向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…     

“|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|”的补注及应用

“|a| - |b|≤ |a±b|≤ |a| + |b|”是高中数学新教材第二册 (上 )第 2 0页的一个重要不等式定理 ,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具 ,课本限于篇幅 ,主要介绍它在证明不等式中的应用 ,而其它方面很少涉及 ,且何时取等号也未指明 ,本文对此加以补充并例谈其应用 .1　定理的补注1)等号成立的条件|a +b| =|a| + |b|当且仅当ab≥ 0 ;|a -b| =|a| + |b|当且仅当ab≤ 0 ;|a| - |b| =|a +b|当且仅当 (a +b)b≤ 0 ;|a| - |b| =|a -b|当且仅当 (a -b)b≥ 0 .2 )不等号成立的条件|a +b| <|a| + |b|当且仅当ab <0 ;|a -b| <|a| + |b|当且仅当ab …     

例析向量在不等式中的应用

向量作为新增内容进入中学教材,不仅丰富了中学数学知识体系,而且为我们解决问题提供了一种全新的、重要的数学方法.由平面向量扩充到了空间向量,将学生的思维从二维空间一下子升华到了三维甚至多维空间.利用向量的理论和方法可以有效地解决平面几何、立体几何、三角、不等式、复数以及物理学中的诸如力、速度、加速度、位移等许多问题.笔者在此就向量在不等式中的有关应用略作归类,以供读者参考.一、向量基本不等式:|a·b|≤|a||b|的应用下面分平面向量和空间向量进行研究.1.在平面设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2 y1y2,由|a·b|≤|a||b…     

运用|a·b|≤|a||b|时应注意的问题

|a·b|≤|a||b|是向量数量积的重要性质,常利用它求数量积的最大值、最小值和解决一些函数值域、最值以及不等式证明等问题;应用时若不注意相应条件,常出现一些错解,现举例如下:……     

关于|a+b|=|a|+|b|及|a-b|=|a|-|b|的应用

1.在重要不等式|a+b|≤|a|+|b|中,当且仅当a≥0,b≥0或a≤0,b≤0时等号成立,即|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0。因此|a+b|<|a|+|b|的充要条件是ab<0。同样,等式|a_1+a_2+…+a_n|=|a_1|+|a_2|+…+|a_n|成立的充要条件是a_1,a_2,…,a_n有相同符号。这一简单事实,在数学中有着重要的应用。 1)在解方程中的应用解方程|lg(2x-3)+lg(4-x~2)|==|lg(2x-3)|+|lg(4-x~2)|。解:根据|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0,所以原方程等价于不等式 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0。解这个不等式: lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 2x-3>0 4-x~2>0     

ab≥0■|a+b|=|a|+|b|

初中代数介绍有理数(后来为实数)加法时,法则分两部分。第一是符号法则,第二是绝对值法则。关于后者,最后可归纳成: ab≥0|a+b|=|a|+|b|。可逆的箭头,表示可逆的法则。例1 已知同号两数a、b的绝对值为2和5,求a+b。解:ab>0得 |a+b|=|a|+|b|=2+5=7。所以有 a+b=±7。以上是法则的正用,以下看法则的逆用,     

1.|a b|>|a| |b|

有众所周知}a bl(la! !b{,在这里我们却}a bl》ial }b}.诸肴如下证明:*为一且二_八亘万_压二画三二一’一’I口 bl可(a 吞)1心(a b)(a b) ︼一人U. 一t,一,一.办 一.︸︺叭一办一 一‘U一之一al一一叭U李,一b 叼a︸ 一a_旦口十石 。 b不),雌 !b}}a b}篇-_I,口。、乓乏‘石不十石落j, (l) (2)得{a} }b}}a b} a-下-r十a十O:}a bl》}a! b。 b}bl...‘l,‘ ‘1.|a b|>|a| |b|@曹存富$宁波市北仓区教研室~~…     

探究向量模的求法

题目（苏北2013年调研）已知平面向量a,b,c两两所成角为2π/3,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析求向量的模,利用模长公式|a|=a⁽1/（?）=x²+y^21/2解决.解|a+b+c|= a+b+c^1/2=（?）=3^1/33.进一步思考变式1已知平面向量a,b,c两两所成角相等,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析本题得了解对向量的夹角的定义,夹     

用向量坐标给出的三角形面积公式

利用高中数学新教材中的平面向量知识,我们可以用向量坐标给出一个求三角形面积的新公式. 在△ABC中,设CA=(a1,b1),CB=(a2,b2),则△ABC面积为S△=1/2|a1b2-a2b1|.     

