Application of the method of initial functions for the analysis of composite laminated plates

Summary The method of initial functions has been applied for deriving higher order theories for cross-ply laminated composite thick rectangular plates. The equations of three-dimensional elasticity have been used. No a priori assumptions regarding the distribution of stresses or displacements are needed. Numerical solutions of the governing equations have been presented for simply supported edges and the results are compared with available ones.

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Anwendung der Methode der Anfangsfunktionen auf die Analyse von Verbundschichtplatten

Übersicht Die Methode der Anfangsfunktionen wird angewendet, um Theorien höherer Ordnung für dicke, rechteckige, kreuzweise geschichtete Verbundplatten abzuleiten. Dabei werden die dreidimensionalen Elastizitätsgleichungen verwendet. Keine àpriori-Annahmen sind nötig bezüglich der Verteilung der Spannungen und Verschiebungen. Numerische Lösungen der bestimmenden Gleichungen werden vorgestellt für einfach unterstützte Kanten, und die Ergebnisse werden mit den in der Literatur vorhandenen Daten verglichen.

     

On the analysis of thick rectangular plates

Summary Thick rectangular plates are investigated using the method of initial functions proposed by Vlasov. The governing equations are derived from the three-dimensional elasticity equations using a MacLaurin series approach. As the governing equations can be obtained in the form of series, approximate theories of any desired order can be constructed easily by proper truncation. An exact solution is obtained for an allround simply supported thick plate using a Navier type solution. A Levy type solution for higher order theories is illustrated for the case of a thick plate with two opposite edges simply supported and other two edges clamped. Numerical results obtained are compared with those of classical, Reissner and Srinivas et al. solutions.

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Übersicht Mit Hilfe der Methode der Initial-Funktionen von Vlasov werden rechteckige Platten untersucht. Die zugehörigen Gleichungen werden aus den Gleichungen für das dreidimensionale Problem durch eine Entwicklung in MacLaurin-Reihen gewonnen. Durch Abbrechen dieser Reihen können Näherungen beliebiger Ordnung erhalten werden. Für den Fall einer allseitig einfach gelagerten dicken Platte wird eine exakte Lösung erhalten, bei der eine Lösung vom Navier-Typ verwendet wird. Eine Lösung vom Levy-Typ höherer Ordnung wird am Beispiel einer dicken Platte abgeleitet, von der zwei gegenüberliegende Ecken einfach gelagert, die anderen fest eingespannt sind. Die numerischen Ergebnisse werden mit den klassischen, von Reissner, Srinivas u. a. erhaltenen Resultaten verglichen.

     

Method of initial functions for thick transversely isotropic shells

Summary In the present work for circular cylindrical shells, three-dimensional elasticity equations are solved by assuming Taylor series expansions, in the radial direction, for the stresses and displacements. Depending upon the number of terms retained in the expansion, different order shell theories are derived. Classical theories (referred to as eighth-order), the shear deformation-transverse normal stress theories (referred to as tenth-order), and higher order theories (referred to as twelfth-order) are derived. In each case, by carrying out the symbolic algebra using the digital computer, partial differential equations are derived. The procedure was carried out in detail for the case of a circular cylindrical shell with no loading on the interior surface and a given pressure distribution on the exterior surface. Then, numerical comparisons are made between the current theories and various shell theories, as well as the exact (three-dimensional) theory. Thus, using this method with its associated computer programs, one can realize a spectrum of approximate shell theories ranging from the classical thin shell, through all current thick shell theories, and approaching the three-dimensional elastic theories.

