On certain estimates for orthogonal polynomials depending on parameters

Рассматривается сис тема ортогональных м ногочленов {P _n (z)} ₀ ^∞ , удовлетворяющ их условиям $$\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {P_m (z)\overline {P_n (z)} d\sigma (\theta ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0,m \ne n,P_n (z) = z^n + ...,z = \exp (i\theta ),} \\ {h_n > 0,m = n(n = 0,1,...),} \\ \end{array} } \right.} $$ где σ (θ) — ограниченная неу бывающая на отрезке [0,2π] функция с бесчисленным множе ством точек роста. Вводится последовательность параметров {а_{n 0} ^∞ , независимых дру г от друга и подчиненных единств енному ограничению { ¦а_n¦<1} ₀ ^∞ ; все многочлены {Р _n (z)} 0/∞ можно найти по формуле $$P_0 = 1,P_{k + 1(z)} = zP_k (z) - a_k P_k^ * (z),P_k^ * (z) = z^k \bar P_k \left( {\frac{1}{z}} \right)(k = 0,1,...)$$ . Многие свойства и оце нки для {P _n (z)} ₀ ^∞ и (θ) можн о найти в зависимости от этих параметров; например, условие \(\mathop \Sigma \limits_{n = 0}^\infty \left| {a_n } \right|^2< \infty \) , бо лее общее, чем условие Г. Cerë, необходимо и достато чно для справедливости а симптотической форм улы в области ¦z¦>1. Пользуясь этим ме тодом, можно найти также реш ение задачи В. А. Стекло ва.     

A note on the transcendence of infinite products

The paper deals with several criteria for the transcendence of infinite products of the form $\prod\limits_{n = 1}^\infty {[{b_n}{a^{{a_n}}}]/{b_n}{a^{{a_n}}}} $ where α > 1 is a positive algebraic number having a conjugate α* such that α ≠ |α*| > 1, {a _n } _n=1 ^∞ and {b _n } _n=1 ^∞ are two sequences of positive integers with some specific conditions. The proofs are based on the recent theorem of Corvaja and Zannier which relies on the Subspace Theorem (P.Corvaja, U.Zannier: On the rational approximation to the powers of an algebraic number: solution of two problems of Mahler and Mend`es France, Acta Math. 193, (2004), 175–191).     

Determination of the infinite Jacobi matrix with respect to two-spectra

The inverse problem about two-spectra for the equation (1) $$\begin{gathered} b_0 y_0 + a_0 y_1 = \lambda y_0 , \hfill \\ a_{n - 1} y_{n - 1} + b_n y_n + a_n y_{n + 1} = \lambda y_n \left( {n = 1, 2, 3, ...} \right), \hfill \\ \end{gathered} $$ where {y_n} ₀ ^∞ is the desired solution, λ is a complex parameter and $$a_n > 0, \operatorname{Im} b_n = 0 \left( {n = 0, 1 ,2, ...} \right)$$ is studied. Necessary and sufficient conditions for the solvability of the inverse problem about two-spectrafor Eq. (1) are established and also the procedure of reconstruction of the equation from its two-spectra is indicated.     

Orthogonal rational functions and modified approximants

Let {α _n | _n ^∞ be a sequence in the open unit disk in the complex plane and let $(\overline {\alpha _k } |\alpha _k | = - 1$ when α _k =0. Let μ be a positive Borel measure on the unit circle, and let {φ _n } _n ^∞ be the orthonormal sequence obtained by orthonormalization of the sequence {B _n } _n ^∞ with respect to μ. Let {ψ _n } _n ^∞ be the sequence of associated rational functions. Using the functions φ _n , ψ _n and certain conjugates of them, we obtain modified Padé-type approximants to the function $$F\mu (z) = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{t + z}}{{t - z}}} d\mu (\theta ), (t = e^{i\theta } ).$$      

On the unconditional convergence of orthogonal series

Пусть {f _n } _n=1 ^∞ — после довательность измер имых функций, а {ω(n)} _n=1 ^∞ — неу бывающая последовательность положительных чисел. Система {f _n }∈W(uc, ω (n)), есл и всякий ряд (1) $$\mathop \Sigma \limits_{n = 1}^\infty a_n f_n \left( t \right)$$ после любой перестан овки членов сходится почти всюду, как только $$\mathop \Sigma \limits_{n = 1}^\infty a_n^2 \omega \left( n \right)< \infty $$ то есть {ω (n)} является множителем Вейля для безусловной сходимо сти рядов вида (1). Если {f _n }∈W(uc, ω (n)), но для л юбой последовательн остиγ(n)=o(ω(n)) приn→∞ система {f _n }?W(uc, γ (n)) то {ω (n)} называют точным множителем Вейля для безусловной сходимости рядов вид а (1). Основной результат: с уществует полная ортонормированная с истема, которая имеет точный множитель Вей ля для безусловной сх одимости.     