教材中一些不等式的向量证法

教材中某些含有乘积之和或者乘方之和的不等式 ,可根据向量数量积的坐标表达式的结构特征构造向量证明 ,下面试举几例 ,供同学们学习时参考 .例 1　如果a ,b∈R ,求证 :a2 +b2 ≥ 2ab(当且仅当a =b时取“ =”号 ) .证明　构造向量 p =(a ,b) ,q =(b ,a)由 p·q≤ |p||q|有2ab≤a2 +b2 .当且仅当 p ,q同向时 ,取“ =”号 .注意到 |p|=|q|,由 p ,q同向有p =q ,即　a =b .故当且仅当a =b时 ,取“ =”号 .例 2　求证 :a +b22 ≤ a2 +b22 .证明　构造向量p =12 ,12 ,q =(a ,b) ,由 ( p ,q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有　 a +b22 ≤a2 +b22 .例 3　已知a …     

整式的乘除目标检测(二)

一、填空(每小题3分,共24分)1.a~5·a~3 a~4·a~4=__;-b~3·(-b)~5·(-b)~2=__;2.a~5÷(-a)~2÷(-a)~3=__;(-a-b)(b-a)=__;3.a~2 b~2=(a b)~2 __;(a-b)~2=(a b)~2 __;4.1001×999=__;(-0.25)~(1000)×2~(2000)=__;5.用科学记数法表示:     

Pedoe不等式的向量证明

设△ABC与△A1B1C1的边分别为a、b、c与a1、b1、c1,面积分别为△与△1,则有a2(b21 c12-a12) b2(c12 a12-b21) c2(a12 b12-c12)≥16△.△1.当且仅当△ABC∽△A1B1C1时取等号.这就是著名的Pedoe不等式.关于它的证明可参见文[1].本文试图给出Pedoe不等式的一个向量证明.图1证明将△ABC与△A1B1C1如图放置.记BC=a,AC=b,AB=cB1C1=a1,A1C1=b1,A1B1=c1则a=b-c,a1=b1-c1,c1=λc(λ>0)且有:△=12|b×c|,△1=21|b1×c1|.b12 c21-a12=b12 c12-a12=b12 c12-(b1-c1)2=2b1.c1.c12 a21-b12=c12 a12-b12=c12 (b1-c1)2-b12=2c12-2b1.c1a12 b12-c…     

一个向量模的多种解法

<正>向量a的模是指向量a的长度即向量a的大小,记作|a|.对|a|有两种基本的思考方法,一是通过|a|2=a·a=a2,进行向量的数量积运算,二是若a=(x,y),则|a|=x2+y2,进行向量的坐标运算,这是处理与长度(模)有关问题的主要依据.     

不等式“|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|”应用例析

不等式“|a|- |b|≤ |a b|≤ |a| |b|[1] ”(以下简称 [1])是高中数学的一个重要知识点 ,考试大纲说明中对此有明确要求 :会应用不等式“|a|- |b|≤ |a b|≤ |a| |b|”.事实上 ,如何有效地、灵活地应用不等式 [1]证明有关综合性代数推理题是高中数学的难点 .以下简述知识要点     

向量的数量积与数的乘法的若干区别

1)两向量的数量积是个数量 ,而不是向量 .它的值为两向量的模与其夹角余弦的乘积 ,其符号是由夹角θ(0≤θ≤π)决定的 .θ为锐角 ,数量积为π ;θ为钝角 ,数量积为负 ;θ为直角 ,数量积为零 ;θ =0 ,a·b =|a| |b| ,a·a =|a| 2 ,(a±b) 2 =a2 ± 2a·b +b2 =|a| 2 ±2 |a| |b| + |b| 2 ,(a +b)·(a -b) =a2 -b2 =|a| 2 -|b| 2 ;θ =π ,a·b =- |a| |b| .2 )对于实数a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0可推出b =0 .而对向量a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0不能推出b =0 .这是因为任一与a垂直的非零向量b ,都有a·b =0成立 .3)已知非零实数a ,b ,c,则…     

推广一个法向量 求解一类高考题

一、缘起 容易知道,在平面直角坐标系xOy中,过点A(a,0)和点B(0,b)的直线x/a+y/b=1(其中ab≠0)的一个法向量是n=(1/a,1/b). 把此结论推广到空间直角坐标系O-xyz中思考,就有以下结论. 二、定理 在空间直角坐标系O-xyz中,过三点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(其中abc≠0,ab≠0)的平面ABC的一个法向量是n=(1/a,1/b,1/c). 证明:因为→AB=(-a,b,0),则由n·→AB=(1/a,1/b,1/c)·(-a,b,0)=-1+1+0=0,知n⊥→AB.     