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Die Methode der Anfangsfunktionen für dicke transversal-isotrope Schalen

Übersicht Mit Hilfe von radialen Taylor-Reihenentwicklungen für die Spannungen und Verschiebungen werden für kreiszylindrische Schalen die Gleichungen der dreidimensionalen Elastizität gelöst. Je nach Anzahl der mitgenommenen Terme der Entwicklung werden Schalentheorien verschiedener Ordnung hergeleitet, und zwar klassische Theorien 8. Ordnung, Theorien 10. Ordnung für schubweiche Schalen mit Berücksichtigung der transversalen Normalspannung sowie Theorien 12. Ordnung. Für jeden Fall werden mit Hilfe eines Rechnerprogramms für symbolische Algebra partielle Differentialgleichungen bestimmt. Vollständig wird das Verfahren für kreiszylindrische Schalen, die auf der Innenseite unbelastet und außen durch eine vorgegebene Druckverteilung belastet sind, durchgeführt. Danach werden numerische Vergleiche zwischen den verschiedenen Schalentheorien sowie mit der exakten dreidimensionalen Theorie vorgenommen. Somit kann man mit der benutzten Methode und den zugehörigen Rechenprogrammen einen Überblick über die Approximation der dreidimensionalen Elastizität durch die verschiedenen Schalentheorien gewinnen.

     

Characteristic roots of cylindrical shells based on an improved theory

Summary This paper is concerned with the roots of the characteristic equation in the theory of circular cylindrical shells which contains the effect of shear deformation. An analytical method for finding the characteristic roots is first presented for the Mirsky-Herrmann type theory with five variables. A simplified improved theory with three variables similar to the classical theory is then derived by introducing approximations in the constitutive equations of the Mirsky-Herrmann theory. It is easily understood that the neglect of shear effect in the simplified theory leads to the well known classical Flügge theory. The roots of characteristic equations for the simplified and Flügge theory are compared with those of the Mirsky-Herrmann theory for the eigenfunctions in the longitudinal and circumferential directions.

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Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung von Kreiszylinderschalen bei Berücksichtigung von Schubsteifigkeit

Übersicht Eine analytische Methode, mit der die Wurzeln der charakteristischen Gleichung der Kreiszylinderschale unter Berücksichtigung des Einflusses von Schubverformung berechnet werden können, wird vorgeschlagen. Die Theorie von Mirsky-Herrmann mit fünf Unbekannten wird zuerst dargestellt, und ein System in einer reduzierten Form von Gleichungen mit drei Unbekannten, das die Schubverformung enthält und das der klassischen Flüggeschen Gleichung durch Vernachlässigung dieses Einflusses entspricht, wird dann eingeführt. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichungen der reduzierten und der klassischen Flüggeschen Theorien werden mit den Ergebnissen der Mirsky-Herrmannsehen Gleichung für die Eigenfunktionen in Längsrichtung und Umfangsrichtung verglichen.

     

Axially symmetric deformations and stability of a geometrically nonlinear circular plate subjected to multiparametrical static loading

Summary Axially symmetric deformations and stability of a geometrically nonlinear circular plate subjected to multiparametrical static loading systems are investigated by means of a so-called deformation map. The deformation map was further used for stability considerations of geometrically nonlinear shells, see Shilkrut [1, 2]. The map reveals the complete picture of the axially symmetric deformations and the stability of the investigated structure. The equilibrium differential equations for the above mentioned circular plate were derived by Timoshenko [3]. The boundary value problem of the investigated structure is transformed to an initial value problem (Cauchy's problem). Then the Runge-Kutta (R. K.) method can be used to solve numerically the equilibrium equations. The geometrically nonlinear, simply supported circular plate subjected to uniform radial force and uniform radial bending moment acting along the supported edge is investigated as example, and some new qualitative and quantitative results are obtained. This approach can be used without essential difficulties for the investigation of axially symmetric deformations and stability of a geometrically nonlinear circular plate subjected to multiparametrical static loading systems in elastic and non-elastic fields.

