Regularity of weak solutions of one-dimensional two-phase Stefan problems

Sunto Si considera il problema di Stefan unidimensionale a due fasi e si dimostra l'esistenza di soluzioni classiche sotto ipotesi minimali sui dati (continuità a tratti e limitatezza). Nelle stesse ipotesi si dimostra che tali soluzioni dipendono in modo continuo dai dati, conseguendo un risultato che è più generale anche di quello noto per le soluzioni deboli.

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Entrata in Redazione il 22 dicembre 1976.

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Work partially supported by the Italian C.N.R.     

On a class of singular nonlinear parabolic variational inequalities

Summary We study a class of singular or degenerate parabolic variational inequalities, containing some nonlinear operators. We prove an existence and uniqueness result for weak solutions, in the framework of suitable Banach weighted spaces.

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Sunto Si studia una classe di disequazioni variazionali paraboliche singolari o degeneri, contenenti operatori non lineari. Si dimostra un risultato di esistenza e unicità per soluzioni deboli, nell'ambito di opportuni spazi di Banach con peso.

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This work was supported in part by the «Istituto di Analisi Numerica del C.N.R.» (Pavia, Italy), the G.N.A.F.A. of the C.N.R. and the Ministero della Pubblica Istruzione (Italy) (through 60% and 40% grants).     

Sur l'analyticité des solutions de certaines équations aux opérateurs pseudodifférentiels

Sommaire Dans ce travail on obtient un résultat concernant l'analyticité des solutions de certaines équations où interviennent certains opérateurs pseudodifférentiels du type elliptique, tels qu'ils ont été definis dans [1].

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Sunto In questo lavoro si ottiene un risultato concernente l'analiticità delle soluzioni di certe equazioni nelle quali intervengono certi operatori pseudo differenziali di tipo ellittico.

     

Frontiere minimali con ostacoli

Riassunto Recentemente diversi autori (v. [15], [16], [17], [18], [19], [20]) si sono interessati di problemi di esistenza e di regolarità di soluzioni di problemi variazionali verificanti diseguaglianze. In questo articolo considereremo il caso delle ipersuperfici minimali (di area minima), più precisamente delle frontiere minimali nel senso diDe Giorgi (v. [2] o [3]). Il risultato di regolarità, che è quello che ci pare più interessante, è grosso modo il seguente:frontiere minimali rispetto ad un ostacolo di classe C ¹ sono di classe C¹ in un intorno dell'ostacolo stesso. Il Teorema 2 del § 3 contiene l'enunciato preciso di tale risultato. Nel § 2 si fanno alcune considerazioni sulla validità del teorema di Bernstein per le frontiere minimali, in esso si prova (v. il Teorema 1) che un insieme avente frontiera non vuota minimale inR ⁿ e contenente un semispazio è esso stesso un semispazio. Tale risultato serve per la dimostrazione del teorema 2. Nel § 1 sono contenuti alcuni complementi alla teoria delle frontiere minimali.

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Résumé On considère le problème des hypersurfaces minimales en présence d'obstacles. On prouve le résultat de regularité suivant: ?les hypersurfaces minimales en présence d'obstacles de classeC ¹ sont de classeC ¹ dans un environ de l'obstacle?.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca del C.N.R. nell'anno 1970.     

Pseudodifferential operators of infinite order and Gevrey classes

Summary A class of pseufodifferential operators of infinite order acting on spaces of Gevrey functions and their duals is defined. For the corresponding symbols the rules of the classical symbolic calculus are proved. In particular for operators satisfying an “hipoellipticity condition” a result of propagation of Gevrey regularity, is obtained by proving the existence of a parametrix.

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Riassunto Viene definita una classe di operatori pseudodifferenziali di ordine infinito che agiscono su spazi di funzioni Gevrey e sui loro duali. Per i corrispondenti simboli si provano le regole del calcolo simbolico classico. In particolare per gli operatori che soddisfano una “condizione di ipoellitticità” si ottiene un risultato di propapagazione di regolarità Gevrey, provando l'esistenza di una parametrice.

