一道有趣的排列组合应用题:正方体上有多少对异面直线

确切地说:正方体上的棱、面对角线,体对角线等三种线中有多少对异面直线? 解法一:这三种线可分为六种情况:棱与棱、棱与面对角线、棱与体对角线、面对角线与面对角线、面对角线与体对角线以及体对角线与体对角线等,下面就这六种情况一一加以讨论。一、正方体上的棱与棱组成的异面直线对如图1,与棱AA_1组成的异面直线对有     

正方体中异面直线研究报告

类别 异面直线种类组成数目 (对 )角的大小距离辅助图例正方体棱 :12条面对角线 :12条体对角线 4条(设棱长为 1)棱与棱 12× 4÷ 2 =2 490° 1棱与面对角线 12× 6=7245° 190° 22棱与体对角线 6× 4=2 44 5° 22面对角线与面对角线 12× 5÷ 2 =3 090° 160° 33面对角线与体对角线 12× 2 =2 490° 6正方体中异面直线研究报告@周敏$江苏省东台中学高二(10)班!(224200) @鲁洁$江苏省东台中学高二(10)班!(224200) @邹施凯$江苏省东台中学高二(10)班!(224200)指导教师 @杨晓翔$江苏省东台中学高二(10)班!(224200)指导教师…     

正方体中的异面直线趣谈

正方体的12条棱、12条侧面对角线、4条体对角线可构成多少对异面直线呢?它们的距离及所成之角又如何计算?仔细研究是颇有趣味的。下面我们将分别予以讨论。一棱与棱构成的异面直线正方体的每一条棱有四条与其异面的棱,     

正四面体中异面直线研究报告

分析　类别 异面直线种类组成数目角的大小距离辅助图例棱 (对角线 ) :6条面高 :12条(设棱长为 2 )棱与棱 6× 1÷ 2 =3 90° 2棱与面高 6× 4=2 4ａｒｃｃｏｓ 362 2 211面高与面高 12× 6÷ 2 =3 6ａｒｃｃｏｓ162 703 5ａｒｃｃｏｓ23 1正四面体中异面直线研究报告@仲思超$江苏省东台中学高二(10)班!(224200) @赵剑$江苏省东台中学高二(10)班!(224200) @邹施凯$江苏省东台中学!(224200)指导教师 @杨晓翔$江苏省东台中学!(224200)指导教师…     

运用化归思想解排列组合题

例 1　正方体八个顶点的连线中 ,异面直线有多少对 ?分析　因为一个三棱锥各对棱所在直线均异面 ,有 3对异面直线 .受这一结果的启发 ,原问题可化归为 :正方体八个顶点中任取 4个点 ,可构成多少个三棱锥 ?于是因由正方体的顶点构成的三棱锥的个数为Ｃ4 8- 12 ,故所求异面直线的对数为 :3(Ｃ4 8-12 ) =174 (对 ) .例 2　圆内接八边形的任意三条对角线不在圆内共点 ,那么所有对角线在圆内共有多少个交点 ?分析　因为圆内接四边形的两条对角线的交点位于圆内 ,故问题化归为只需考虑以圆内接八边形的顶点为顶点可构成多少个圆内接四边形 .因从圆…     

2002年全国各地高考数学模拟试题集锦——立体几何

选择题　1.(黄冈高中 6月模拟题 )关于异面直线ａ ,ｂ ,有下列命题 ,其中正确的命题是 (　　 )(Ａ)过空间任意一点 ,可作一个平面与ａ ,ｂ都平行 .(Ｂ)过空间任意一点 ,可作一个平面与ａ ,ｂ都垂直 .(Ｃ)过ａ有且仅有一个平面平行于ｂ .(Ｄ)与ａ ,ｂ都相交的两条直线也是异面直线 .2 .(湖北八校联考题 )从正方体的棱和各个面上的对角线中选出ｋ条 ,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线 ,则ｋ的最大值为 (　　 )(Ａ) 2 .　　　 (Ｂ) 3.图 1　第 3题图(Ｃ) 4 .　　　 (Ｄ) 6 .3　 (黄冈高中 6月模拟题 )如图 1,已知Ａ—ＢＣＤ是棱长都…     