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Axialsymmetrische Verformung und Stabilität geometrisch nichtlinearer Kreisplatten unter mehrparametrischer statischer Belastung

Übersicht Zur Untersuchung axialsymmetrischer, geometrisch nichtlinearer Verformung von Kreisplatten und ihrer Stabilität bei mehrparametrischer Belastung wird eine sog. Deformationskarte benutzt. Sie wurde auch für Stabilitätsbetrachtungen geometrisch nichtlinearer Schalen benutzt, s. Shilkrut [1,2]. Die Karte zeigt das vollständige Bild der axialsymmetrischen Verformung und die Stabilität der untersuchten Struktur. Das Randwertproblem zu den differentiellen Gleichgewichtsbedingungen, die für die betrachtete Platte von Timoshenko [3] hergeleitet wurden, wird in ein Anfangswertproblem (Caudy-Problem) überführt, welches numerisch nach der Methode von Runge-Kutta gelöst wird. Als Beispiel wird die nichtlineare Kreisplatte unter radialer Zug-und Biegemomentenbelastung am einfach gestützten Umfang untersucht, und man erhält einige neue qualitative und quantitative Ergebnisse. Die Methode läßt sich ohne wesentliche Schwierigkeiten auch auf axialsymmetrische, nichtlineare Verformungen und die Stabilität von Kreisplatten unter anderen mehrparametrischen statischen Belastungen im elastischen und nichtelastischen Bereich anwenden.

     

On the deflection of a thick plate under a sinusoidal load

Summary The equations of deflection of a thick plate presented in a previous paper are solved for an infinite plate under sinusoidally distributed pressure acting at its upper surface.The deflection and stress of the plate are calculated from the solutions of the approximate equations. The results are compared with those calculated from the exact solution and also with those obtained from other approximate methods.

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Über die Durchbiegung einer dicken Platte unter einer sinusförmigen Last

Übersicht Die in einer früheren Arbeit gegebenen Gleichungen für die Durchbiegung einer dicken Platte werden für den Fall einer unendlichen Platte gelöst, deren Deckfläche durch einen sinusförmigen verteilten Druck belastet wird.Aus den Lösungen der Näherungsgleichungen werden die Durchbiegung und die Spannung einer dicken Platte berechnet. Die Ergebnisse werden mit dem aus der exakten Lösung erlangten Resultat sowie mit den aus anderen Näherungsverfahren erhaltenen Ergebnissen verglichen.

     

Magnetoelastic buckling of thin plates in a uniform transverse magnetic field

The buckling of thin soft ferromagnetic elastic plates in a uniform transverse magnetic field is discussed. Based on a linearized version of the general magnetoelastic equations, a plate equation is derived together with the pertinent boundary conditions. By searching a nontrivial solution of this homogeneous system, a buckling value can be found. As an example, the circular plate is considered. In this paper, Maxwell stresses are used, but it is shown that identical results can be obtained by using other models (especially Amperian current) for the magnetoelastic stresses.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das Knicken dünner ferromagnetischer, elastischer Platten in uniformen magnetischen Feldern behandelt. Die Ableitung einer Plattengleichung zusammen mit den bezüglichen Randesbedingungen wird auf die linearisierten Gleichungen für weiche ferromagnetische Medien begründet. Durch Lösung dieses Systems wird eine Knicklast ermittelt. Die Methode wird anhand des Beispieles der kreisförmigen Platte illustriert. In dieser Abhandlung werden Maxwell Spannungen verwendet, aber es wird gezeigt dasz andere Modelle (insonderheit Amperesche Stromstärke) für die magnetoelastischen Spannungen das gleiche Resultat bilden.

     

Non-similar solutions of free convection flow over a vertical frustum of a cone for constant wall temperature

Summary The laminar free convection flow and heat transfer over a vertical frustum of a cone is studied. The governing boundary layer equations are solved using local non-similarity method for constant wall temperature case. Local similarity and the local non-similarity two- and three-equation models are constructed and the resulting equations are solved numerically. Results obtained from two- and three-equation models are in good agreement. The numerical values of the flow and temperature functions required to calculate the surface skin friction and heat transfer rate have been reported for various values of Prandtl numbers.