斜率公式与两个不等式

关于绝对值不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|的另证.当b=0时,不等式显然成立.当b≠0时,它等价于-|b|≤|a b|-|a|≤|b|-1≤|a |b|b|-|a|≤1-1≤||(aa b|b)--|aa||≤1|(aa b|b)--|aa|≤1.图1 y=|x|于是作y=|x|的图象如图1.易见MN所在直线的斜率k满足|k|≤1,故不等式得证.2不等式1 x≤1 21x(x>0)的“斜率”表示.此不等式等价于1 x-1(1 x)-1≤21.它表示过P(1 x,1 x),Q(1,1)两点的斜率不小于y=1 x在Q(1,1)点的切线的斜率.3如何比较23与32大小.令f(x)=lgxx则f(x)=lgxx--00,它可视为y=lgx图象上的动点(x,lgx)与原点连线的斜率,作出y=lgx的图象易…     

由三角形角分线想起

在学完向量的知识之后 ,发现向量可以讨论一些平面几何的问题 ,那么能否证明三角形的角分线定理 ?命题 1　用向量证明三角形角分线定理 .证明　如图 1 ,已知△ABC ,AD为∠BAC的角平分线交BC于D ,试用向量证图 1　命题 1图明 :ABBD=ACCD.证明　设AB =a ,AC =b ,BD =c,DC =d ,由∠BAD =∠CAD ,cos∠BAD= a·AD|a|·|AD| ,cos∠CAD =b·AD|b|·|AD| ,得a·ADa =b·ADb ( 1 )由BD与BC在同一直线上 ,设BD =λBC ,即 |c| =λ|BC| ,λ =c|c| + |d| ,得　　AD =a +c =a +λBC =a +λ(b -a) ( 2 )将 ( 2 )代入 ( 1 ) ,得　…     

一道课本题的推广

新教材第二册上P30复习参考题第 8题 :已知a >b >c ,求证 :1a -b+ 1b -c+ 1c -a>0 .现对该题进行如下推广 .推广 1　若a >b >c ,m ,n均为正数 ,则 ma -b+ nb -c+ (m +n) 2c-a ≥ 0 .证　∵ (a -c ) ( ma -b + nb -c) =m(a -b +b -c)a -b + n(a -b +b -c)b -c =m +n + [m·b -ca -b+n·a -bb -c]≥m +n + 2mn =(m +n) 2 ,故 :ma -b+ nb -c+ (m +n) 2c -a ≥ 0 .推广 2　若a1>a2 >a3 >… >an >an + 1,则1a1-a2+ 1a2 -a3+… + 1an-an + 1+ n2an + 1-a1≥ 0证　利用柯西不等式 .∵ (an -an + 1) ( 1a1-a2+ 1a2 -a3+… +1an-an + 1) =[(a1-a2 ) …     

构造向量解题

文 [1 ]举例说明了平面向量在中学数学中的广泛应用 .作为文 [1 ]的补充 ,本文再举几例 ,说明构造向量 ,利用向量的内积在中学数学其它一些方面的应用 .1　求值例 1　设 a,b,c,x,y,z均为实数 ,且a2 b2 c2 =2 5,x2 y2 z2 =3 6,ax by cz =3 0 .求 a b cx y z的值 .解　由题设条件 ,考虑构造向量 p=(6a,6b) ,q=(5x,5y) .由 (p.q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有 90 0 (ax by) 2 ≤ 90 0 (a2 b2 ) (x2 y2 ) ,即　 (3 0 - cz) 2 ≤ (2 5- c2 ) (3 6- z2 ) ,变形整理得　 (5z - 6c) 2≤ 0 ,∴　 5z =6c.同理　 5x =6a,　 5y =6b.∴…