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Work supported by Ministero della Pubblica Istruzione and G.N.A.F.A. C.N.R., of Italy.     

The dual method in critical point theory. Multiplicity results for indefinite functional

Sunto Si dimostra l'esistenza di soluzioni multiple per l'equazione Lu=A(u) ove L è un operatore indefinito ed autoaggiunto in uno spazio di Hilbert; A è un operatore variazionale, monotono, dispari che «cresce» in maniera opportuna più che linearmente per u . Dal suddetto risultato si deduce, tra l'altro, l'esistenza di soluzioni periodiche multiple per sistemi hamiltoniani ed equazioni delle onde non lineari sulla sfera n-dimensionale Sⁿ.

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Work partially supported by C.N.R. and M.P.I.     

Some properties of nonnegative solutions of parabolic differential operators

Sunto In questo lavoro vengono prese in considerazione soluzioni deboli non-negative di equazioni paraboliche lineari del secondo ordine in forma di divergenza in un dominio cilindrico diR ⁿ×R. Per tali soluzioni si stabilisce un principio di tipo Harnach che si estende sino alla frontiera del dominio. Si prova poi che tale principio è équivalente ad una stima uniforme per la misura calorica associata ad ogni operatore del tipo suddetto. Per soluzioni continue nella chiusura del dominio è poi provata una versione più forte del prineipio di cut sopra.

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Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A.     

Su alcuni sistemi di equazioni integrodifferenziali (*)

Sunto Si studiano alcune classi di sistemi di equazioni integrodifferenziali stabilendo condizioni sufficienti per l'esistenza di soluzioni in senso generalizzato, con dati al contorno sommabili, che estendono alcuni noti risultati relativi a certe classi di sistemi di equazioni alle derivate parziali. In particolare sono anche estesi alcuni noti risultati sull'esistenza di soluzioni per il problema diDarboux per una equazione del secondo ordine di tipo iperbolico.

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Summary The existence of solutions of a certain type is shown for a class of integro-differential equations with L-integrable data. The results include the existence of generalized solutions of theDarboux problem for second order hyperbolic equations.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del Gruppo di ricerca n. 6 del Comitato per la Matematica del C. N. R. per l'anno accademico 1962–1963.     

Multiplicity of solutions for elliptic inequalities in presence of symmetries

Summary In this paper we get a multiplicity result for the solutions of a variational inequality of elliptic type, in presence of symmetries.

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Riassunto Viene fornito un teorema di molteplicità di soluzioni per una disequazione variazionale di tipo ellittico in presenza di simmetrie.

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Work supported by M.P.I. and G.N.A.F.A.     

Grafici minimi completi

Riassunto Si riconsidera il problema della esistenza di soluzioni della equazione delle superficie minime su tutto lo spazio. Si presenta un metodo che, con ulteriori studi, potrebbe portare ad associare ad ogni cono minimo singolare una soluzione della equazione delle superficie minime su tutto lo spazio, intendendo che a coni diversi sono associate soluzioni diverse. è sottinteso che parliamo sempre di soluzioni non banali, cioè non lineari.

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Summary We reconsider the problem of the existence of non trivial solutions for the minimal surface equation in the whole space. We present a method which might lead to the proof of the existence of a non trivial solution for the minimal surface equation in the whole space for each singular minimal cone.

     

Global regularity estimates for multidimensional equations of compressible non-newtonian fluids

The present paper is devoted to the problem of global existence of sufficiently regular solutions to two- and three-dimensional equations of compressible nonnewtonian fluids. In the case of potential stress tensor, we develop the technique of derivation of energy identities that do not include the density derivatives. Basing on these identities, in the case of sufficiently fast-increasing potentials, we obtain an extended system of a priori estimates for the named equations. We also study the related problem of estimates for the solutions to non-linear elliptic system generated by stress tensor.