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Nichtähnlichkeits-Lösnngen für die freie Konvektionsströmung an einem vertikalen Kegelstumpf bei konstanter Wandtemperatur

Übersicht Untersucht wird die laminare freie Konvektionsströmung und der Wärmeübergang an einem vertikalen Kegelstumpf. Zur Lösung der zugehörigen Grenzschichtgleichungen im Fall konstanter Wandtemperatur werden die Modelle der lokalen Ähnlichkeit und der lokalen Nichtähnlichkeit mit zwei bzw. drei Gleichungen eingeführt und die sich ergebenden Gleichungen numerisch gelöst. Die Lösungen nach den Modellen mit zwei und drei Gleichungen passen gut zusammen. Die Zahlenwerte von Strom- und Temperaturfunktionen, die für die Berechnung der Wandschubspannung und der Wärmeübergangsrate benötigt werden, sind für verschiedene Werte der Prandtl-Zahl angegeben.

     

The spectra of some integral operators for plane elastostatical boundary value problems

In this paper 16 integral equations for the geometrical and statical boundary value problem of plane elastostatics are systematically compiled. As the equations are formulated with the aid of the singularity method it is possible to interpret mechanically all quantities occurring in them.The compilation contains equations of the first and of the second kind with regular, logarithmic and singular kernels. Because of the variety of types the integral equations are by no means equally suited for numerical treatment. To be able to judge the numerical suitability and to reject ill conditioned equations the spectra of the related integral operators are investigated. As it is too expensive to calculate the cigenvalues and eigenfunctions for arbitrarily shaped bodies in every individual case the eigenvalue problem for the circular disc is dealt with. From the results strong conclusions are drawn concerning the solubility properties of integral equations for more complicated shaped slices.The main aim of this paper does not consist of compiling various integral representations of the plane elastostatical problem, but to provide an easy working method to judge the numerical suitability of integral equations for boundary value problems similar to those dealt with here. The variety of examples is needed to illustrate systematically the full scope of the method.

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Zusammenfassung In diesem Aufsatz werden 16 Integralgleichungen für das geometrische und statische Randwertproblem der ebenen Elastostatik systematisch zusammengestellt. Da die Gleichungen mit Hilfe der Singularitätenmethode aufgestellt werden, lassen sich alle in ihnen auftretenden Größen mechanisch deuten. Die Zusammenstellung enthält Gleichungen erster und zweiter Art mit regulären, logarithmischen und singulären Kernen. Wegen der Vielfalt der Typen eignen sich keineswegs alle Integralgleichungen in derselben Weise zur numerischen Behandlung. Um die numerische Brauchbarkeit beurteilen und schlecht konditionierte Gleichungen aussortieren zu können, werden die Spektren der zugehörigen Integraloperatoren untersucht. Da es bei beliebig geformten Scheiben zu aufwendig ist, die Eigenwerte und Eigenfunktionen in jedem Einzelfall zu berechnen, wird das Eigenwertproblem für die Kreisscheibe behandelt. Aus den Ergebnissen lassen sich aussagekräftige Schlüsse bezüglich der Lösbarkeitseigenschaften von Integralgleichungen für komplizierter gestaltete Körper ziehen.Der Hauptzweck dieses Aufsatzes besteht nicht darin, eine Zusammenstellung verschiedenartiger Integraldarstellungen für das ebene elastostatische Problem zu liefern, sondern eine einfache Methode zur Beurteilung der numerischen Brauchbarkeit von Integralgleichungen für Randwertprobleme anzugeben, die dem hier behandelten artverwandt sind. Die Vielfalt der Beispiele dient dazu, den weiten Anwendungsbereich des Verfahrens systematisch aufzuzeigen.

     

The BIE analysis of the Berger equation

Summary An iterative solution of the nonlinear integro-differential Berger equation by the boundary integral equation method is proposed. The fundamental solution of the linearized Berger equation is used. Both formulations of the problem through the physical and non-physical quantities are given. The proposed method of solution is applied to numerical computation of the finite deflection of a thin circular plate under a concentrated load. An analytical solution of the linearized Berger equation in the case of rotationally symmetrical problem is found.