Determination of an infinite non-self-adjoint Jacobi matrix from its generalized spectral function

Restoration from the generalized spectral function of the equations $$b_0 y_0 + a_0 y_1 = \lambda y_{0,} a_{n - 1} y_{n - 1} + b_n y_n + a_n y_{n + 1} = \lambda y_{n,} n = 1,2,3,...,$$ wherea _n and b_n are arbitrary complex numbers,a _n≠ 0 (n = o, i, 2,...), λ is a complex parameter, and {P _n (λ)} ₀ ^∞ is the required solution, is investigated. Necessary and sufficient conditions for solvability of the inverse problem are obtained, and the restoration procedure is described.     

Separate asymptotics of two series of eigenvalues for a single elliptic boundary-value problem

The spectral problem in a bounded domain Ω?Rⁿ is considered for the equation Δu= λu in Ω, ?u=λ?υ/?ν on the boundary of Ω (ν the interior normal to the boundary, Δ, the Laplace operator). It is proved that for the operator generated by this problem, the spectrum is discrete and consists of two series of eigenvalues {λ _j ⁰ } _j=1 ^∞ and {λ _j ^∞ } _j=1 ^∞ , converging respectively to 0 and +∞. It is also established that $$N^0 (\lambda ) = \sum\nolimits_{\operatorname{Re} \lambda _j^0 \geqslant 1/\lambda } {1 \approx const} \lambda ^{n - 1} , N^\infty (\lambda ) \equiv \sum\nolimits_{\operatorname{Re} \lambda _j^\infty \leqslant \lambda } {1 \approx const} \lambda ^{n/1} .$$ The constants are explicitly calculated.     

On coefficients of null-series and on sets of uniqueness of trigonometric and Walsh systems

В работе доказываютс я следующие утвержде ния. Теорема I.Пусть ? _n ↓0u \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\varepsilon _n^2 = + \infty } \) .Тогд а существует множест во Е?[0, 1]с μЕ=0 такое что:1. Существует ряд \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n W_n } (t)\) с к оеффициентами ¦а _n ¦≦{in¦n¦, который сх одится к нулю всюду вне E и ε∥a_n∥>0.2. Если b _n ¦=о(ε _n )и ряд \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {b_n W_n (t)} \) сх одится к нулю всюду вн е E за исключением быть может некоторого сче тного множества точе к, то b _n =0для всех п. Теорема 3.Пусть ? _n ↓0u \(\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \frac{{\varepsilon _n }}{{\varepsilon _{2n} }}< \sqrt 2 \) Тогд а существует множест во E?[0, 1] с υ E=0 такое, что:

1. Существует ряд \(\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {a_n e^{inx} ,} \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\left| {a_n } \right|} > 0,\) кот орый сходится к нулю в сюду вне E и ¦a_n≦¦n¦ для n=±1, ±2, ...
2. Если ряд \(\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {b_n e^{inx} } \) сходится к нулю всюду вне E и ¦b_v¦=о(ε ¦n¦), то b_n=0 для всех я. Теорема 5. Пусть послед овательности S⁽¹⁾={ε ₀ ⁽¹⁾ , ε ₁ ⁽¹⁾ , ε ₂ ⁽¹⁾ , ...} u S²=ε ₀ ⁽²⁾ , ε ₁ ⁽²⁾ . ε ₂ ⁽²⁾ монотонно стремятся к нулю, \(\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \varepsilon ^{(i)} /\varepsilon _{2n}^{(i)}< 2,i = 1,2\) , причем \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \varepsilon _n^{(2)} /\varepsilon _n^{(i)} = + \infty \) . Тогда для каждого ε>O н айдется множество Е? [-π,π], μE >2π — ε, которое является U(S¹), но не U(S¹) — множеством для тригонометричес кой системы. Аналог теоремы 5 для си стемы Уолша был устан овлен в [7].

     

Unbounded solutions of the max-type difference equation x_{n + 1} = max\left\{ {\frac{{A_n }} {{X_n }},\frac{{B_n }} {{X_{n - 2} }}} \right\}

We investigate the boundedness nature of positive solutions of the difference equation $$ x_{n + 1} = max\left\{ {\frac{{A_n }} {{X_n }},\frac{{B_n }} {{X_{n - 2} }}} \right\},n = 0,1,..., $$ where {A _n } _n=0 ^∞ and {B _n } _n=0 ^∞ are periodic sequences of positive real numbers.     