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Sunto Il presente lavoro è dedicato al problema dell’esistenza globale di soluzioni sufficientemente regolari delle equazioni del moto di fluidi comprimibili non-Newtoniani in due e tre dimensioni. Nel caso di tensore degli sforzi potenziale, viene sviluppata una tecnica per la derivazione di identità dell’energia che non includono derivate della densità. Basandosi su tali identità, nel caso di potenziali che crescono abbastanza rapidamente viene ottenuto un sistema esteso di stime a priori per le equazioni del moto. Viene inoltre studiato il problema correlato delle stime di soluzioni di sistemi ellittici non lineari generati dal tensore degli sforzi.

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This work is supported by Russian Foundation for Basic Research (Grant 99-01-10817), Cariplo Foundation and Volta Center of Landau Society.     

On the inversion of some differentiable mappings with singularities between Banach spaces

Sunto. Il classico metodo di P. Levy e R. Caccioppoli è esteso al caso di applicazioni tra spazi di Banach che presentino singolarità. Viene fatta un'applicazione ad un problema non lineare in cui si ha modo di valutare esattamente il numero delle soluzioni.

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Entrata in Redazione il 12 novembre 1971.

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Supported by G.N.A.F.A. (Gruppo Nazionale di Analisi Funzionale ed Applicazioni, C.N.R.).     

A separation theorem for the hyperext

Summary We introduce, on the hyperext spaces associated to complexes of sheaves with coherent cohomology on an analytic space, a natural topology that extends the natural topology defined by Verdier on the hypercohomology (cf. [13]). For a holomorphically convex space we prove that this topology is separated, which generalizes a result of Ramis [10].

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Riassunto Si introduce, sugli spazi iperext associati ai complessi di fasci a coomologia coerente su uno spazio analitico, una topologia naturale che estende la topologia naturale definita da Verdier sull'ipercoomologia (cf. [13]). Per uno spazio olomorficamente convesso si dimostra che questa topologia è separata e generalizza un risultato di Ramis [10].

     

L p Regularity and partial Hölder continuity for solutions of second order parabolic systems with strictly controlled growth

Sunto Si dimostra innanzitutto la regolarità L^p-globale, 2 < p < p₀, delle derivate spaziali D_iu delle soluzioni di un problema di Cauchy-Dirichlet per sistemi parabolici lineari del II ordine definiti in un cilindro Q=×(0,T) Rⁿ×R_t, con dati al bordo nulli e coefficienti L. Questo risultato generalizza quello di [6]. Se ne deduce un risultato L^p-locale, 2

0, per le derivate spaziali D_iu di soluzioni di un sistema parabolico quasi-lineare del II ordine con andamenti strettamente controllati. Ne consegue che, sotto opportune ipotesi, le soluzioni in Q di un sistema parabolico quasi-lineare del II ordine con andamenti strettamente controllati, sono parzialmente hölderiane in Q nel senso che esiste un cilindro Q₀ Q, chiuso in Q e di misura di Hausdorff n-dimensionale 0, tal e che la soluzione u è hölderiana in QQ₀. Questo risultato generalizza quello di [8].     

High frequency waves in quasi-linear inviscid gasdynamics

The lack, in non-linear systems, of a principle of superposition has motivated the development of the method of the multiphase asymptotic waves [1]. This technique permits one to resolve a complete initial value problem i. e. to study the evolution of an initial perturbation along all the characteristic rays. In this paper a concrete application to the inviscid isentropic gas is carried out up to the second order of approximation. The main effects of non-linear superposition are pointed out. Excellent agreement is found between the approximated solutions and the exact solutions obtainable in some particular cases.

