一个简单不等式的发现与初步应用

<正>一、问题提出本文源于如下两道试题:题1已知椭圆C:x²/25+y²/9=1,直线l:4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最小?最小距离是多少?^[1]题2在双曲线C:x²/25-y²/9=1上求一点M,使     

一个不等式

命题若0<λ≤2,则对所有正实数a、b,有aa λb bb λa≤21 λ(1)证明(1)式等价于11 λba 11 λab≤21 λ(2)令x=ab,y=ba,则(2)式等价于:x>0,y>0,xy=1,有11 λx 11 λy≤21 λ(3)(3)式等价于11 λx 11 λy 2(1 λx)(1 λy)≤41 λ2(1 λx)(1 λy)≤41 λ-11 λx-11 λy2(1 λ)(1     

一道课本例题的新解引发的一个不等式的发现

<正>1课本例题的新解题目1已知椭圆C:x²/52+y2/52+y²/9=1,直线l:4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最小?最小距离是多少?该题是人教A版普通高中课程标准试验教科书选修2-1第47页的例7,课本上提供的解法是我们常见的通解通法,但是该法运算量大,往往我们还可以采用设椭圆C上动点坐标(5cosθ,3sinθ),利用点到直线距离公式求解,将问题转化为三角函数的最值问题,同样该法对学生的数学运算能力要求较高,     

欧拉不等式的一个不等式链

支[1]得出一个能揭示欧拉不等式本质的隔离:R≥a+b+c/3√3≥2r.此结论结构独特、形式优美,受其启发,笔者得到了欧拉不等式的一个不等式链.     

不等式证明途径的发现

不等式证明途径的发现苏守平（安徽省舒城中学２３１３００）在不等式证明的教学中，特别是复习课中．教师一般都注重不等式证明方法的归纳（这里的‘方法”是指综合法、分析法、放缩法、判别式法等）然而，学生在掌握了这些方法后，面对一个新的不等式证明题，往往还是一...     

一个不等式命题

命翻:设x、夕eR,m、:任N且奇偶性相同,占交a十baZ+bZ 2a3则有+竺‘型_干尸22xm+夕m 2x”+夕” 2(x饥斗”+夕用十” 2(A)由七例的证明,a仍+b仍a”」一b”不难看到不等式等号仅当:二,时成立. 证:只需证(A)的等价不等式成立: 2(劣跳十”+y价十”)一(xm+夕,)(x”+夕”))0. 上式左边化简,可改写为 (劣.一鲜m)(劣,一y”))0.(B) (1)当m、,是奇数时 若多》夕,则x勿》梦m,:”)歹几; 若:(夕,则x加<夕m,x”‘夕,. 可知(B)式成立. (2)当解、n是偶数时 令们=Zk,。=21,k、l任N. 若:2),2,则劣m=(:2)“)(,2)七=夕州,仅当M二,n一十n+n、…、、PezV.…十…     

一个平均值不等式

关于ｎ个正数ａ1、ａ2 、…、ａｎ 的调和平均值Ｈ(ｎ)、几何平均值Ｇ(ｎ)、算术平均值Ａ(ｎ)与平方幂平均值Ｓ(ｎ)的不等式链Ｈ(ｎ)≤Ｇ(ｎ) ≤Ａ(ｎ) ≤Ｓ(ｎ)是大家比较熟悉的 .本文介绍笔者近期发现的一个不等式ｎａａ1 1ａａ22 …ａａｎｎ ≥Ｇ(ｎ) Ａ(ｎ) ( )当且仅当ａ1=ａ2 =… =ａｎ 时取等号 .为述说与书写的简便 ,称上式左端为ｎ个正数的自幂几何平均值 ,记为Ｚ(ｎ) .1　发现中学课本中有这样一证明题 :若ａ、ｂ >0 ,则ａａｂｂ ≥ａｂｂａ此不等式易证 ,两端同乘以ａａｂｂ 得(ａａｂｂ) 2 ≥ａａ+ｂ·ｂａ+ｂ =(ａｂ) ａ+ｂ所…     

一个三角形不等式

定理设a、b、c为△ABC三边之长，则证明记s、R、r为△ABC的半周长、外接国半径与内切圆半径，由等及熟知径与内切圆半径，由等及熟知又由恒等式：所以①式等价于4Rs2（2R 2r）因为后一式为欧拉不等式．故由Gerretsen不等式所以①式成立．易知取等号的充要条件为△ABC是正三角形．一个三角形不等式@万锦文$湖北省咸宁鄂南高中!437100     

