Stabilität einer elliptischen Zylinderschale unter Torsion

Übersicht Die vorliegende Arbeit behandelt die statische Stabilität einer elliptischen, dünnwandigen, isotropen, elastischen Zylinderschale unter Torsion bei vier verschiedenen Arten von Randbedingungen. Die Lösung wird mit Hilfe des Bubnow-Galerkin-Verfahrens gesucht. Manche Ergebnisse der numerischen Lösung sind graphisch dargestellt. Sie zeigen, daß sich die minimale kritische Last bei wachsender Exzentrizität reduziert.

---

Summary The paper deals with the static instability of an elliptic, thin-walled, isotropic, elastic cylindrical shell under torsion for four different sets of boundary conditions. The solution is based on the method of Bubnov-Galerkin. Some numerical results are presented on diagrams. They show that the smallest critical loading diminishes when the eccentricity of the cross-section increases.

     

Non-linear dynamic stability of a simple floating bridge model

Summary This paper deals with a simple fluid-structure interaction problem of floating bridges under step loading with main emphasis on the non-linear dynamic stability of the structure itself after been simulated by a simple discrete mechanical model. The analysis concerns systems which under the same loading applied statically experience a limit point instability. On the basis of a theoretical discussion of the non-linear response of a single degree-of-freedom model simple conditions for an unbounded motion associated with dynamic buckling have been properly established.According to these conditions one can determine the exact dynamic buckling load without solving the strongly non-linear differential equation of motion. Such a load corresponds to that equilibrium point of the unstable (static) post-buckling path for which the total potential energy of the model becomes zero, while at the same time its second variation is negative definite. This load is also a lower bound in case that damping is included in the analysis. The foregoing conditions of static evaluation of the dynamic buckling load do not hold, in general, for limit point systems of two degres of freedom.The above theoretical predictions have been confirmed by means of numerical integration of the correspending non-linear equation of motion.

---

Nichtlineare dynamische Stabilität eines einfachen Pontonbrückenmodells

Übersicht In dem Beitrag wird am Beispiel einer zweigliedrigen Pontonbrücke das Problem der nichtlinearen dynamischen Stabilität bei sprungförmiger Längsbelastung behandelt. Die Wechselwirkung Struktur—Fluid wird dabei durch eine linearisierte Rückstellkraft und eine Ersatzmasse des Fluids modelliert. Die Analysis betrifft Systeme, welche unter gleicher statischer Belastung eine Grenzwertinstabilität erfahren. Auf der Grundlage der nichtlinearen Antwort eines Modells mit einem Freiheitsgrad werden einfache Bedingungen für die unbeschränkte Bewegung verbunden mit dynamischem Knicken angegeben.Mit diesen Bedingungen kann die genaue dynamische Knicklast gefunden werden, ohne daß man die stark nichtlineare Bewegungsgleichung zu lösen hat. Diese Knicklast entspricht dem Gleichgewichtspunkt für den instabilen (statischen) Nachknickpfad, für den die potentielle Energie des Systems verschwindet, während zugleich ihre zweite Variation negativ definit ist. Diese Last ist ebenfalls eine untere Schranke für den Fall des Systems mit Dämpfung. Diese statische Ermittlung der dynamischen Knicklast kann i. allg. nicht auf ein System von zwei Freiheitsgraden übertragen werden.Die analytischen Ergebnisse wurden durch numerische Integration der zugehörigen nichtlinearen Bewegungsgleichung bestätigt.

     

Effect of shear on stability and nonlinear behavior of a rotating rod

Summary The nonlinear equations describing in-plane deformation of a rotating elastic rod, taking into account shear effect, are derived. It is shown that the critical rotation speed is determined from the linearized equation. The nonlinear equilibrium equations are solved numerically and the effect of shear on maximal deflection is studied.

---

Der Einfluß der Schubspannungen auf die Stabilität und das nichtlineare Verhalten einer rotierenden Welle

Übersicht Die nichtlinearen Differentialgleichungen für die ebene Verformung einer rotierenden elastischen Welle mit Schubspannungseinfluß auf die Biegelinie wird hergeleitet. Wir zeigen, daß die kritische Rotationsgeschwindigkeit aus den linearen Gleichgewichtsbedingungen folgt. Die nichtlinearen Gleichungen werden numerisch gelöst und der Schubspannungseinfluß auf die Durchbiegung wird untersucht.