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Anwendung der Randintegralgleichungsmethode auf die Gleichung von Berger

Übersicht Bine iterative Lösung der nichtlinearen integrodifferentialen Gleichungen von Berger mittels der Methode der Integralgleichungen wird vorgelegt. Die fundamentale Lösung der linearisierten Gleichungen von Berger wird angewendet. Zwei alternative Formulierungen des Problems mit physikalischen und nichtphysikalischen Größen sind angeführt. Die vorgelegte Lösungsmethode wird zur numerischen Berechnung der Durchbiegung einer mittels Einzellast belasteten, dünnen Kreisplatte angewendet. Fur den Fall eines rotationssymmetrischen Problems wurde eine analytische Lösung der linearisierten Bergerschen Gleichungen gefunden.

     

The plane frictionless contact of two elastic bodies — the inclusion problem

Summary The mixed boundary value problem of the contact of two plane elastic bodies of arbitrary shape is solved for zero friction in their contact zone. It is reduced to a system of four singular integral equations referred to the contact zone and the remaining parts of the boundaries of the two bodies. The system is complemented by two more equations derived from the single-valuedness of the displacements along the contact boundaries. The solution of these equations yields the distribution of the contact stresses and the contact length. The method is applied to the symmetric case of an infinite elastic plate containing an oversized elastic inclusion, with and without axial forces applied to the plate at infinity. The evolution of contact relaxation and the progress of the gap between the inclusion and the plate is also given.

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Der ebene reibungslose Kontakt von zwei elastischen Körpern — Das Problem der Einlagerung

Übersicht Das gemischte Randwertproblem der Berührung zweier ebener elastischer Körper von beliebiger Form wird im Falle verschwindender Reibung in der Kontaktzone gelöst. Das Problem wird reduziert auf ein System von vier singulären Integralgleichungen, welche sich auf die Kontaktzone und die übrigen Ränder der zwei Körper beziehen. Das System wird mit zwei weiteren Gleichungen vervollständigt, welche von der Eindeutigkeit der Verschiebungen längs der berührenden Ränder hergeleitet werden. Die Lösung dieser Gleichungen gibt die Verteilung der Kontaktspannungen und die Kontaktlänge. Die Methode wird auf den symmetrischen Fall einer unendlichen elastischen Platte (mit und ohne axiale Kräfte auf den unendlich fernen Rändern), welche eine elastische Einlagerung mit Übermaß enthält, angewandt. Die Entwicklung der Kontaktauflösung und der Vorschrift der Lücke zwischen Einlagerung und Platte werden mit Hilfe der Lösung obiger Gleichungen angegeben.

     

Zur Berechnung offener Kreiszylinderschalen durch teilweise Diskretisierung

Übersicht Mit Hilfe quadratischer Parabeln als lokale Ansatzfunktionen wird das Reissnersche Variationsprinzip für die Kreiszylinderschale in ein umfangreiches System gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung überführt. Durch die Vernachlässigung der Querkraftverformung verringert sich die Anzahl dieser Gleichungen. Die allgemeine Lösung wird in Form von Exponentialfunktionen angegeben. Für eine an einem Rand eingespannte, an den drei übrigen Rändern kräftefreie offene Schale wird der Spannungszustand für drei Temperaturfälle berechnet. Die Ergebnisse werden in einem Fall mit denen nach der genaueren Theorie, in einem weiteren Fall mit Meßwerten verglichen.

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Summary The variational theorem according to Reissner for the circular cylindrical shell is reduced to an extensive system of 1st order ordinary differential equations by polynomials of 2nd order, defined for finite strips only. Neglecting transverse shear deformation, the differential equations are decreased in number. The general solution is found in form of exponential functions. Results are given for an open shell which is rigidly clamped at one edge and free of forces at the other edges. Three cases of temperature distribution are considered. For one case the numerical results are compared with those according to a more accurate theory, for another case with experimental values.