一个积分不等式

由连续单调函数的几何意义直观地得出一个不等式,即若设函数f（x）在[0,b]上连续且单调递减,则有b∫0^af（x）dx≥a∫0^bf（x）dx（0≤a≤b）.通过构造辅助函数给出其数学证明,并对其加以推广．     

一个不等式链

在中学课本中有重要不等式 a_3 b_3 c_3≥3abc (a,b,c∈R~ ) 我们把这个不等式中间插入四项,形成一个不等式链,使人们对这个不等式有更加深刻的认识。     

证明一个不等式

<数学通报>2010年8月号问题: 1866 已知a>1,b>1,证明: 1/a+b/2+2ab/a+b+a+b/2+2ab/a+b≥2ab+1/2√ab.     

一个三角不等式

本文通过实例引出一个三角学上的函数 ,然后以不等式为基本工具研究该函数的极值 ,由此导出一个十分简洁而有用的不等式 .实例　修建厂房中的一个数学应用题在修建厂房时 ,要把一批钢管运进车间 ,须经过如图所示的通道 .求此通道能水平通过钢管的最大长度 .图中的线段ＡＢ表示钢管 ,为简化计算 ,钢管的直径忽略不计 .设ＡＢ =Ｌ(米 ) ,ＡＢ与横墙所成的角为α ,α∈ 0 ,π2 ,要使ＡＢ最长 ,Ａ ,Ｂ应该紧靠通道的墙角 ,易得Ｌ =3ｓｉｎα+ 2ｃｏｓα,α∈ 0 ,π2 .Ｌ(米 )的最小值就是钢管水平通过通道的最大长度 .这里得到的函数是一个形如 …     

一个不等式的加强

第13届普特南数学竞赛的A—1题为2n3n<∑nk=1k<4n 36n1文[1]利用Abel变换改进不等式为　2n 13n≤∑nk=1k≤4n 36n-162文[2]进一步改进为　2n 23-2-13≤∑nk=1k≤4n 36n-163本文将探讨比3式更强的不等式.定理　对任意正整数n,有　4n 36n 124n-524≤∑nk=1k≤4n 36n-164当且仅当n=1时式中等号成立.证明　这里我们仅证4式下界不等式,4式上界不等式的证明可见文[2].为证4式下界不等式,先证下列不等式:n>4n 36n 124n-　[4(n-1) 36n-1 124n-1](其中n>1)　5要证5式,只要证　4n-16n-1 124n-1>4n-36n 124n,即只要证　(16n2-20n 5)n>(16n2-12n 1)n-1,…     

一个不等式的推广

文[1]对人教版教材高中教学第二册(上)第30页的一道习题:已知a>b>c,求证:1a-b b1-c c-1a>0,引导学生进行了探究.将此不等式加强为a1-b b-1c c-4a≥0.进一步当a>b>c>d时,则有a-1b b-1c c-1a d9-a≥0将上述二不等式推广.便有下面的结论已知a1>a2>……>an-1>an,k∈N*,则有(a1-1a2)2k-1 (a2-1a3)2k-1 …… (n-1)2k(an-a1)2k-1≥0为证明本结论,先给出下面的引理(见文[2]).引理设ai,bi∈R ,i=1,2,…,n,α>0,则有∑ni=1biα 1aiα≥∑ni=1biα 1∑ni=1aiα,当且仅当baii=∑ni=1ai∑ni=1bi时等号成立.结论的证明:原不等式等价于不等式.∑n-1i=11(ai…     

一个不等式的推广

数学通报1992年第2期李再湘著文给出了一个不等式定理:设x_1,x_2,…,x_n和y_1,y_2,…,y_n是两列正数,则:     

一个不等式的加强

贵刊2004年10月号问题1519为:ma、wa分别表示△ABC的a边上的中线和角平分线长,求证mawa≥2b bcc.(1)该不等式可加强为:mawa≥b22 bcc2.(2)事实上,由恒等式m2a=w2a 21(b-c)2-41b ac2(b-c)2,w2a=bc(b c( b a )(c)b2 c-a)得m2a≥w2a 21(b-c)2-21b ac2(b-c)2=w2a 21(b-c)2·(b c (b     

一个不等式的逆向

文[1]证明了文[2]提出的一个猜想:说ai≥0,pi≥0,(i=1,2,…,n)且p1 p2 … pn=1,则n∑i=1piai≥n∏i=1aipi.本文将给出上述不等式的一个逆向不等式,从而得出一个不等式组.命题设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n),且p1 p2 … pn=1,则1∑ni=1piai≤n∏i=1aipi≤n∑i=1piai.证为了使命题证明