     

Geometrically nonlinear elastic toroidal shells with open profiles—stability analysis and a design concept

Summary The paper deals with the stability and some aspects of optimal design with respect to stability of geometrically nonlinear, elastic toroidal shells with open profiles. Shells rotationally symmetric in the narrower sense (toroidal segments) as well as in the broader sense (toroidal shell-arches), subjected to external pressure or to a combined loading (pressure and overall bending), are considered. The influence of the pressure distribution on its critical value as well as the post-buckling behaviour are discussed for the toroidal segments with various boundary conditions. The instability modes of the shell-arches for linear trajectories of the combined loading are also analysed. A double step parametrical optimization consisting of a midsurface design (1st step) and a design with respect to the thickness of the wall (2nd step) is performed for a toroidal segment. Constant distance between the supports and constant area of the meridional cross-section are applied as the constraints, respectively

---

Geometrisch nichtlineare, elastische toroidale Schalen mit offenem Profil—Stabilitätsanalyse und ein Konzept der Gestaltung

Übersicht Die Stabilität und einige Aspekte der Optimierung in Hinblick auf die kritische Belastung, von geometrisch nichtlinearen, elastischen Toroidalschalen mit offenem Profil werden untersucht. Sowohl die rotationssymmetrischen Schalen im engeren Sinn (Toroidalsegmente) als auch im weiteren Sinn (toroidale Schalenbogen), unter Außendruck oder Außendruck und globaler biegung werden analysiert. Der Zusammenhang zwischen der Außendruck verteilung und dem kritischen Wert des Druckes, aber auch das nachkritische Verhalten werden für die Toroidalsegmente untersucht. Für lineare Trajektorien der komplexen Belastung lassen sich die Formen der Instabilität der toroidalen Schalenbogen ermitteln. Das Konzept der einfachen., zweistufigen, parametrischen Optimierung, derer Bestandteile die Mittelflächengestaltung (erste Stufe) und die optimale Wanddickeauslegung (zweite Stufe) bilden, wird entwickelt, Konstanter Abstand zwischen den Stützen und konstante Fläche des meridionalen Querschnitts bilden die entsprechenden geometrischen Beschränkungen.

     

Angefachte Schwingungen einer elastischen Fahrbahn bei der Überfahrt eines langen Zuges

Übersicht Die ungleichförmige Lastverteilung eines langen Zuges wird durch eine periodische, stetig verteilte Streckenlast modelliert. Diese Last kann bei der Überfahrt über ein balkenförmiges Fahrbahnelement Resonanz und Instabilität der Fahrbahnschwingung hervorrufen. Ihre Amplitude nimmt mit der Zeit und damit auch mit der Läuge des darüber fahrenden Zuges zu. Es wird die Zuglänge bestimmt, bei der eine kritische Schwingungsamplitude erreicht wird. Durch eine geeignete Abstimmung von Fahrbahn- zu Fahrzeuglänge läßt sich die Resonanzanregung wirkungsvoll verringern.

---

Summary The non-uniform mass distribution of a long train is modelled by a periodic continuous load. This moving load can cause resonance and instability of the vibrations of a bridge or a beam-elevated guideway. The amplitude of vibration increases with time, and therefore with the length of the crossing train. An approximation is given for that length where the vibration amplitude reaches some critical value. By suitably relating the beam length to the car length the resonance amplitude can effectively be reduced.

     

Influence of mass distribution on the stability of rods in the presence of polygenic forces

Summary In this paper, the influence of a non-uniform mass distribution on the stability behaviour of a rod subjected to follower forces is investigated. It is assumed that the mass contributes to the dead load of the system but does not affect the bending stiffness of the rod. Using Pflüger's rod as an example, it is shown that although there will always be instability by divergence, additional instability by flutter is possible depending on the way the mass is distributed. Specifically, a condition is studied which ensures the absence of flutter instability. Coresponding conclusions are drawn for a rocket type rod system.