     

Stability diagrams for coupled Mathieu-equations

Summary A method is described for determining stability diagrams for coupled Mathieu-equations. The boundary curves are found by searching for those almost-periodic solutions of the differential equations for which the real part of the characteristic exponent changes from zero to a non-zero value. The method derives analytic expressions for the involved determinants and is able to find the transition curves even for parameters that cannot be considered small.

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Stabilitätsdiagramme für gekoppelte Mathieu-Gleichungen

Übersicht Es wird eine Methode zur Ermittlung der Stabilitätsdiagramme für gekoppelte Mathieu-Gleichungen beschrieben. Die Grenzkurven der Stabilitätsbereiche werden erhalten, indem man nach jenen fastperiodischen Lösungen der Differentialgleichungen sucht, für die der Realteil des charakteristischen Exponenten von Null zu einem nichtverschwindenden Wert wechselt. Analytische Ausdrücke für die auftretenden Determinanten werden hergeleitet. Die Methode kann auch bei Parametern angewendet werden, die nicht klein sind.

     

Some aspects of Euler-Newton equations of motion

Summary Euler-Newton's equations for a system of connected rigid bodies, written in a special state space form, provide a systematic method of arriving at the differential equations of the system. This method is amenable to programming and symbolic algebraic manipulation. The elimination of some or all forces of constraint is by projection, implementing the principle of virtual work, and is done by inner products. The computation of these forces requires symbolic inversion of a matrix for which an iterative scheme is proposed here. A method for construction of Lyapunov functions for stability of such systems in the vicinity of an arbitrary operating point is proposed. This construction may be achieved by symbolic manipulations and supplements applications of the Euler-Newton method.

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Einige Aspekte der Euler-Newtonschen Bewegungsgleichungen

Übersicht Euler-Newtonsche Gleichungen, dargestellt in einem besonderen Zustandsraum, liefern eine systematische Methode zur Herleitung der Differentialgleichungen eines Systems starr verbundener Körper. Diese Methode eignet sich für symbolisch algebraische Verfahren und zur Programmierung. Durch Projektion, unter Anwendung des Prinzips der virtuellen Arbeit und Berechnung der inneren Produkte, können einige oder alle Zwangskräfte eliminiert werden. Die Berechnung dieser Kräfte erfordert symbolische Matrixinversion, für die hier ein iteratives Verfahren vorgeschlagen wird. Ferner wird eine Methode vorgestellt, die zur Herleitung der Lyapunovschen Stabilitätsfunktion in der Umgebung eines beliebigen Arbeitspunktes dient. Die Lyapunovfunktion kann durch symbolische Verfahren und durch ergänzende Anwendungen der Euler-Newton Methode ermittelt werden.

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This work was supported in part by NSF under Grant ECS 782 4440 and in part by a fellowship grant from the Department of Transportation/NHTSA     

Biegung elliptischer und kreisförmiger Platten von veränderlicher Dicke bei hydrostatischer Belastung

Zusammenfassung Die Gleichung der elastischen Fläche der eingespannten elliptischen Platte und der eingespannten sowie der gelenkig gelagerten Kreisplatte gleicher Dicke für gleichmäßig verteilte Belastung wird dazu benutzt, die Beanspruchung solcher Platten bei hydrostatischer Belastung und veränderlicher Plattendicke zu ermitteln. Die Differentialgleichung wird für linear veränderliche Plattensteifigkeit in der Richtung des Druckgradienten streng erfüllt. Die Randbedingungen, werden ebenfalls streng befriedigt. Für dreieckförmige Belastung, die gerade bis zur Oberkante der Platte reicht, werden Zahlenbeispiele durchgerechnet. Für die Kreisplatte wird der Vergleich mit der Platte gleichbleibender Dicke gegeben. Dabei ergibt sich für die eingespannte Platte gleichbleibender Dicke ein Mehraufwand an Werkstoff von 8% gegenüber der Platte von veränderlicher Dicke, wenn die größten Spannungen in beiden Fällen dieselben sein sollen.     