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Riassunto La mancanza, nei sistemi non lineari, di un principio di sovrapposizione ha motivato lo sviluppo del metodo delle onde asintotiche a più fasi [1]. Tale metodo permette di risolvere un problema ai valori inziali completo, cioè di studiare l'evoluzione d'una perturbazione iniziale lungo tutti i raggi caratteristici. In questo lavoro viene presentata un'applicazione al gas isentropico non viscoso in cui gli sviluppi asintotici sono troncati al secondo ordine. Vengono inoltre messi in evidenza gli effetti della sovrapposizione non lineare. Un confronto tra le soluzioni approssimate e le soluzioni esatte che si hanno in due casi particolari conferma la validità del metodo.

     

On mixed problem for parabolic variational inequalities

Summary We give an existence-uniqueness result for the parabolic variational inequality (1.3) and we apply this result to mixed problem for parabolic variational inequalities and to parabolic quasi-variational inequalities with constraints on the boundary.

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Sunto. Si dà un risultato di esistenza ed unicità per la disequazione variazionale parabolica (1.3) e si applica tale risultato al problema misto per disequazioni variazionali paraboliche e a disequazioni quasi variazionali paraboliche con vincolo sulla frontiera.

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Entrata in Redazione il 7 giugno 1976.

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Politecnico di Milano, Istituto di Matematica (Analisi); lavoro eseguito nell'ambito del gruppo G.N.A.F.A. del C.N.R.     

Soluzioni periodiche di una classe di sistemi di tre equazioni differenziali ordinarie

Sommario Si studia il fenomeno della persistenza di soluzioni periodiche per una classe di sistemi di tre equazioni differenziali ordinarie soggetti a particolari perturbazioni, e si stabilisce un criterio di esistenza di soluzioni periodiche che estende un analogo risultato valido per equazioni del terz ordine. Ricerca eseguita nell'ambito del Gruppo di Ricerca n. 11 del C. N. R.     

Un risultato di regolarità per le soluzioni delle equazioni ellittiche degeneri del secondo ordine di tipo non variazionale

Riassunto Si definisce una classe di transformazioniK-quasiconformi su un cerchio del piano, doveK è una funzione illimitata. Per tali transformazioni si dimostra una proprietà di continuità che si riduce alla H?lderianità seK è costante. Come applicazione si dimostra che le soluzioni appartenenti ad un opportuno spazio di Sobolev con peso di una equazione ellittica degenere in forma non variazionale, hanno il gradiente continuo. Si riportano infine degli esempi per far notare che le ipotesi fatte sono essenziali.

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Summary We define a class ofK-quasiconformal mappings on a disk of the plane, whereK is an unbounded function. For such mappings we derive a continuity property similar to those that we have whenK is a constant. As application we obtain that the solutions belonging to a suitable weighed Sobolev space of a second order elliptic degenerate equation in non variational form (in two variables) have the gradient continuous.

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Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A. del C.N.R.     

Piani grafici a caratteristica 3

Sunto Si dimostra che un piano grafico finito di caratteristica 3 sopra un quasicorpo associativo d'ordine q² il cui centro sia un campo d'ordine ≥ q è necessariamente pascaliano, e che non esistono piani diHughes di caratteristica 3.

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Summary It is proved: a) Any graphic finite plane of characteristic 3 on an associative near-field of order q² whose center is a field having order ≥ q, is necessarily pascalian ; b) There is noHughes plane of characteristic 3.

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A Giovanni Sansone nel suo 70^o compleanno.     

Una nota sulle funzioni ricorsive

Riassunto Si dimostra, estendendo un precedente risultato, che condizione necessaria e sufficiente perchè l'insiemeM delle funzioni computabili maggiorate da una funzione qualsiasi sia ricorsivamente enumerabile è cheM sia finito.

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The following theorem, which generalizes a previous result is proved: the setM of the computable functions, bounded by any given function, is recursively enumerable if and only ifM is finite.

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Lavoro effettuato nell'ambito dell'attività svolta dal gruppo di logica matematica del C.N.R.