---

Übersicht In dieser Arbeit wird der Einfluß einer nicht gleichmäßig verteilten Masse auf das Stabilitätsverhalten eines Stabes untersucht, der mitgehenden Kräften unterworfen ist. Es wird angenommen, daß diese Masse wohl zur Last des Stabes, aber nicht zu seiner Biegesteifigkeit beiträgt. Indem der Pflügersche Stab als Beispiel gewählt wird, wird gezeigt, daß obwohl immer Instabilität in der Form von Divergenz auftreten wird, zusätzliche Instabilität in der Form von Flattern möglich ist. Diese Möglichkeit hängt von der Art und Weise ab, in der die Masse verteilt ist. Insbesondere wird eine Bedingung in den Untersuchungen hervorgehoben, die garantiert, daß kein Flattern auftreten wird. Entsprechende Schlüsse werden für ein raketenähnliches Stabsystem gezogen.

---

---

The support of this research by the National Research Council, Canada, under grant No. A 7297 is gratefully acknowledged.     

Pflüger rod with shear and extensibility

Summary The stability of a thin elastic rod loaded with non-conservative tangentially distributed and axial compressive force is analyzed. The axial compressive force has constant and periodic component. Also it is assumed that the rod axis is extensible and shear stress effects are taken into account. The in-plane vibrations and stability of the rod are analyzed. The critical load is also determined.

---

Pflüger Stab mit Schubspannungsinfluß und dehnbarer Achse

Übersicht Es wird die Stabilität eines dünnen Stabes, der durch eine nichtkonservative Tangential-und eine Längskraft beansprucht wird, betrachtet. Die axiale Längskraft besitzt eine Konstante und eine periodische Komponente. Es wird angenommen, daß die Stabachse dehnbar ist; der Schubspannungseinfluß wird berücksichtigt. Es werden die ebenen Schwingungen und das Stabilitätsverhalten untersucht; ebenso wird die kritische Last ermittelt.

     

Stability of low Reynolds number flow with viscous heating

Summary The stability of fully developed plane Couette flow and pipe flow with viscous heating is studied at low Reynolds number for a Newtonian liquid with a temperature-dependent viscosity. The solution is obtained by a direct integration method of the eigenfunction equations, with eigenvalues located in the complex plane by means of the argument principle of complex variable theory. An instability will occur in plane Couette flow, but outside the parameter range which will be encountered in practice. There is no comparable instability in pipe flow. It can be concluded that a thermal mechanism does not cause the low Reynolds number instabilities observed in polymer processing operations.

---

Zusammenfassung Für eine newtonsche Flüssigkeit mit temperaturabhängiger Viskosität wird die Stabilität der voll entwickelten ebenen Couette-Strömung und Rohrströmung bei niedrigen Reynolds-Zahlen untersucht. Die Lösung wird durch direkte Integration der Eigenwert-Gleichungen gewonnen, wobei das Argument-Prinzip der Funktionentheorie auf die in der komplexen Ebene gelegenen Eigenwerte angewandt wird. In der ebenen Couette-Strömung wird eine Instabilität gefunden, jedoch außerhalb des in der Praxis realisierten Parameter-Bereichs. In der Rohrströmung gibt es dagegen keine vergleichbare Instabilität. Man kommt zu dem Schluß, daß thermische Mechanismen nicht für die in Polymer-Verarbeitungsprozessen beobachteten bei niedrigen Reynolds-Zahlen auftretenden Instabilitäten verantwortlich gemacht werden können.

---

---

With 6 figures and 1 table     

On the parametric stability of a Timoshenko beam subjected to a periodic axial load

Summary The dynamic buckling of a hinged bar under harmonic axial load is studied using Timoshenko's beam theory and considering the effects of longitudinal vibrations. Several new types of parametric resonances were found. The influences of the more accurate Timoshenko beam theory on the instability regions found with the Bernoulli-Euler theory is also discussed.

---

Übersicht Die dynamische Stabilität eines gelenkig gelagerten Balkens mit harmonischer Axiallast wird mit Hilfe der Timoshenkoschen Balkentheorie und unter Berücksichtigung der Längsschwingungen untersucht. Verschiedene neue Arten von parametrischen Instabilitäten konnten gefunden werden. Der Einfluß der genaueren Timoshenkoschen Balkentheorie auf die sich aus der Bernoulli-Eulerschen Theorie ergebenden Instabilitätsbereiche wird diskutiert.