Erweiterte Gleichungen für die örtlichen Sherwood- und Nußeltzahlen im laminar durchströmten ebenen Spalt und im Rohr mit Berücksichtigung wandnormaler Strömungen

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird ein neues Rechenverfahren für den Wärme- und Stoffaustausch in einer sich entwickelnden laminaren Strömung in einem ebenen Saplt und in einem Rohr vorgestellt. Dieses Rechenverfahren basiert auf neuen erweiterten Gleichungen für die örtlichen Sherwood- und Nußeltzahlen, die den Einfluß positiver Normalströmungen an den Wänden direkt berücksichtigen. Die Ergebnisse dieses neuen Rechenverfahrens für den Wärme- und Stoffaustausch mit der Randbedingung einer halbdurchlässigen Wand zeigen eine vorzügliche Übereinstimmung mit den Ergebnissen des beschreibenden Differentialgleichungssystems, während das bekannte auf der Filmtheorie basierende Rechenverfahren erhebliche Abweichungen aufweist. Zur Berücksichtigung variabler Stoffwerte im System wird eine einfache Methode zur Bestimmung von Referenzstoffwerten für das neue Rechenverfahren angegeben. Die Anwendung des neuen Rechenverfahrens auf Mehrstoffsysteme wird ebenfalls dargestellt. Auch hier ergibt sich eine vorzügliche Übereinstimmung mit den Ergebnissen des Differentialgleichungssystems.

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Extended equations for the local Sherwood and Nusselt number in a laminar even split and tube including a consideration of a wall current

This work presents a new method to calculate the heat and mass transfer in a developing laminar flow in an even split or tube. The new method bases on extended Sherwood and Nusselt numbers including a consideration of positive wall currents which occur with mass transfer. For the heat and mass transfer in systems with a non-transferring gas the results of the new method are in very good agreement to the numerical results of the full set of differential equations while the well known film theory gives considerable deviations. Variable fluid properties can be accounted by easily calculable reference properties for the new method. The extension of the new method to the heat and mass transfer in multicomponent systems is presented, too. Even for these multicomponent systems the method reproduces the results of the differential equations excellently.

     

Modalsynthese — Viskoelastische Kopplung von nichtproportional gedämpften Substrukturen

Übersicht Es wird eine Methode für die viskoelastische Kopplung von Substrukturen mit nichtproportionaler Dämpfung vorgestellt, bei der die Modalparameter der Substrukturen im Zustandsraum berechnet und das Kopplungsverfahren direkt im Zustandsraum durchgeführt wird. Das Verfahren beinhaltet im wesentlichen zwei Transformationen. Durch die erste werden mit einer reellen Modalmatrix die Bewegungsgleichungen in Modalkoordinaten in reeller Form transformiert. Durch die zweite Transformation mit einer komplexen Modalmatrix werden die Gleichungen des gekoppelten Systems vollständig entkoppelt. Die Modalparameter des Gesamtsystems sind dann komplex, können aber so direkt für die Berechnung der Übertragungsfunktion und von erzwungenen Schwingungen verwendet werden. Anhand eines Beispieles wird die relativ hohe Genauigkeit der vorgestellten Methode gezeigt.

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Modal synthesis — Viscoelastic coupling procedure for non-proportionally damped substructures

Summary A method for the viscoelastic coupling of non-proportionally damped substructures is introduced in which the modal parameters of the substructures are determined in the state space and the coupling process is directly made in the state space. The approach consists of two transformations. The first is made with a real modal matrix and transform the equations into modal coordinates in a real form. The second is with a complex modal matrix and discouples the equations of coupled systems. Then the modal parameters are complex, but they can be directly used for the calculation of the frequency response function and forced response function. An example demonstrates that this method give a relativ good approximation.

