"这个关键条     

四面体“重心”的探求

陈省身说:“数学是什么?数学是根据某些假设用逻辑的推理得到结论”.在直线(一维空间)上,线段的中点是它的两等分点,即是说中点到一个端点的距离是它到另一个端点距离的一倍;在平面(二维空间)里,三角形的重心是三条中线的交点(三条中线交于一点),重心到各顶点的距离是它到对边中点距离的2