---

---

Visiting Professors at COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brazil.     

Dynamic stability of discrete spherical structural systems in fluid media

Summary The dynamic response of a two degree of freedom spherical structural system immersed in viscous fluid media is studied with the fluid reactions obtained byBasset included in the differential equations of motion. Closed form solutions for the response of such systems are presented and a dynamic stability criterion based on the form of the solutions is developed. The solutions and the stability criterion are applicable to the limiting case when the system is surrounded by a vacuum. The various regions of stability and instability are delineated, and it is shown that the type of instability is significantly influenced by the physical properties of the surrounding fluid medium.

---

Übersicht Es wird das Verhalten eines mechanischen Systems von zwei Freiheitsgraden untersucht, das aus zwei miteinander verbundenen, kugelförmigen Massen in einer zähen Flüssigkeit besteht. Dabei werden die Zusatzmassen der mitbewegten Flüssigkeit nachBasset in den Bewegungsgleichungen berücksichtigt. Es werden geschlossene Lösungen für die Bewegungen angegeben und daraus die Stabilitätsbedingungen ermittelt. Lösungen und Stabilitätsbedingungen können auch noch auf den Grenzfall eines im Vakuum befindlichen Systems angewendet werden. Die Parameterbereiche für Stabilität und Instabilität werden beschrieben, und es wird gezeigt, daß die Art der Instabilität wesentlich durch die physikalischen Eigenschaften der umgebenden Flüssigkeit bestimmt wird.

---

---

The research upon which this paper is based was supported by the National Science Foundation Grant Nos. GK-479 and GP-2094 to Northwestern University.     

Dynamic equations of spin spacecraft partially containing fluid in the presence of thrust

Summary The dynamic behavior of a spin-stabilized spacecraft containing fluid under the action of thrust is investigated in the present paper. Using Pfeiffer's method, the dynamic equations are given in form of closed ordinary differential equations. The stability of free oscillation of fluid which is composed of sloshing and vortex flow is studied. An exponential instability is detected in the present simulation and both the stable and unstable regions are plotted in a parameter plane. Since the free oscillation is neutrally stable in Liapunov's sense, the appearance of the fictitious instability is discussed.

---

Dynamische Gleichungen eines drall-stabilisierten Raumfahrzeuges mit einem teilweise flüssigkeitsgefüllten Tank unter Schubeinwirkung

Übersicht In dem vorliegenden Beitrag wird das dynamische Verhalten eines drall-stabilisierten Raumfahrzeuges mit einem flüssigkeitsgefüllten Tank unter der Einwirkung eines Schubes untersucht. Mit Hilfe der Pfeiffer'schen Methode erhält man einen Satz von geschlossenen, gewöhnlichen Differentialgleichungen. Zudem wird die Stabilität der freien Schwingung des Fluids, dessen Bewegung sich aus Slosh und Wirbelströmung zusammensetzt, betrachtet. In der vorliegenden Simulation entdeckt man eine exponentielle Instabilität und sowohl die Bereiche stabiler wie instabiler Schwingung werden in der Parameterebene gekennzeichnet. Da die freie Schwingung nach Liapunov von neutraler Stabilität ist, wird das Auftreten der fiktiven Instabilität diskutiert.

     

Ein Beitrag zur Stabilitätstheorie der Wirbelstraßen unter Berücksichtigung endlicher und zeitlich wachsender Wirbelkerndurchmesser