     

Eine numerische Methode zur Lösung der Navier-Stokesschen Gleichungen für die zweidimensionale,inkompressible, stationäre Strömung längs einer dünnen Platte

Übersicht Es wird eine Differenzenmethode zur numerischen Integration der Navier-Stokesschen Gleichungen für die zweidimensionale, inkompressible, stationäre Strömung längs einer dünnen Platte beschrieben. Zur Verringerung des Rechenaufwandes wird angenommen, daß die Platte Symmetrieebene der Strömung ist. Die Ergebnisse einiger Testrechnungen für die Strömung längs einer endlich langen sowie einer unendlich langen Platte werden mit den Näherungslösungen von Blasius für die Plattengrenzschicht und von Goldstein für die Nachlaufströmung verglichen. Dabei zeigt sich deutlich die Stromaufwärtswirkung der Plattenvorderkante auf die ankommende Strömung und der Plattenhinterkante auf die Grenzschicht kurz vor dem Plattenende.

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Summary A difference method will be described for the numerical integration of the Navier-Stokes equations for the two-dimensional, incompressible, steady flow along a flat thin plate. To reduce the computation time the plate is assumed to be the symmetry plane of the flow. The results of some computation tests for the flow along a plate of finite and infinite length, are compared with the approximate solutions of Blasius for the boundary-layer flow and of Goldstein for the wake behind the plate. The upstream effect of the leading edge on the incoming flow and of the trailing edge on the boundary layer shortly before the end of the plate becomes visible.

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Auszug aus dem Bericht UW 62/70-ö der Messerschmitt-Bölkow-Blohm GmbH, Ottobrunn. Die Arbeit ist Teil des Forschungsauftrages T 01-830-I-205 des Bundesministeriums der Verteidigung.     

Variational formulation of stability problems for thin-walled members

Summary The governing equations for thin-walled members subjected to axial force, biaxial bending and torsion are formulated by variational method. The resulting equations differ slightly with currently accepted governing equations. Numerical examples are solved for simple problems to illustrate some of the features of the proposed equations.

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Übersicht Die beschreibenden Differentialgleichungen für dünnwandige Bauglieder, die durch achsiale Kräfte, biachsiale Biegung und Torsion beansprucht sind, werden nach einem Variationsverfahren aufgestellt. Die so erhaltenen Gleichungen unterscheiden sich etwas von den zur Zeit üblichen Gleichungen. Um die Eigenschaften der jetzt vorgeschlagenen Gleichungen zu zeigen, werden numerische Ergebnisse für einige einfache Aufgaben angegeben.

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On leave from University of Tokyo, Tokyo Japan.     

Slow flow of a viscoelastic fluid through a contraction

Summary The creeping flow of a viscoelastic fluid through a tapered contraction is analysed by using a perturbation method. Finite element method has been applied to solve the vorticity transport and stream function equations.For a contraction ratio of 2:1 results for the stream function, the velocity distribution and the stress components along the tube axis are presented and discussed. The results indicate that for a viscoelastic fluid there is a tendency of circular motion in the contraction zone.

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Zusammenfassung Mit Hilfe einer Störungsrechnung wird die schleichende Strömung einer viskoelastischen Flüssigkeit durch eine Rohrverengung berechnet. Die dabei auftretenden Randwertaufgaben werden mit der Methode der finiten Elemente gelöst.Für ein Kontraktionsverhältnis von 2:1 werden Ergebnisse für die Stromfunktion, die Geschwindigkeitsverteilung und den Verlauf der Reibungsspannungen entlang der Rohrachse angegeben und diskutiert. Die Ergebnisse für das Geschwindigkeitsfeld zeigen, daß in der Kontraktionszone eine Sekundärströmung erzeugt wird, die aus zwei entgegengesetzt drehenden Ringwirbeln besteht. Da diese der Primärströmung zu überlagern ist, besteht bei einer viskoelastischen Flüssigkeit im Unterschied zu einer newtonschen in der Kontraktionszone die Tendenz zu einer Zirkulationsströmung.

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With 9 figures