直线与平面

一、选择魔(有且只有一个选择支正确) 1.下面的判断中正确的是().. (A)任意三点确定一个平面. (B)一条直线和任意一点确定一个平面. (C)两条互相垂直的直线确定一个平面. (D)和同一条直线都相交的三条平行线确定一个平面. 2.正方体的一条对角线与它的棱共可组成多少对异面直线(     

一道立几题的多种解题思路

题目已知正方体B1D(如图1)的棱长为1,求对角线DB1和棱CC1之间的距离. 显然,对角线DB1与棱CC1异面.异面直线之间距离的定义,指引我们去寻找公垂线,于是得到了解法一. 解法一如图1,取DB1中点O,CC1中占M.连接OM、DM、B1M,在△MDB1 中,MD=MB1(对称相等),所以MO⊥DB1,同理MO⊥CC1,即OM是异面直线DB1、CC1的公     

应用四面体模型巧解异面直线计数问题

<正>在四面体ABCD中,共有4个顶点,6条棱,并且恰有3对异面直线.这是一个简单的事实.在有关异面直线的计数问题中,若能从几何体中分离出四面体,则可方便地解决异面直线的计数问题.例1 (2005年高考题)过三棱柱任意两个顶点的直线共有15条.其中异面直线有( ).     

空间的角

空间中角的概念 ,包括异面直线所成的角 ,直线和平面所成的角和二面角 .1　异面直线所成的角根据异面直线所成角的定义 ,平移其中的一条使之和另一条相交 ,就可以得到异面直线所成的角 .而平移通常是以作平行线的方法来达到这一目的 .图 1　例 1图例 1　 ( 1989年北京高一竞赛题 )如图 1,三棱柱ＡＢＣ -Ａ′Ｂ′Ｃ′中 ,全部九条棱长都等于 1,且∠Ａ′ＡＢ =∠Ａ′ＡＣ =∠ＢＡＣ ,Ｐ为侧面Ａ′ＡＢＢ′的对角线Ａ′Ｂ上的一点 ,Ａ′Ｐ =33,连ＰＣ′ ,求异面直线ＰＣ′与ＡＣ所成角的度数 .解　由Ａ′Ｃ∥ＡＣ ,故∠Ａ′Ｃ′Ｐ的度数即为异…     

求异面直线间距离的五种方法

与两条异面直线都垂直相交的直线叫两异面直线的公垂线。公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度叫两异面直线间的距离。如何求异面直线间距离的问题,学生往往感到困难,为突破这一难点,应指出求昇面直线间距离的几种常用方法。用初等数学方法解决这一问题笔者认为有五种方法可循,今举例介绍这五种方法,供选用参考。度。 (一)直接法直接求出公垂线在两异面直线间的线段长例1.求棱长为a的正四面体的对棱间距离。解:设正四面体V-ABC的棱长为a,取AB中点D,VC中点E,连VD、CD、DE     

立体几何第一章教学扎記

(一) 教学中易于发生困难的问题一、对于概念性质、定理等理解不透,因而掌握不够巩固,运用不够确切。 1.不习惯使用“确定平面的条件”就直接引用平面几何中有关的性质与定理,造成逻辑推理中的缺陷或错误。 2.易于发生概念间相互混淆。例如把异面直线的距离误认为是“两异面直线的公垂线”或“同垂直于两异面直线的线段”等。 3.叙述不确切,例如将二面角的平面角说为:“从二面角的棱上任意一点向两个面作垂线……”或“从二面角的棱上一点向棱作垂线……”等。 4.不善于从概念出发来确定元素间的位置关系,有时造成束手无策。例如习题二第12(5)题常有一部     

异面直线所成角的解法

异面直线所成角是确定两异面直线位置关系两要素之一 ,是立体几何的一个重点 ,同时也是一个难点 .求异面直线所成角的基本方法是根据异面直线所成角的定义求解 ,难点在于如何找到刻划异面直线所成角的平面角 .下面以高考题为例探讨异面直线所成角的解法 .1　面内平移法面内平移法是求异面直线所成角的基本方法 .条件是两异面直线中的一条在一已知平面内 ,而另一条与此平面有一交点 .作法是过此交点在已知面内作面内直线的平行线 ,从而得异面直线所成的角 .图 1　例 1图例 1　 (1992年全国高考题 )在棱长为 1的正方体ＡＢＣＤ Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中…     