Zusammenfassung Nach dem Bericht über die bekannten Arbeiten über die Stabilitäts-theorie der Wirbelstraßen wird die Vermutung ausgesprochen und begründet, daß der in den bisherigen Theorien nicht berücksichtigte endliche Wirbelkerndurchmesser und seine zeitliche Veränderung einen neuen Einblick in das Stabilitätsproblem der Wirbelstraßen verspricht.Es werden für die einreihige Wirbelstraße Bewegungsgleichungen aufgestellt, linearisiert und durch eine unendliche Reihe gelöst. Die Stabilitätsdiskussion zeigt die Instabilität der einreihigen Wirbelstraße in Übereinstimmung mit der experimentellen Erfahrung.Im Anschluß hieran werden die Bewegungsgleichungen für die beiden Typen der zweireihigen Wirbelstraße angegeben, linearisiert und für den Fall, daß nur ein Wirbel gestört wird, gelöst. Die Diskussion der Lösungen ergibt, daß für die Wirbelstraße mit auf Lücke stehenden Wirbeln für endliche Zeiten ein Stabilitätsgebiet existiert. Es werden spezielle stabile Lösungen angegeben. Für verschwindende Zähigkeit schrumpft das Stabilitätsgebiet auf eine Gerade zusammen, die die alte Stabilitätsbedingung nach Th. v. Kármán darstellt.Die Diskussion der Wirbelstraße mit gegenüberstehenden Wirbeln zeigt das überraschende Ergebnis, daß neben der Instabilität dieser Anordnung für kleine Zeiten bzw. für große Werte des Parameters k=h/l auch ein Stabilitätsbereich existiert, der jedoch nur durch Instabilitätsgebiete hindurch erreicht werden kann.Zum Schluß werden einige Bemerkungen über die Gültigkeit der Theorie und über die Möglichkeiten der experimentellen Verifizierung gemacht.Gekürzte Fassung einer von der Fakultät für Maschinenwesen an der Technischen Universität Berlin-Charlottenburg genehmigten Dissertation (Berichter: Prof. Dr.-Ing. R. Wille, Prof. Dr. phil. E. Mohr).     

The dynamics of a viscoelastic rotor in flexible bearings

Summary The stability of a symmetric, one-disk rotor model in flexible bearings has been analyzed. The viscoelastic property of the shaft complying with a 3-parameter standard model has been taken into account. The existence of an unstable region has been proved analytically. It exists only in the range of small values of the external damping coefficient. The flexibility and damping of the bearings causes a reduction of the unstable region. The stability condition has been derived analytically.

---

Das dynamische Verhalten eines flexibel gelagerten, viskoelastischen Rotors

Übersicht Untersucht wird die Stabilität eines symmetrischen Rotormodells mit einzelner Scheibe und flexibler Lagerung. Dabei wird die Welle durch das viskoelastische Standardmodell mit drei Elementen beschrieben. Die Existenz eines Instabilitätsbereichs wird analytisch nachgewiesen, allerdings existiert er nur für kleine Werte der äußeren Dämpfung. Die Flexibilität und Dämpfung in den Lagern verkleinert den Instabilitätsbereich. Die Stabilitätsbedingung wird analytisch hergeleitet.

     

Über die dynamische Stabilität des Hubschraubers mit angelenkten Flügeln

Zusammenfassung Für den Hubschrauber mit angelenkten Flügeln wird die dynamische Stabilität bei kleinen Störbewegungen aus der Fluglage des Schwebens am Ort untersucht. Bei einem solchen Hubschrauber ist Stabilität praktisch kaum erreichbar, doch lassen sich Maßnahmen angeben, durch welche die Schwingungszeit der selbsterregten Schwingungen des Flugzeuges verlängert und ihre Anfachung verringert wird, so daß dann annähernd Indifferenz vorliegt. Im Gegensatz zu Schrauben mit starr an die Rotorwelle angeschlossenen Flügeln addieren sich die Wirkungen der Kreiselkräfte zweier Schrauben auch bei Gegenläufigkeit der Schrauben und erzeugen bei Drehbewegungen des Flugzeuges eine lineare Dämpfung, die ausschlaggebend für die Stabilitäts- und Steuereigenschaften des Hubschraubers ist. Daß auch bei fehlender Stabilität eine gesteuerte Stabilisierung eines Hubschraubers mit angelenkten Blättern möglich ist, zeigen die erfolgreichen Flüge verschiedener Hubschrauber, vor allem die bekannten Flüge des Fockeschen Hubschraubermusters FW 61.Die vorstehende Arbeit ist eine Mitteilung der Anton Flettner G. m. b. H. Flugzeugbau in Berlin-Johannisthal.     