Freud's conjecture and approximation of reciprocals of weights by polynomials

LetW(x) be a function that is nonnegative inR, positive on a set of positive measure, and such that all power moments ofW ² (x) are finite. Let {p _n (W ²;x)} ₀ ^∞ denote the sequence of orthonormal polynomials with respect to the weightW ², and let {α _n } ₁ ^∞ and {β _n } ₁ ^∞ denote the coefficients in the recurrence relation $$xp_n (W^2 ,x) = \alpha _{n + 1} p_{n + 1} (W^2 ,x) + \beta _n p_n (W^2 ,x) + \alpha _n p_{n - 1} (W^2 ,x).$$ We obtain a sufficient condition, involving mean approximation ofW ^?1 by reciprocals of polynomials, for $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{\alpha _n } \mathord{\left/ {\vphantom {{\alpha _n } {c_n }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {c_n }} = \tfrac{1}{2}and\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{\beta _n } \mathord{\left/ {\vphantom {{\beta _n } {c_{n + 1} }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {c_{n + 1} }} = 0,$$ wherec _{n 1} ^∞ is a certain increasing sequence of positive numbers. In particular, we obtain a sufficient condition for Freud's conjecture associated with weights onR.     

The domain of regularity of the limit function of a sequence of analytic functions

Letf (z) be an entire function λ_n(n=0,1,2,...) complex numbers, such that the system f(λ_{n n=0} ^∞ is not complete in the circle ¦z¦n(z) have the form \(\sum\nolimits_{k = 0}^{p_n } {\alpha _{nk} } f(\lambda _k \cdot z)\) . We study the properties of the limit function of the sequence Q_n(z) in the case when $$f(z) = 1 + \sum\nolimits_{n = 1}^\infty {\frac{{z^n }}{{P(1)P(2)...P(n)}}} ,$$ . where P(z) is a polynomial having at least one negative integral root.     

On the convergence to infinity of Fourier series along dense subsequences of numbers

В статье доказываетс я Теорема.Какова бы ни была возрастающая последовательность натуральных чисел {H _k } _{k = 1} ^∞ c $$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{H_k }}{k} = + \infty$$ , существует функцияf∈L(0, 2π) такая, что для почт и всех x∈(0, 2π) можно найти возраст ающую последовательность номеров {n_k(x)} _k=1 ^∞ ,удовлетворяющую усл овиям 1) $$n_k (x) \leqq H_k , k = 1,2, ...,$$ 2) $$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } S_{n_{2t} (x)} (x,f) = + \infty ,$$ 3) $$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } S_{n_{2t - 1} (x)} (x,f) = - \infty$$ .     

Moment multipliers for power series

По определению после довательность {μ _n пр инадлежит классуG _s , если звезда М иттагЛеффлера произвольного степе нного ряда (1) $$\mathop \sum \limits_0^\infty a_n z^n , \mathop {lim sup}\limits_{n \to \infty } \left| {a_n } \right|^{1/n}< \infty $$ , совпадает со звёздам и Миттаг-Леффлера сте пенных рядов $$\mathop \sum \limits_0^\infty \mu _n a_n z^n ,\mathop \sum \limits_0^\infty \mu _n^{ - 1} a_n z^n $$ . В работе установлены следующие утвержден ия Теорема 1.Для произво льной последователь ности ? _n с условиями $$0< \varphi _n< 1,\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \varphi _n = 0,\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \varphi _n^{1/n} = 1$$ существует неубываю щая функция χ(t) такая, ч то моменты \(\mu _n = \int\limits_0^1 {t^n d\chi (t)} \) удовлетворяют условию 0<μ_nn звезда М иттаг-Леффлера любог о ряда (1) совпадает со звездой МиттагЛеффлера степенных рядов . Теорема 2. Для произвол ьной неотрицательно й последовательности {а_n} с условием {a _n } и для любой последов ательности {?_n} для к оторой 0n<1, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \varepsilon _n = 0\) сущест вуютπ={π _n }∈G _s и последовательнос ть {п_i} такие, что a_nμ_n≦1 (n≧n₀), \(a_{n_i } \mu _{\mu _i } \geqq exp( - \varepsilon _{n_i } )\) (i=1, 2, ...) и при эmom звезда Миттаг-Леффлера ряда (1) совпа дает со звездой Миттаг- Леффлера степенных р ядов .     

Scalar-type spectral operators and holomorphic semigroups

We show that a linear operator (possibly unbounded), A, on a reflexive Banach space, X, is a scalar-type spectral operator, with non-negative spectrum, if and only if the following conditions hold.