对一道高考试题的再研究

<正>1试题赏析高考题1 (2010年江西卷理科第10题)过正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA_1所成的角都相等,这样的直线l可以作()．(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条试题虽小但值得研究与思考．本题很好地考查了空间直线、直线与平面、线线角的概念的理解、空间想象能力、问题的转化与化归能力、分类讨论的思想以及知识的迁移能力等．本题解题思路广,解题方法多．     

直线和平面

一、选择题 (1)四条直线两两相交,交点各异,则四条直线的位置关系是( ) (A)必在同一平面内; (B)有某两条共面,其余两条异面; (C)任意两条都异面; (D)不能确定。     

构造法解最值问题

构造法是通过构造辅助量 ,实例、反例、模型、图形、函数和方程等来解决数学问题的一种思维方法 .经常有意识地用构造法解题 ,可以培养思维的敏捷性和创造性 ,提高观察问题、转化问题和解决问题的能力 ,下面用构造法解几道最值问题 ,以便从中了解一些构造思路和技巧 ,同时也给最值问题的研究注入新的活力 .1　锁定范围 ,构造特例验证例 1　从正方体的棱和各个面上的对角线中选出ｋ条 ,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线 ,则ｋ的最大值为 (　　)(Ａ) 2 .　 (Ｂ) 3.　 (Ｃ) 4.　 (Ｄ) 6 .图 1　例 1图分析 :若存在 5条或5条以上满足…     

怎样计算两条异面直线之间的距离

空间两条不重合直线的位置关系有以下三种情况:在同一平面内有(1)相交直线和(2)平行直线;不能在同一平面内的有(3)异面直线。要确定两条相交直线之间的相关位置,只要确定这两条相交直线所成的角就够了.但要确定两异面直线的相关位置,就必须引进两条直线的交角和它们之间的距离两个概念,借助于这两个数来恰切地确定它们的位置关系.所谓异面直线间的距离是指它们间     

判定异面直线的一种方法

直接利用定义来判断两条直线是否异面直线是较为困难的 .但《立体几何》(必修本 .下同 )第 1 0页上的如下例题 :“过平面外一点与平面内一点的直线 ,和平面内不经过该点的直线是异面直线”是关于异面直线的很好的一种判别法 .可以认为此例题实际上就是教材中给出的一条关于异面直线的判定定理 .正确 ,灵活地运用它 ,能使一些有关异面直线的判断和证明变得十分简洁、明了 ,且别具一格 .下面举例证明 .例 1　 (课本Ｐ1 1第 3题 )　说出正方体中各对线图 1　例 1图段的位置关系 :1 )ＡＢ和ＣＣ1 ;2 )Ａ1 Ｃ和ＢＤ1 ;3)Ａ1 Ａ和ＣＢ1 ;4)Ａ1 Ｃ1…     

简约而不简单的数学本真课堂教学——观数学公开课“异面直线所成的角”后的思考

数学课程标准对“异面直线所成的角”提出了明确要求:会用反证法证明两条直线是异面直线,会求简单情形下的异面直线所成的角,通过演绎法对空间有关问题进行证明和推算,发展演绎推理能力.这节公开课的教学目标:(1)正确理解两条异面直线所成角的定义,初步掌握两条异面直线所成角的计算方法;(2)通过对异面直线所成角的学习,体会空间图形与平面图形的联系与区别,感悟化归思想的合理应用,提升空间想象能力;(3)形成自主学习、自主建构新知识的能力,并在学习过程中体验数学语言的严谨性和数学语言的美.教学重点是异面直线所成角的定义及其计算方法,难点是异面直线所成角的计算.     

借助第三平面作无棱二面角的棱

同学们对二面角历来都感到困难 ,尤其是无棱的二面角 ,更感到无章可循 .本文将从同时与二平面相交的第三平面入手考虑 .因为二平面与第三平面分别有一条相交直线 ,又这两条直线同时在第三平面内 ,其位置关系只有两种情况 :相交与平行 .若两条直线相交 ,由公理2知 ,交点必在二平面的交线上 ,由此可作出棱 ;若两条交线平行 ,由线面平行的判定和性质知 ,两条直线必与二平面的交线平行 ,由此图 1可作出棱 .例 1　底面是直角梯形的四棱锥Ｓ ＡＢＣＤ ,∠ＡＢＣ =90° ,ＳＡ⊥底面ＡＢＣＤ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =1,ＡＤ =12 ,求面ＳＣＤ与面ＳＡＢ所…