Plastische Stabilität einer anisotropen Kreiszylinderschale

Übersicht Es wird die statische Stabilität einer axial gedrückten Kreiszylinderschale mit Hilfe der linearen Theorie untersucht. Das Stoffverhalten im plastischen Bereich wird durch ein finites Verzerrungs-Spannungsgesetz beschrieben und entspricht einem anisotropen Material. Bei der Ermittlung der kritischen Last wird der Einfluß des Entlastungsbereiches vernachlässigt.

---

Summary The statical stability of a circular cylindrical shell under axial compression is analized using linear theory. The plastic behaviour of the anisotropic material of the shell is governed by finite stress-strain relation. The influence of the unloading effect is neglected.

     

Die Wirkung äu\erer und innerer Dämpfung auf die Stabilität des Prandtlschen Kragträgers unter mitgehender Momentenbelastung

übersicht über das Prinzip von Hamilton wird das nichtlineare Randwertproblem eines kippenden Kragträgers hergeleitet, der durch ein mitgehendes, zeitunabhängiges Endmoment belastet wird. Die Stabilität des sich einstellenden Gleichgewichtszustandes wird untersucht. Der Einflu\ sowohl äu\erer als auch innerer Dämpfung auf die kritische Last wird eingehend diskutiert.

---

Effects of external and internal damping on the stability of Prandtl's cantilever subjected to a follower bending moment

Summary Using Hamilton's principle the non-linear boundary value problem for lateral buckling of a cantilever beam subjected to a follower time-independent bending moment is derived. The stability of the resulting state of equilibrium is studied. The influence of external and internal damping on the critical load is discussed in detail.

     

Einige Beispiele zur Stabilitätstheorie von Strömungen an konkaven und erwärmten Wänden

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die von H. Görtler aufgezeigte Analogie zwischen der Instabilität laminarer Strömungen an konkaven und erwärmten Wänden gegenüber longitudinalen Wirbeln untersucht. Im Rahmen einer linearisierten Störungstheorie und bei Beschränkung auf kleine Wandkrümmungen und kleine Temperaturdifferenzen erweisen sich die Stabilitätstheorie der Strömungen an konkaven Wänden und die Theorie der thermokonvektiven Stabilität als völlig analoge Fragestellungen. Konkave Krümmung bzw. Wanderwärmung wirken destabilisierend, konvexe Krümmung bzw. Wandkühlung dagegen stabilisierend; dabei kann die stabilisierende Wirkung des einen Effekts durch die destabilisierende Wirkung des anderen überboten werden.Die Analogieaussage wird unter geringen Einschränkungen in Strenge bewiesen. Ferner werden numerische Ergebnisse für den Fall der Strömung zwischen zwei koaxialen, rotierenden Zylindern, der Strömung in einem gekrümmten Kanal und der Grenzschichtströmung an einer konkaven Wand mitgeteilt. Zum Schluß wird die Strömung über eine gegen die Horizontale geneigte und erwärmte Platte untersucht. Die theoretischen Ergebnisse über die instabilste Wirbelanordnung werden mit den experimentellen Werten von T. Terada verglichen. Es ergibt sich für nicht zu dicke Flüssigkeitsschichten gute Übereinstimmung.Aus dem Institut für angewandte Mathematik der Universität Freiburg und dem Institut für angewandte Mathematik und Mechanik der DVL an der Universität Freiburg. Diese Untersuchung wurde vom Wirtschaftsministerium des Landes Baden/Württemberg gefördert.     

On a new “destabilization” phenomenon: effect of rotary damping

Summary In this note we consider the effect of rotary damping on the instability of Beck's column — almost entirely overlooked in the field of nonconservative problems of elastic stability.

---

Zu einem neuen Destabilisierungs-Phänomen: Der Einfluß von Drehdämpfung

Übersicht Behandelt wird der Einfluß von Drehdämpfung auf die Instabilität des Beckschen Stabes, welche bisher bei der Betrachtung nichtkonservativer Probleme der elastischen Stabilität nahezu vollständig unbeachtet blieb.