1. A generates a uniformly bounded holomorphic semigroup {e?^zA}_Re(z)≥0.
2. If \(F_N (s) \equiv \int_{ - N}^N {\tfrac{{\sin (sr)}}{r}} e^{irA} dr\) , then {‖F_N‖} _N=1 ^∞ is uniformly bounded on [0,∞) and, for all x in X, the sequence {F_N(s)x} _N=1 ^∞ converges pointwise on [0, ∞) to a vector-valued function of bounded variation.

The projection-valued measure, E, for A, may be constructed from the holomorphic semigroup {e^?zA}_Re(z)≥0 generated by A, as follows. $$\frac{1}{2}(E\{ s\} )x + (E[0,s)) x = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \int_{ - N}^N {\frac{{\sin (sr)}}{r}} e^{irA} x\frac{{dr}}{\pi }$$ for any x in X.     

Recurrent relations for the solutions of an infinite system of linear algebraic equations

We obtain recurrent relations for bounded solutions of the system of equations $$X_k - \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{(k + n)!}}{{k!n!}}} \alpha ^{k + n + 1} x_n = f_{k,} k = 0,1,..., \alpha \in (0,1/2),$$ with right-hand sides {f _k } _k=0 ^∞ ={δ _kj } _k=0 ^∞ ,j=0,1,..., where δ _kj is the Kronecker symbol.     

ОБ ИНтЕРпОлИРОВАНИИ В кОМплЕксНОИ ОБлАст И

LetD be a simply connected domain, the boundary of which is a closed Jordan curveγ; \(\mathfrak{M} = \left\{ {z_{k, n} } \right\}\) , 0≦k≦n; n=1, 2, 3, ..., a matrix of interpolation knots, \(\mathfrak{M} \subset \Gamma ; A_c \left( {\bar D} \right)\) the space of the functions that are analytic inD and continuous on \(\bar D; \left\{ {L_n \left( {\mathfrak{M}; f, z} \right)} \right\}\) the sequence of the Lagrange interpolation polynomials. We say that a matrix \(\mathfrak{M}\) satisfies condition (B _m ), \(\mathfrak{M}\) ∈(B _m ), if for some positive integerm there exist a setB _m containingm points and a sequencen _{p p=1} ^∞ of integers such that the series \(\mathop \Sigma \limits_{p = 1}^\infty \frac{1}{{n_p }}\) diverges and for all pairsn _i ,n _j ∈{n _p } _p=1 ^∞ the set \(\left( {\bigcap\limits_{k = 0}^{n_i } {z_{k, n_i } } } \right)\bigcap {\left( {\bigcup\limits_{k = 0}^{n_j } {z_{k, n_j } } } \right)} \) is contained inB _m . The main result reads as follows. {Let D=z: ¦z¦ \(\Gamma = \partial \bar D\) and let the matrix \(\mathfrak{M} \subset \Gamma \) satisfy condition (B_m). Then there exists a function \(f \in A_c \left( {\bar D} \right)\) such that the relation $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left| {L_n \left( {\mathfrak{M}, f, z} \right)} \right| = \infty $$ holds almost everywhere on γ.     

Singularities of carleman type for subsystems of a trigonometric system

We prove that for arbitrary ε>0 there exists a sequence of positive integers {n_k} such that a) the system { cos n_k X, sin n_k X} is a basis with respect to the C[-π, π] norm in the closure of its linear hull, and b) a continuous functionf(x) belonging to the closure of the linear hull of the system can be found such that its Fourier coefficientsa _n and b_n satisfy the relation $$\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {\left| {a_n } \right|^{2 - \varepsilon } + \left| {b_n } \right|^{2 - \varepsilon } } = \infty $$ .     

Generalization of the steinhaus problem on the convergence of series with random signs

For series of random variables $\sum\limits_{k = 1}^\infty {a_k x_k }$ ,a _K ∈R ¹, {X _K } _K=1 ^∞ being an Ising system, i.e., for each n ≥ 2 the joint distribution of {X _K } _K=1 ⁿ has the form $$P_n (t_1 ,...,t_n ) = ch^{ - (n - 1)} J \cdot exp(J\sum\limits_{k - 1}^{n - 1} {t_k t_{k + 1} )\prod\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{2}\delta (t_{k^{ - 1} }^2 ),J > 0} }$$ one obtains a criterion for almost everywhere convergence: $\sum\limits_{k = 1}^\infty {a_k^2< \infty }$ . The relation between the asymptotic behavior of large deviations of the sum and the rate of decrease of the sequence {a_k} of the coefficients is investigated.