     

Kinetisches Durchschlagen des schwach gekrümmten Stabes

Zusammenfassung In der Statik ist das Durchschlagen des gekrümmten Stabes ein wohl-bekanntes Stabilitätsproblem. Ein ganz entsprechendes kinetisches Stabilitätsproblem entsteht, wenn der gekrümmte Stab unter der Einwirkung einer schwingenden Querbelastung steht. Mit den Annahmen der technischen Biegelehre und der Kirchhoffschen Näherung für die Stablängskraft kann man zur Beschreibung der Stabschwingungen eine inhomogene nichtlineare Integrodifferential-gleichung für die Biegeschwingung allein aufstellen. Ein Lösungsansatz mit zeitabhängigen Funktionen führt diese partielle Integrodifferentialgleichung für eine beliebige Lastverteilung auf ein System nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zurück. Aus diesem System lassen sich die erzwungenen Schwingungen mit einer Störungsrechnung berechnen; sie haben im wesentlichen den gleichen Frequenz-Amplituden-Zusammenhang, den man schon vom. Duffingschen Schwingungsproblem her kennt. Das Stabilitätsverhalten dieser Schwingungen ließ sich mit Hilfe der Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude näherungsweise ebenfalls aus den entsprechenden Eigenschaften des Duffingschen Schwingers verstehen. Es sind daher Amplitudensprünge zu erwarten, die sich in einer Weise deuten lassen, die erkennen läßt, daß sich das statische und das kinetische Problem weitgehend entsprechen.Herrn K. von Sanden zum 75. Geburtstag gewidmet     

Free surface instability of a rotating liquid film of a second-order fluid

Summary The free surface instability of a liquid film of an incompressible second-order fluid attached to a rotating circular cylinder is studied with respect to rotationally symmetric infinitesimal disturbances. The surface mode is examined in detail; the shear wave mode is qualitatively discussed. The results show that for any Reynolds numberR and any surface tensionT, there is always a range of wave numberm for which the flow is unstable. The dependence of the growth rate as well as the critical wave numberm, on the normal stress coefficients of the fluid is studied quantitatively for small as well as for finiteR. It is found that while the first normal stress coefficient has no effect on the stability of the flow, the presence of the second normal stress coefficient always tend to make the flow less stable (i.e., larger growth rate). The critical wave length (which corresponds to the mode of maximum instability and thereby determines the wave length of the breaking apart of the rings formed on the cylinder) is longer for a second-order fluid than for a Newtonian one. These effects (larger growth rate and longer critical wave length) are more pronounced asR increases and/orb (the thickness parameter) increases for a fixed surface tension parameterS. Surface tension is always stabilizing. Decreasing surface tension increases the growth rate, more so for larger magnitude of the second normal stress coefficient.

---

Zusammenfassung Die Instabilität der freien Oberfläche eines einem rotierenden Kreiszylinder anhaftenden Flüssigkeitsfilms einer inkompressiblen Flüssigkeit zweiter Ordnung wird gegenüber rotationssymmetrischen infinitesimalen Störungen untersucht. Dabei werden Oberflächenwellen eingehend, Scherwellen dagegen nur qualitativ behandelt. Für jede ReynoldszahlR und für jede OberflächenspannungT gibt es einen Bereich von Wellenzahlenm, für welche die Strömung instabil ist. Für kleine und für endlicheR wird die Abhängigkeit der Zuwachsrate und der kritischen Wellenzahlm _cr vom Normalspannungskoeffizienten der Flüssigkeit quantitativ untersucht. Während der erste Normalspannungskoeffizient keinen Einfluß auf die Stabilität der Strömung zeigt, hat der zweite Normalspannungskoeffizient die Tendenz, die Strömung weniger stabil zu machen (z. B. größere Zuwachsraten zu liefern). Die kritische Wellenlänge (die der maximalen Instabilität entspricht und infolgedessen die Trennung der sich auf dem Zylinder bildenden Ringe verursacht) ist für die Flüssigkeit zweiter Ordnung größer als für die newtonsche Flüssigkeit. Diese Erscheinungen (größere Zuwachsrate und größere kritische Wellenlänge) sind für konstanten OberflächenspannungsparameterS mit zunehmendemR und/oder zunehmendemb (Dickenparameter des Flüssigkeitsfilms) stärker ausgeprägt. Die Oberflächenspannung wirkt immer stabilisierend. Eine Abnahme in der Oberflächenspannung erhöht die Zuwachsrate, dieser Effekt ist für große Werte des zweiten Normalspannungskoeffizienten stärker ausgeprägt.

---

---

With 12 figures